03 Viga Triang&Mom&Mult Parte2

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Eng., M.Sc., Prof., Felipe Ozório Monteiro da Gama 14
Vigas isostáticas: cargas-momento
S
M
DMF
(Sussekind,1981)
Reações de Apoio
DMf
Observação:
+M
Descontinuidade!
MR
-M 
(-) horário!
Posição qualquer!
+M 
MREACAO
(+) ANTIhorário!
�
�
�
�
L
Viga biapoiada com carga-momento:
Considere a viga biapoiada abaixo, submetida
a uma carga-momento “M”:
As reações devem ser tais que formem um
binário de módulo M e sentido oposto ao
momento aplicado, conforme indicado.
∑Fx= 0 .: HA = 0 VA = +
�
�
VB = +
�
�
MfA = MfB = 0 (Rotações livres)
MfS,ant = -
�
�
x a = -
��
�
MfS,dep = -
��
�
+ M = +
��
�
M é uma descontinuidade em S, igual ao seu
valor e no seu sentido.
Relação Mf e Q, derivada/integral não
aplicável!
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Vigas isostáticas: cargas-momento
Viga biapoiada com carga-momento:
Considere a viga biapoiada abaixo, submetida
a uma carga-momento “M”:S
M
(Sussekind,1981)
DQ
Reações de Apoio
DQ
Observações:
DN
As reações devem ser tais que formem um
binário de módulo M e sentido oposto ao
momento aplicado, conforme indicado na
figura.
∑Fx= 0 .: HA = 0 VA = +
�
�
VB = +
�
�
QA = QB = -
�
�
- A carga-momento, não interfere no DEC!
- Mmáx em Q=0, não é aplicável!
- Valor do ∑ÁreasDEC = -
�
�
x l = - M = MR
Valor negativo => sentido horário (global)
∑Fx= 0 => Não há.
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Vigas isostáticas: cargas-momento
Viga isostática com carga-momento na extremidade:
Casos particulares de algumas posições notáveis de carga-momento.
M1
-
-M1
0
M1
-
-M1
0
M1
+
M2
-
-M2
+M1
0
M1
+M1
+
M1
0
Caso Especial: Cargas-Momento aplicadas em
extremidades, para fins de convenção de sinais
aplicáveis ao DMf, devem ser analisadas,
necessariamente, “entrando” pelo mesmo lado
(esq./dir.) que a extremidade se encontra em relação à
estrutura, considerada a posição do observador (para
Pórticos)!
DMF DMF DMF
DMF
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Vigas isostáticas: cargas-momento
Exercício 1:
Reações de Apoio
∑Fx= 0 .: HA = 0
∑MA= 0 = - 5 + 4 + 2 - 8 + VB x 7 .: VB = 7 / 7 = 1 kN
∑Fy = 0 = VA + VB .: VA = - VB = - 1 kN => Negativo como esperado, uma vez que
sabemos que as reações devem compor um binário com mesmo módulo e
sentido oposto ao momento resultante aplicado na viga. Vejamos:
MR = - 5 + 4 + 2 - 8 = -7 kNm;
Binário: Mreações = 1 kN x 7m = 7 kNm; - MR = Mreações (Sinas e sentidos contrários!)
Assim, optaremos por inverter o sinal e o sentido da reação VA p/ VA = + 1 kN
A
B
C D E
VA
VB
HA
MR
-7 kNm 
(-) horário!
Posição qualquer!
+7 kNm 
MREACAO
(+) ANTIhorário!
1 kN 1 kN
7m
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Vigas isostáticas: cargas-momento
Exercício 1:
A
B
C D E
1 kN 1 kN
Vindo esq.
