Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro EP1 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos I – 2017-1 Neste EP vamos trabalhar o conteu´do estudado na Aula 1 do Caderno Dida´tico, bem como comec¸ar a relembrar algumas operac¸o˜es aritme´ticas e expresso˜es alge´bricas. Exerc´ıcio 1 Considerando o conjunto C = {a, b, p, q}, complete convenientemente as lacunas com ∈, /∈, ⊂, 6⊂ ou = . a) q . . . C b) {q} . . . C c) w . . . C d) {p, q, w} . . . C e) {p, a, b, q} . . . C Soluc¸a˜o: Os elementos de C sa˜o formados pelas letras a, b, p e q do alfabeto portugueˆs. a) q ∈ C, pois q e´ elemento do conjunto C. b) {q} ⊂ C, pois {q} e´ um conjunto em que todos os seus elementos, neste caso, q e´ seu u´nico elemento, tambe´m pertencem ao conjunto C. c) w 6∈ C, pois w na˜o e´ um elemento do conjunto C. d) {p, q, w} 6⊂ C, pois para que {p, q, w} seja subconjunto de C, todos os seus elementos deveriam ser elementos de C e, como vimos no item c), w na˜o e´ elemento de C. e) {p, a, b, q} = C. Apesar dos elementos de {p, a, b, q} e C na˜o aparecerem na mesma ordem, os dois conjuntos possuem os mesmos elementos, logo eles sa˜o iguais. Exerc´ıcio 2 Um conjunto A e´ um subconjunto do conjunto B se A ⊂ B, isto e´, se todos os elementos de A sa˜o elementos de B. Alguns exemplos: • A = {1, 3} e´ subconjunto de B = {1, 2, 3, 4}; • A e´ subconjunto de A, pois A ⊂ A (todo elemento de A e´ elemento de A, certo?); • os subconjuntos na˜o vazios de X = {a, b, c} sa˜o {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c} e {a, b, c}. a) Liste todos os subconjuntos na˜o vazios de B = {a, b}. b) Liste todos os subconjuntos na˜o vazios de C = {1, 2, 3, 4}. c) Baseando-se nos itens anteriores, voceˆ consegue dizer quantos subconjuntos na˜o vazios possui um conjunto de exatamente 2 elementos? E se ele tiver exatamente 3 elementos? E se tiver exatamente 4? Me´todos Determin´ısticos I EP1 2 Soluc¸a˜o: a) Os subconjuntos na˜o vazios de A sera˜o: {a}, {b}︸ ︷︷ ︸ com 1 elemento , {a, b}︸ ︷︷ ︸ com 2 elementos b) Os subconjuntos na˜o vazios de B sera˜o: {1}, {2}, {3}, {4}︸ ︷︷ ︸ com 1 elemento , {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}︸ ︷︷ ︸ com 2 elementos , {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}︸ ︷︷ ︸ com 3 elementos , {1, 2, 3, 4}︸ ︷︷ ︸ com 4 elementos . c) Repare que, no item (a) acima, na˜o importam quais sejam os dois elementos de A, teremos sem- pre o mesmo nu´mero de subconjuntos na˜o vazios. Seriam dois subconjuntos com um elemento em cada, e um subconjunto (o pro´prio A), com dois elementos. Assim, se A tiver exatamente dois elementos (quaisquer que sejam eles), A tera´ 3 subconjuntos na˜o vazios. O conjunto X = {a, b, c} do terceiro exemplo do enunciado da questa˜o possui 3 elementos e 7 subconjuntos. Assim como no para´grafo anterior, o nu´mero de subconjuntos na˜o depende de quais sejam os elementos, apenas do fato de que sa˜o 3. Assim um conjunto de exatamente 3 elementos tera´ 7 subconjuntos na˜o vazios. A partir do item (b), e pensando como nos para´grafos anteriores, um subconjunto com exatamente 4 elementos tera´ 15 subconjuntos na˜o vazios. Antes de resolver o pro´ximo exerc´ıcio, assista a videoaula Conjunto 1, produzida pelas professoras Magda e Anne Michelle, dispon´ıvel na Semana 1 da Plataforma. Exerc´ıcio 3 