aula 11

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Aula 11 – Funções de varias variáveis. Interpretação das derivadas parciais e
da diferencial total. A Regra de Cadeia.
Representação geométrica de função de duas variáveis.
Exemplo da representação geométrica da função z = x² + y²
O – origem do sistema de coordenadas
G – domínio da função 
P – ponto (x, y, z) que corresponde (x, y, f(x,y))
Interpretação geométrica das derivadas parciais e do diferencial total de uma função de
duas variáveis.
 
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Exemplo 11.1
Calcular a diferencial total e o crescimento total da função no ponto (2,3), se
 e .
Solução
Primeiro calculamos as derivadas parciais
O diferencial total é então
O crescimento total para o ponto e Δx e Δy dados é então
Exercício 11.1
Calcule a diferencial total e o crescimento total para funções e pontos dados:
a) , P(2, 3, 4), Δx = Δy = Δz = 0,1.
b) , P(4, 6), Δr = 0,02, Δh = 0,04.
c) , P(1, 4), Δx = 0,03, Δy = -0,02.
A Regra da Cadeia
Lembre-se de que a regra da cadeia para uma função de uma única variável é a seguinte: se y for
uma função de u e existir, e u for uma função de x e existir, então y será uma função de x e 
existe, sendo dada por
.
Vamos considerar agora a regra da cadeia para uma função de duas variáveis, onde cada uma delas
também é função de duas variáveis.
Teorema 11.1: A Regra da Cadeia
Se for uma função diferenciável de e , definida por , onde ,
 e , , , todas existem, então será uma função de e e
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Exemplo 11.2
Temos uma função dada e x e y são funções de r e φ, e .
Encontre e .
Solução
Calculamos as derivadas parciais da função u
, .
Calculamos as derivadas parciais das funções x e y
, 
, .
As derivadas parciais e são então
Exercício 11.2
Encontre as derivadas e para seguintes funções
a) , , .
b) , , .
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