DMf
MfA= + 5 kNm
MfC;ant = + 5 – (1 x 2) = + 3 kNm
MfC;dep= + 5 – (1 x 2) - 4 = - 1 kNm
MfD;ant= + 5 – (1 x 4) - 4 = - 3 kNm
MfD;dep= + 5 – (1 x 4) - 4 - 2 = - 5 kNm
MfE;ant= + 5 – (1 x 6) - 4 - 2 = - 7 kNm
MfE;dep= + 5 – (1 x 6) - 4 - 2 + 8 = + 1 kNm
MfB= 0
Caso Especial: Cargas-Momento aplicadas em extremidades,
para fins de convenção de sinais aplicáveis ao DMf, devem ser
analisadas, necessariamente, “entrando” pelo lado (esq./dir.)
que a extremidade se encontra em relação à estrutura,
considerada a posição do observador (para Pórticos)!
No exemplo: extremidade esquerda, “entro” pela esquerda!
DMF
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Vigas isostáticas: cargas-momento
Exercício 1:
A
B
C D
E
DMF
Vindo esq.
DMf
MfA= + 5 kNm
MfC;ant = + 5 – (1 x 2) = + 3 kNm
MfC;dep= + 5 – (1 x 2) - 4 = - 1 kNm
MfD;ant= + 5 – (1 x 4) - 4 = - 3 kNm
MfD;dep= + 5 – (1 x 4) - 4 - 2 = - 5 kNm
MfE;ant= + 5 – (1 x 6) - 4 - 2 = - 7 kNm
MfE;dep= + 5 – (1 x 6) - 4 - 2 + 8 = + 1 kNm
MfB= 0
-4 kNm
-2 kNm +8 kNm
+5 kNm
Descontinuidades!
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Vigas isostáticas: cargas-momento
Exercício 1:
A
B
C D E
1 kN 1 kN
DQ
DQ
QA= - 1 kN
QC= QD = QE = -1 kN
QB= - 1 kN
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Vigas isostáticas: cargas-momento
Exercício 1:
DQ
QA= - 1 kN
QC= QD = QE = -1 kN
QB= - 1 kN
A
B
C D E
V
in
d
o
e
sq
. Verificando: ∑ÁreasDEC = MR
A1 = A2 = A3 = -1 x 2 = -2 kNm
A4 = -1 x 1 = -1 kNm
∑ÁreasDEC = A1 + A2 + A3 + A4 = 3x(-2) -1= -7kNm
MR = -5 +4 +2 -8 = -7kNm (sentido global horário)
A1 A2 A3 A4
Ok => ∑ÁreasDEC = MR
DQ
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Vigas isostáticas: cargas múltiplas
Viga biapoiada submetida à cargas múltiplas:
� Para as vigas submetidas à cargas múltiplas, predomina o princípio da
superposição dos efeitos dos carregamentos estudados individualmente,
uma vez que, os diagramas finais são obtidos por meio da sobreposição das
parcelas dos valores e efeitos individuais de cada carregamento
concorrente em um mesmo ponto ou seção transversal do sistema
estrutural, conforme veremos no exemplo à seguir:
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Vigas isostáticas: cargas múltiplas
Exercício 1:
Reações de Apoio
∑Fx= 0 = -HA -2 +6 .: HA = +4 kN
∑MA= 0 = - (1 x 4) x 2 - 1 x 6 - (
��	
�
) x 10 - 4 + VB x 15 .:
VB = (+8 +6 +30 +4)/15 = 48 / 15 = 3,2 kN
∑Fy = 0 = VA - (1 x 4) - 1 - (
��	
�
) + VB .: VA = + 4 + 1 + 3 - 3,2 = 4,8 kN
HA
VA VB
A B
C GD E F1m2m
R = 
		�	�
�
= 3 kN2m 2m
R = 4kN = 1x4
Como a “Linha de Ação” de todas 
as cargas horizontais passam pelo 
ponto arbitrado para o cálculo do 
momento global resultante, não 
interferem no cálculo do ∑MA=0.