Seja o conjunto U = {−3,−5, 1, 3, 4,−1, 0}. Explicite os elementos de cada um dos conjuntos a seguir. a) A = {x ∈ U | x < 0} b) B = {x ∈ U | x2 + x− 20 = 0} c) C = {x ∈ U | − x− 7 = 10} d) D = {x ∈ U | x2 ≥ 0} Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP1 3 Soluc¸a˜o: a) O conjunto A e´ o conjunto dos elementos x pertencentes a U tais que x e´ negativo. Logo, A = {−3,−5,−1}. b) B e´ o conjunto dos elementos x pertencentes a U tais que a soma de treˆs termos e´ igual a zero. O primeiro termo e´ o quadrado de x, o segundo termo e´ x e o terceiro termo e´ o sime´trico de 20. Para saber quais sa˜o esses elementos, vamos construir uma tabela com duas colunas. Na primeira coluna escreveremos os valores de x pertencentes a U e na segunda coluna o valor resultante do ca´lculo de x2 + x− 20. x x2 + x− 20 −3 (−3)2 + (−3)− 20 = 9− 3− 20 = −14 −5 (−5)2 + (−5)− 20 = 25− 5− 20 = 0 1 (1)2 + (1)− 20 = 1 + 1− 20 = −18 3 (3)2 + (3)− 20 = 9 + 3− 20 = −8 4 (4)2 + (4)− 20 = 16 + 4− 20 = 0 −1 (−1)2 + (−1)− 20 = 1− 1− 20 = −20 0 (0)2 + (0)− 20 = 0 + 0− 20 = −20 Notamos que a soma e´ zero quando x assume os valores −5 e 4. Portanto, B = {−5, 4}. c) C e´ o conjunto dos elementos x pertencentes a U tais que o resultado do ca´lculo de −x− 7 seja igual a 10. Para saber quais sa˜o esses elementos, vamos construir uma tabela com duas colunas. Na primeira coluna escreveremos os valores de x pertencentes a U e na segunda coluna o valor resultante do ca´lculo de −x− 7. x −x− 7 −3 −(−3)− 7 = 3− 7 = −4 −5 −(−5)− 7 = 5− 7 = −2 1 −(1)− 7 = −1− 7 = −8 3 −(3)− 7 = −3− 7 = −10 4 −(4)− 7 = −4− 7 = −11 −1 −(−1)− 7 = 1− 7 = −6 0 −(0)− 7 = 0− 7 = −7 Notamos que o resultado do ca´lculo de −x− 7, na˜o e´ igual a 10 para nenhum valor de x em U . Portanto, B = ∅. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP1 4 d) D e´ o conjunto dos elementos x pertencentes a U tais que o quadrado de x e´ maior ou igual a zero. Como o quadrado de qualquer nu´mero e´ maior ou igual a zero, segue que D = U = {−3,−5, 1, 3, 4,−1, 0}. Exerc´ıcio 4 Seja o conjunto U = {3, 5,−1,−7,−5,−2}. Verifique se os conjuntos A e B, a seguir, sa˜o iguais. a) A = { x ∈ U ∣∣ x− 3 2x = 0 } , B = { x ∈ U ∣∣ x > 0}. b) A = { x ∈ U ∣∣ x < −2}, B = {x ∈ U ∣∣ x2 + 12x+ 35 = 0}. Soluc¸a˜o: a) Vamos explicitar os elementos de A e B, para determinar se os conjuntos sa˜o iguais. Temos que • A = { x ∈ U ∣∣ x− 3 2x = 0 } = {3}. Pois, pela Tabela 1, somente para x = 3, temos que a expressa˜o x− 3 2x e´ igual a zero. • B = {x ∈ U ∣∣ x > 0} = {3, 5}. Pois somente os elementos 3 e 5 de U sa˜o positivos. Portanto, como A e B na˜o tem os mesmos elementos, segue que A e B na˜o sa˜o iguais. Tabela 1: Exerc´ıcio 4–a) x x− 3 2x 3 3− 3 2(3) = 0 6 = 0 5 5− 3 2(5) = 2 10 = 1 5 −1 (−1)− 3 2(−1) = −1− 3 −2 = −4 −2 = 4 2 = 2 −7 (−7)− 3 2(−7) = −7− 3 −14 = −10 −14 = 5 7 −5 (−5)− 3 2(−5) = −5− 3 −10 = −8 −10 = 4 5 −2 (−2)− 3 2(−2) = −2− 3 −4 = −5 −4 = 5 4 Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP1 5 b) Vamos explicitar os elementos de A e B, para determinar se os conjuntos sa˜o iguais. Temos que • A = {x ∈ U ∣∣ x < −2} = {−5,−7}. Pois, somente os elementos −5 e −7, de U , sa˜o menores que −2. • B = {x ∈ U ∣∣ x2 + 12x+ 35 = 0} = {−5,−7}. Pois pela Tabela 2, somente quando x assume os valores −5, −7, temos que a expressa˜o x2 + 