Folha6

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Mecaˆnica Cla´ssica (I) - 2013/2014
folha 6
1. Matriz rotac¸a˜o
(a) Obtenha os elementos da matriz de rotac¸a˜o geral, em termos dos aˆngulos de Euler, efectuando
a multiplicac¸a˜o das treˆs matrizes de rotac¸a˜o em que se decompo˜e.
(b) Verifique que os elementos da matriz da transformac¸a˜o obedecem a`s relac¸o˜es de ortogonali-
dade e que a transformac¸a˜o e´ uma transformac¸a˜o pro´pria.
2. Determine um conjunto de aˆngulos de Euler que descrevam a transformac¸a˜o de eixos x, y, z −→
x′, y′, z′ em que x′ = −z, y′ = y e z′ = x.
R: θ = pi
2
; ψ = 3pi
2
; φ = pi
2
.
3. Num dado instante o sistema de eixos fixo num corpo r´ıgido em movimento com um ponto fixo
e´ definido pelos aˆngulos de Euler: φ = π/2, θ = π/3 e ψ = π. Determine a transformac¸a˜o
ortogonal que relaciona as componentes de um vector G em ambos os sistemas. Verifique que e´
uma transformac¸a˜o pro´pria ortogonal.
R: A =


−1/2 −
√
3/2 0
0 0 −1√
3/2 −1/2 0


4. Reflexa˜o num plano
a) Obtenha a equac¸a˜o vectorial que descreve a reflexa˜o de um vector r num plano definido pelo
vector unita´rio normal ao plano nˆ.
b) Mostre que se αi, i = 1, 2, 3 sa˜o os co-senos directores de nˆ, enta˜o a matriz da transformac¸a˜o
tem os elementos: Aij = δij − 2αiαj .
c) Verifique que A e´ uma matriz ortogonal impro´pria.
5. Um sistema e´ formado por treˆs part´ıculas, uma de massa 4m localizada no ponto (a,−a, a), outra
de massa 3m localizada no ponto (−a, a, a) e uma terceira de massa 2m localizada no ponto
(a, a, a) : a) Determine o tensor de ine´rcia em relac¸a˜o a` origem das coordenadas; b) determine o
momento de ine´rcia em relac¸a˜o ao eixo que passa pela origem com a direcc¸a˜o do vector unita´rio
nˆ = (1/
√
2)(eˆ1 + eˆ2).
R: (a) I = ma2


18 5 −3
5 18 −1
−3 −1 18

; (b) I = 23ma2.
6. Treˆs massas iguais e pontuais esta˜o localizadas nos pontos (a, 0, 0), (0, a, 2a) e (0, 2a, a). Calcule
os momentos principais de ine´rcia em relac¸a˜o a` origem e um conjunto de eixos principais.
R: I = ma2


10 0 0
0 6 −4
0 −4 6

; diagonalizando: I0 = ma2


10 0 0
0 10 0
0 0 2

.
7. Calcule os momentos principais de ine´rcia de:
(a) uma vara de espessura despreza´vel, comprimento ℓ e massa m;
(b) um disco uniforme de espessura despreza´vel, de massa m e raio R;
(c) uma esfera de densidade constante ρ, massa M e raio R;
(d) um cilindro de densidade constante ρ, massa M , raio da base R e altura H ;
(e) um cone regular homoge´neo de massa M , raio da base R e altura H ;
(f) um paralelip´ıpedo rectaˆngulo homoge´neo de massa M e arestas a, b, c.
R: ver http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_moments_of_inertia
e http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_moment_of_inertia_tensors