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Vigas isostáticas: cargas múltiplas
Exercício 1:
4 kN
4,8 kN 3,2 kN
A B
C GD E F1m2m
R = 
		�	�
�
= 3 kN2m 2m
R = 4kN = 1x4
DMf
MfA= MfB= 0
MfC= 4,8 x 4 - (1 x 4) x 2 = 11,2 kNm
MfD= 4,8 x 6 - (1 x 4) x 4 = 12,8 kNm
MfE= 4,8 x 8 - (1 x 4) x 6 – 1 x 2 = 12,4 kNm
MfF= 3,2 x 4 - 4 = 8,8 kNm
MfG;dep= 3,2 x 2 -4 = 2,4 kNm
MfG;ant= 3,2 x 2 = 6,4 kNm
Vindo esq.
Vindo dir.
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Vigas isostáticas: cargas múltiplas
Exercício 1:
DMf
MfA= MfB= 0
MfC= 4,8 x 4 - (1 x 4) x 2 = 11,2 kNm
MfD= 4,8 x 6 - (1 x 4) x 4 = 12,8 kNm
MfE= 4,8 x 8 - (1 x 4) x 6 – 1 x 2 = 12,4 kNm
MfF= 3,2 x 4 - 4 = 8,8 kNm
MfG;dep= 3,2 x 2 -4 = 2,4 kNm
MfG;ant= 3,2 x 2 = 6,4 kNm
A B
C
G
D E F
Vindo esq.
Vindo dir.
2m 2m
R = 4kN = 1x4
1m2m
R = 
		�	�
�
= 3 kN
DMF
+4 kNm
Descontinuidades!
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Vigas isostáticas: cargas múltiplas
Exercício 1:
4 kN
4,8 kN 3,2 kN
A B
C GD E F1m2m
R = 
		�	�
�
= 3 kN2m 2m
R = 4kN = 1x4
DQ
QA= 4,8 kN
QC= 4,8 - (1 x 4) = 0,8 kN
QD;ant= 4,8 - (1 x 4) = 0,8 kN
QD;dep= 0,8 - 1 = - 0,2 kN
QE= - 0,2 kN
QF= - 0,2 - (
��	
�
) = -3,2 kN
QG= QB= -3,2 kN
Vindo esq.
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Vigas isostáticas: cargas múltiplas
Exercício 1:
A B
C GD E F
2m 2m
R = 4kN = 1x4
1m2m
R = 
		�	�
�
= 3 kN
DQ
QA= 4,8 kN
QC= 4,8 - (1 x 4) = 0,8 kN
QD;ant= 4,8 - (1 x 4) = 0,8 kN
QD;dep= 0,8 - 1 = - 0,2 kN
QE= - 0,2 kN
QF= - 0,2 - (
��	
�
) = -3,2 kN
QG= QB= -3,2 kN
Vindo esq.
DQ
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Vigas isostáticas: cargas múltiplas
Exercício 1:
4 kN
4,8 kN 3,2 kN
A B
C GD E F1m2m
R = 
		�	�
�
= 3 kN2m 2m
R = 4kN = 1x4
DN
DNNA= +4 +2 = +6 kN
NC= +6 kN = ND;ant
ND;dep= +6 -6 = 0 => E.N. causa descontinuidade no DN!
NE = NF = NG = NB = 0
“Saindo” da seção: 
(+) = Tração!
S
HA 2kN
SHA
2kN
“Vindo” pela esquerda!
“Entrando” na seção: 
(-) = Compressão!
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Vigas isostáticas: cargas múltiplas
Exercício 1:
A B
C GD E F
DN
NA= +4 +2 = +6 kN
NC= +6 kN = ND;ant
ND;dep= +6 -6 = 0 => E.N. causa descontinuidade no DN!
NE = NF = NG = NB = 0
Vindo esq.
DN
Descontinuidades!
-6 kN+6 kN
Bibliografia:
� SUSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural, vol 1, 6ª ed., Ed. Globo:
1981.
� SORIANO, H. L.; Estática das Estruturas, Ed. Ciência Moderna, 2010.