12x+ 35 e´ igual a zero. Portanto, como A e B tem os mesmos elementos, segue que A e B sa˜o iguais. Tabela 2: Exerc´ıcio 4–b) x x2 + 12x+ 35 3 (3)2 + 12(3) + 35 = 9 + 36 + 35 = 80 5 (5)2 + 12(5) + 35 = 25 + 60 + 35 = 120 −1 (−1)2 + 12(−1) + 35 = 1− 12 + 35 = 24 −7 (−7)2 + 12(−7) + 35 = 49− 84 + 35 = 0 −5 (−5)2 + 12(−5) + 35 = 25− 60 + 35 = 0 −2 (−2)2 + 12(−2) + 35 = 4− 24 + 35 = 15 Exerc´ıcio 5 Pinte nos diagramas, a seguir, os conjuntos indicados. a) A ∩ (B − A) (B − A) A ∩ (B − A) Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP1 6 b) (A ∩B) ∩ C (A ∩B) (A ∩B) ∩ C c) O complementar de C em A ∩B U O complementar de C em U d) (A ∪B) ∩ C (A ∪B) (A ∪B) ∩ C Exerc´ıcio 6 Considere os conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5} e C. Ainda, na˜o conhecemos o conjunto C. a) Determine A ∪B. b) Determine A ∩B. c) Determine B − A. d) Determine A−B. e) DetermineB × A. f) Determine A×B. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP1 7 g) Sabendo que C ∪ A = {1, 2, 3, 6} e´ poss´ıvel saber qual e´ o conjunto C? h) Sabendo que C ∪ A = {1, 2, 3, 6} e que C ∩ A = {2, 3} e´ poss´ıvel saber qual e´ o conjunto C? Soluc¸a˜o: a) A ∪B = {1, 2, 3, 4, 5}. b) A ∩B = {3}. c) B − A = {4, 5}. d) A−B = {1, 2}. e) B × A = {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3)}. f) A×B = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 3), (3, 4), (3, 5)}. g) Na˜o e´ poss´ıvel saber qual e´ o conjunto C pois ele poderia ser qualquer um dos seguintes conjuntos: {1, 2, 3, 6}, {2, 3, 6},{1, 2, 6}, {1, 3, 6}, {1, 6}, {2, 6},{3, 6}, {6}. (Verifique fazendo a unia˜o de cada um destes conjuntos com A). h) Sim, e´ poss´ıvel saber qual e´ o conjunto C. Ja´ que dos conjuntos declarados acima, o u´nico cuja intersec¸a˜o com A da´ {2, 3} e´ o {2, 3, 6}. Logo, C = {2, 3, 6}. Exerc´ıcio 7 Se A = {−1, 0, 1, 2, 3} e B = {−4,−1, 0, 1, 4}, a) Determine A×B. b) Determine o conjunto R = {(x, y) ∈ A×B|x2 = y} (isto e´, o conjunto dos pares (x, y) ∈ A×B, ou seja, com x ∈ A e y ∈ B, satisfazendo x2 = y). c) Determine o conjunto S = {(x, y) ∈ A × B|x < y} (isto e´, o conjunto dos pares (x, y) com x ∈ A e y ∈ B satisfazendo x < y). Soluc¸a˜o: a) Lembre-se de que A× B e´ o conjunto de todos os pares ordenados da forma (x, y), com x ∈ A e y ∈ B. Assim, A×B = { (−1,−4), (−1,−1), (−1, 0), (−1, 1), (−1, 4), (0,−4), (0,−1), (0, 0), (0, 1), (0, 4), (1,−4), (1,−1), (1, 0), (1, 1), (1, 4), (2,−4), (2,−1), (2, 0), (2, 1), (2, 4), (3,−4), (3,−1), (3, 0), (3, 1), (3, 4) } b) O conjunto R pedido e´ o subconjunto de A × B, satisfazendo a propriedade dada. No caso, R e´ o subconjunto de A× B formado por todos os pares ordenados da forma (x, y) ∈ A× B que satisfac¸am x2 = y. Vamos verificar quais dos elementos (x, y) ∈ A×B satisfazem a` propriedade. Primeiro, faremos testando os pares um a um. Depois, resolveremos de uma forma mais direta. Testando cada par, temos a tabela abaixo: Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP1 8 Tabela 3: Exerc´ıcio 7–b) (x, y) x2 y (−1,−4) (−1)2 = 1 −4 Logo x2 6= y, e enta˜o (−1,−4) /∈ R (−1,−1) (−1)2 = 1 −1 Logo x2 6= y, e enta˜o (−1,−1) /∈ R (−1, 0) (−1)2 = 1 0 Logo x2 6= y, e enta˜o (−1, 0) /∈ R (−1, 1) (−1)2 = 1 1 Logo x2 = y, e enta˜o (−1, 1) ∈ R (−1, 4) (−1)2 = 1 4 Logo x2 6= y, e enta˜o (−1, 4) /∈ R (0,−4) 02 = 0 −4 Logo x2 6= y, e enta˜o (0,−4) /∈ R (0,−1) 02 = 0 −1 Logo x2 6= y, e enta˜o (0,−1) /∈ R (0, 0) 02 = 0 0 Logo x2 = y, e enta˜o (0, 0) ∈ R (0, 1) 02 = 0 1 Logo x2 6= y, e enta˜o (0, 1) /∈ R (0, 4) 02 = 0 4 Logo x2 6= y, e enta˜o (0, 4) /∈ R (1,−4) 12 = 1 −4 Logo x2 6= y, e enta˜o (1,−4) /∈ R (1,−1) 12 = 1 −1 Logo x2 6= y, e enta˜o (1,−1) /∈ R (1, 0) 12 = 1 0 Logo x2 6= y, e enta˜o (1, 0) /∈ R (1, 1) 12 = 1 1 Logo x2 = y, e enta˜o (1, 1) ∈ R (1, 4) 12 = 1 4 Logo x2 6= y, e enta˜o (1, 4) /∈ R (2,−4) 22 = 4 −4 Logo x2 6= y, e enta˜o (2,−4) /∈ R (2,−1) 22 = 4 −1 Logo x2 6= y, e enta˜o (2,−1) /∈ R (2, 0) 22 = 4 0 Logo x2 6= y, e enta˜o (2, 0) /∈ R (2, 1) 22 = 4 1 Logo x2 6= y, e enta˜o (2, 1) /∈ R (2, 4) 22 = 4 4 Logo x2 = y, e enta˜o (2, 4) ∈ R (3,−4) 32 = 9 −4 Logo x2 6= y, e enta˜o (3,−4) /∈ R (3,−1) 32 = 9 −1 Logo x2 6= y, e enta˜o (3,−1) /∈ R (3, 0) 32 = 9 0 Logo x2 6= y, e enta˜o (3, 0) /∈ R (3, 1) 32 = 9 1 Logo x2 6= y, e enta˜o (3, 1) /∈ R (3, 4) 32 = 9 4 Logo x2 6= y, e enta˜o (3, 4) /∈ R Com isso, R = {(−1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)}. Poder´ıamos ter feito de uma forma mais direta, escolhendo os valores de x ∈ A e descobrindo qual(is) valor(es) de y ∈ B satisfazem a` propriedade dada. • Se x = −1 ∈ A, o u´nico y ∈ B que satisfaz x2 = y e´ o 1, pois (−1)2 = 1 • Se x = 0 ∈ A, o u´nico y ∈ B que satisfaz x2 = y e´ o 0, pois 02 = 0 • Se x = 1 ∈ A, o u´nico y ∈ B que satisfaz x2 = y e´ o 1, pois 12 = 1 • Se x = 2 ∈ A, o u´nico y ∈ B que satisfaz x2 = y e´ o 4, pois 22 = 4 • Se x = 3 ∈ A, na˜o ha´ y ∈ B tal que x2 = y. Note que x2 = 32 = 9, e 9 /∈ B, logo na˜o e´ um valor poss´ıvel para y. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP1 9 Assim, como na soluc¸a˜o anterior, R = {(−1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)}. c) Como no item (b), vamos resolver de duas formas, testando cada par e escolhendo x para procurar os valores de y adequados. Testando cada par: Tabela 4: Exerc´ıcio 7–c) (x, y) x y (−1,−4) −1 −4 Logo x > y, e enta˜o (−1,−4) /∈ R (−1,−1) −1 −1 Logo x = y, e enta˜o (−1,−1) /∈ R (−1, 0) −1 0 Logo x < y, e enta˜o (−1, 0) ∈ R (−1, 1) −1 1 Logo x < y, e enta˜o (−1, 1) ∈ R (−1, 4) −1 4 Logo x < y, e enta˜o (−1, 4) ∈ R (0,−4) 0 −4 Logo x > y, e enta˜o (0,−4) /∈ R (0,−1) 0 −1 Logo x > y, e enta˜o (0,−1) /∈ R (0, 0) 0 0 Logo x = y, e enta˜o (0, 0) /∈ R (0, 1) 0 1 Logo x < y, e enta˜o (0, 1) ∈ R (0, 4) 0 4 Logo x < y, e enta˜o (0, 4) ∈ R (1,−4) 1 −4 Logo x > y, e enta˜o (1,−4) /∈ R (1,−1) 1 −1 Logo x > y, e enta˜o (1,−1) /∈ R (1, 0) 1 0 Logo x > y, e enta˜o (1, 0) /∈ R (1, 1) 1 1 Logo x = y, e enta˜o (1, 1) /∈ R (1, 4) 1 4 Logo x < y, e enta˜o (1, 4) ∈ R (2,−4) 2 −4 Logo x > y, e enta˜o (2,−4) /∈ R (2,−1) 2 −1 Logo x > y, e enta˜o (2,−1) /∈ R (2, 0) 2 0 Logo x > y, e enta˜o (2, 0) /∈ R (2, 1) 2 1 Logo x > y, e enta˜o (2, 1) /∈ R (2, 4) 2 4 Logo x < y, e enta˜o (2, 4) ∈ R (3,−4) 3 −4 Logo x > y, e enta˜o (3,−4) /∈ R (3,−1) 3 −1 Logo x > y, e enta˜o (3,−1) /∈ R (3, 0) 3 0 Logo x > y, e enta˜o (3, 0) /∈ R (3, 1) 3 1 Logo x > y, e enta˜o (3, 1) /∈ R (3, 4) 3 4 Logo x < y, e enta˜o (3, 4) ∈ R Com isso, R = {(−1, 0), (−1, 1), (−1, 4), (0, 1), (0, 4), (1, 4), (2, 4), (3, 4)}. De forma mais direta, • Se x = −1 ∈ A, os valores de y ∈ B que satisfazem x < y sa˜o y = 0, y = 1 e y = 4. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP1 10 • Se x = 0 ∈ A, os valores de y ∈ B que satisfazem x < y sa˜o y = 1 e y = 4. • Se x = 1 ∈ A, o u´nico valor de y ∈ B que satisfaz x < y e´ y = 4. • Se x = 2 ∈ A, o u´nico valor de y ∈ B que satisfaz x < y e´ y = 4. • Se x = 3 ∈ A, o u´nico valor de y ∈ B que satisfaz x < y e´ y = 4. Assim, como na soluc¸a˜o anterior, R = {(−1, 0), (−1, 1), (−1, 4), (0, 1), (0, 4), (1, 4), (2, 4), (3, 4)}. Exerc´ıcio 8 Sendo W um conjunto, vamos denotar por n(W), o nu´mero de elementos em W . Sabendo que A e B sa˜o dois conjuntos em que n(A) = 15, n(B) = 11 e n(A∪B) = 23, determine: a) n(A ∩B) b) n(A−B). c) n(B − A). Soluc¸a˜o: Vamos denotar por x, y e z, o nu´mero de elementos em A ∩B, A−B e B −A, ou seja n(A ∩B) = x, n(A−B) = y, n(B − A) = z. Vamos representar no diagrama de Venn essas informac¸o˜es. Como n(A ∪B) = 23, segue que x+ y + z = 23. Como n(A) = 15, segue que x+ y = 15. Como n(B) = 11, segue que x+ z = 11. Assim,substituindo x + y = 15 em x + y + z = 23, obtemos que 15 + z = 23. O que significa que z = 8. Substituindo z = 8 em x+ z = 11, obtemos que x+ 8 = 11, donde segue que x = 3. E, finalmente substituindo x = 3 em x+ y = 15, obtemos que 3 + y = 15, ou seja, y = 12. Portanto, n(A ∩B) = 3, n(A−B) = 12, n(B − A) = 8. Antes de resolver o pro´ximo exerc´ıcio, assista a videoaula Conjunto 2, produzida pela professora Anne Michelle, dispon´ıvel na Semana 1 da Plataforma. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP1 11 Exerc´ıcio 9 Em um grupo de 100 crianc¸as: • 80 sa˜o meninas. • 50 teˆm menos de 10 anos. O nu´mero m´ınimo de meninas com 10 ou mais anos nesse grupo e´: (a) 0 (b) 10 (c) 20 (d) 30 (e) 50. Observac¸a˜o: Este exerc´ıcio e´ uma questa˜o da prova para te´cnico em administrac¸a˜o geral da Eletroba´s em 2007. Prova elaborada pelo CNE/UFRJ Soluc¸a˜o: Na figura abaixo, o retaˆngulo, o c´ırculo a` esquerda e o c´ırculo a` direita representam, respectivamente, o conjunto das crianc¸as, das meninas e das crianc¸as com menos de 10 anos. Conformea figura, representamos pelas letras x, y, z e w o nu´mero de elementos dos seguintes conjuntos. x: nu´mero de elementos do conjunto das meninas que teˆm menos de 10 anos; y: nu´mero de elementos do conjunto das meninas que na˜o tem 10 anos; z: nu´mero de elementos do conjunto dos meninos que teˆm menos de 10 anos; w: nu´mero de elementos dos meninos que na˜o teˆm menos de 10 anos. Queremos determinar qual e´ o menor valor que pode ser assumido por y. Sabemos que x+ z = 50. Isto significa que x e´ no ma´ximo 50. Como x+ y = 80, devemos ter y maior ou igual a 30. Logo, a resposta correta e´ a alternatica (d). Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP1 12 Exerc´ıcio 10 Em uma pesquisa entre 3600 pessoas sobre os jornais que costumam ler, obteve-se o seguinte resultado: 1100 leˆem o JB; 1300 leˆem o Estado; 1500 leˆem a Folha; 300 leˆem a JB e o Estado; 500 leˆem a Folha e o Estado; 400 leˆem a Folha e o JB; 100 leˆem a Folha, o JB e o Estado; E´ correto afirmar que: (a) 600 pessoas leˆem apenas o JB. (b) 500 pessoas leˆem apenas o Estado. (c) 900 pessoas na˜o leˆem nenhum dos treˆs jornais. (d) 400 pessoas leˆem apenas o Estado e a Folha. (e) 1200 pessoas leˆem mais de um dos treˆs jornais. Ao final desta EP, encontra uma sugesta˜o para a resoluc¸a˜o desta questa˜o. Observac¸a˜o: Este exerc´ıcio e´ uma questa˜o retirada de um concurso para te´cnico em financ¸as e contabilidade elaborado pela ESAF. Soluc¸a˜o: Para resolver uma questa˜o deste tipo e´ importante que voceˆ saiba que quando se diz algo como “1500 leˆem a Folha”, isso significa que ha´ 1500 pessoas no conjunto das pessoas que leˆem a Folha, mas que algumas destas 1500 podem pertencer a outros conjuntos, isto e´, podem estar na intersec¸a˜o do conjunto das pessoas que leˆem a Folha com o das pessoas que leˆem o JB, por exemplo. Uma sugesta˜o para resolver este tipo de questa˜o e´ desenhar o diagrama de Venn e comec¸ar a escrever o nu´mero de elementos sempre a partir das intersec¸o˜es. Neste caso, por exemplo, vamos usar as informac¸o˜es que foram dadas (contidas no resultado) de baixo para cima, isto e´, comec¸amos anotando a u´ltima informac¸a˜o no diagrama de Venn, pois ela e´ a que fornece a intersec¸a˜o entre os treˆs conjuntos de leitores. Ou seja, 100 leˆem a Folha, o JB e o Estado. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP1 13 Depois, usamos as informac¸o˜es que dizem respeito a intersec¸a˜o de dois conjuntos. A saber: 400 leˆem a Folha e o JB : observemos que dentre estas pessoas ha´ 100 que tambe´m leˆem o Estado, logo as que leˆem apenas a Folha e o JB sa˜o 300 (= 400− 100); 500 leˆem a Folha e o Estado: observemos que dentre estas pessoas ha´ 100 que tambe´m leˆem o JB, logo as que leˆem apenas a Folha e o Estado sa˜o 400 (= 500− 100); 300 leˆem a JB e o Estado: observemos que dentre estas pessoas ha´ 100 que tambe´m leˆem a Folha, logo as que leˆem apenas a Folha e o Estado sa˜o 200 (= 300− 100); A seguir, usamos as outras informac¸o˜es obtidas no resultado 1100 leˆem o JB : observemos que dentre estas pessoas esta˜o sendo consideradas tambe´m, aquelas pessoas que leˆem o Estado ou a Folha, isto e´, 600 pessoas (= 300+100+200). Logo, sa˜o 500 (= 1100− 600) pessoas que leˆem apenas o JB. 1300 leˆem o Estado: observemos que dentre estas pessoas esta˜o sendo consideradas tambe´m, aquelas pessoas que leˆem o JB ou a Folha, isto e´, 700 pessoas (= 400 + 100 + 200). Logo, sa˜o 600 (= 1300− 700) pessoas que leˆem apenas o Estado. 1500 leˆem a Folha: observemos que dentre estas pessoas esta˜o sendo consideradas tambe´m, aquelas pessoas que leˆem o Estado ou o JB, isto e´, 800 pessoas (= 400 + 100 + 300). Logo, sa˜o 700 (= 1500− 800) pessoas que leˆem apenas a Folha. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP1 14 Finalmente, na˜o podemos nos esquecer que ha´ pessoas que na˜o leˆem nenhum dos 3 jornais. No total foram entrevistadas 3600 pessoas. Ja´ temos 2800 no diagrama. Conclu´ımos que 800 (= 3600− 1800) pessoas na˜o leˆem nenhum dos 3 jornais: Portanto, a resposta e´ a alternativa (d). Exerc´ıcio 11 Numa pesquisa sobre o consumo de ervilhas, milho e palmito foram entrevistadas 3000 pessoas em um supermercado, sendo constatado que: 1440 consomem ervilhas; 1350 consomem milho; 1500 consomem palmito; 540 consomem ervilhas e milho; 750 consomem milho e palmito; 450 ervilhas e palmito; 150 na˜o consomem nenhum dos produtos selecionados; a) Determine a quantidade de entrevistados que consomem os treˆs produtos. b) Determine quantos entrevistados consomem um e apenas um dos produtos selecionados. Observac¸a˜o: Este exerc´ıcio e´ uma questa˜o retirada de um concurso para te´cnico em financ¸as e contabilidade elaborado pela ESAF. Soluc¸a˜o: Vamos resolver este exerc´ıcio representando as informac¸o˜es dadas no diagrama de Venn. Sabemos que neste tipo de questa˜o devemos comec¸ar com o nu´mero de consumidores na intersec¸a˜o dos conjuntos envolvidos. Vamos chamar este nu´mero de x. Ou seja, x representa o nu´mero de elementos do conjunto dos consumidores de palmito, de milho e de ervilha. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP1 15 Em seguida, utilizamos as informac¸o˜es sobre a intersec¸a˜o de dois conjuntos. 540 entrevistados consomem ervilhas e milho : observemos que dentre estas pessoas ha´ x pessoas que tambe´m consomem palmito, logo as que consomem apenas ervilhas e milho sa˜o 540− x; 750 entrevistados consomem milho e palmito: observemos que dentre estas pessoas ha´ x pessoas que tambe´m consomem ervilhas, logo as que consomem apenas milho e palmito sa˜o 750− x; 450 entrevistados consomem ervilhas e palmito: observemos que dentre estas pessoas ha´ x pessoas que tambe´m consomem milho, logo as que consomem apenas ervilhas e palmito sa˜o 450− x; A seguir, usamos as informac¸o˜es sobre o nu´mero de elementos de cada conjunto. 1440 entrevistados consomem ervilhas : observemos que dentre estas pessoas esta˜o sendo consideradas tambe´m, aquelas pessoas que, ale´m de consumirem ervilhas, consomem tambe´m milho ou palmito.Ou seja, que representam as (540− x) + x+ (450− x) = 990− x Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP1 16 pessoas que ja´ anotamos na figura acima. Logo, sa˜o 1440− (990− x) = 450 + x as pessoas que consomem apenas ervilhas. 1350 entrevistados consomem milho: notemos que neste nu´mero tambe´m esta˜o sendo con- tadas aquelas pessoas que, ale´m de consumirem milho, consomem tambe´m ervilhas ou palmito, que representam as (540− x) + x+ (750− x) = 1290− x pessoas que anotamos na figura acima. Logo, sa˜o 1350− (1290− x) = 60 + x as pessoas que consomem apenas milho. 1500 entrevistados consomem palmito: notemos que neste nu´mero tambe´m esta˜o sendo contadas aquelas pessoas que, ale´m de consumirem palmito, consomem tambe´m ervilhas ou milho, que representam as (450− x) + x+ (750− x) = 1200− x pessoas que anotamos na figura acima. Logo, sa˜o 1500− (1200− x) = 300 + x as pessoas que consomem apenas palmito. Finalmente, na˜o podemos nos esquecer que ha´ 150 entrevistados que na˜o consomem nenhum dos produtos. Vamos, colocar essa informac¸a˜o no diagrama de Venn. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP1 17 Observe que o nu´mero de entrevistados que consomem milho ou ervilha ou palmito e´ igual a (300 + x) + (750− x) + x+ (450− x) + (60 + x) + (540− x) + (450 + x) = 2550 + x. Desta forma, como, no total, foram entrevistadas 3000 pessoas e descobrimos que 2550+x consomem milho ou ervilha ou palmito e 150 na˜o consomem nenhum dos treˆs produtos, conclu´ımos que 3000 = (2550 + x) + 150. Resolvendo a equac¸a˜o acima, segue que 3000 = 2700 + x. De modo que x = 300. Conhecendo o valor de x, podemosresponder os itens. a) O nu´mero de entrevistados que consomem os treˆs produtos e´ representado por x. Desta forma, temos que 300 entrevistados consomem os treˆs produtos. b) O nu´mero de entrevistados que consomem apenas um dos treˆs produtos e´ obtido a partir do diagrama. Temos que • 300 + x = 300 + 300 = 600 consomem apenas palmito; • 60 + x = 60 + 300 = 360 consomem apenas milho; • 450 + x = 450 + 300 = 750 consomem apenas ervilha. Portanto, os entrevistados que consomem apenas um dos treˆs produtos e´ dado pela soma 600 + 360 + 750 = 1710. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP1 18 Exerc´ıcio 12 A empresa Vaimall S.A. deseja enviar um funciona´rio em uma viagem a um cliente, para agilizar a aprovac¸a˜o de alguns contratos pendentes. O funciona´rio deve embarcar para o cliente na semana que comec¸a no dia 1 e termina no dia 7 e deve retornar na semana que comec¸a no dia 8 e termina no dia 14. Chamaremos de poss´ıvel viagem a cada escolha de data de ida i e de volta v nos crite´rios acima. Por exemplo, ida no dia 2 e volta no dia 11 e´ uma poss´ıvel viagem, ida em 3 e volta em 9 e´ outra poss´ıvel viagem. Ida em 1 e volta em 6 na˜o e´ uma poss´ıvel viagem, pois a volta na˜o esta´ na semana de 8 a 14. O nu´mero de dia´rias de uma poss´ıvel viagem e´ a diferenc¸a entre as datas de ida e volta, isto e´, v− i, onde i e´ a data de ida e v a de volta. Por exemplo, a poss´ıvel viagem que comec¸a no dia 2 e termina no dia 11 tem 11− 2 = 9 dia´rias. i. Explique como e por que uma poss´ıvel viagem pode ser representada por um par ordenado. Este par ordenado pertence ao produto cartesiano de quais conjuntos? ii. De acordo com sua resposta ao item acima, determine o conjunto V de todas as poss´ıveis viagens. iii. Como o funciona´rio tera´ muito trabalho em sua ida ao cliente, uma poss´ıvel viagem e´ consi- derada proveitosa se tiver a durac¸a˜o de, no m´ınimo, 9 dia´rias. Se P e´ o conjunto de todas as viagens proveitosas, represente o conjunto P por meio de uma propriedade e diga por que P ⊂ V . iv. Represente o conjunto P enumerando seus elementos. O prec¸o da passagem de ida no dia i e´ representado por p(i). Assim, p(2) e´, por exemplo, o prec¸o da passagem de ida no dia 2. Da mesma forma, o prec¸o da passagem de volta no dia v e´ representado por p′(v). Assim, p′(10) e´ o prec¸o da passagem de volta no dia 10. Os prec¸os das passagens, para cada dia, sa˜o dados abaixo: Viagem de ida: Dia da viagem 1 2 3 4 5 6 7 Prec¸o em R$ 2000,00 1500,00 1000,00 700,00 500,00 300,00 300,00 Viagem de volta: Dia da viagem 8 9 10 11 12 13 14 Prec¸o em R$ 500,00 500,00 600,00 700,00 800,00 900,00 1200,00 Como exemplo, temos p(3) = 1000, 00 e p′(12) = 800, 00. O custo de uma poss´ıvel viagem e´ dado pela soma dos prec¸os das passagens de ida e de volta, adicionados de R$ 300,00 reais por cada dia´ria. Assim, por exemplo, a viagem com ida em 3 e volta em 12 tem custo p(3) + p′(12) + (12− 3)× 300, 00 = 1000, 00 + 800, 00 + 9× 300, 00 = 4.500, 00. Note que 12− 3 e´ o nu´mero de dia´rias. O custo-benef´ıcio de uma poss´ıvel viagem e´ obtido dividindo o custo pelo nu´mero de dia´rias. Assim, a viagem do exemplo acima, de 3 a 12, tem custo-benef´ıcio igual a 4500, 00/9 = 500, 00. Como a crise obrigou a empresa a fazer cortes de gastos, uma poss´ıvel viagem e´ considerada via´vel, se o custo benef´ıcio for menor do que R$ 500,00. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP1 19 v. Qual e´ o custo de uma viagem de data de ida i e data de volta v? Qual o custo-benef´ıcio desta viagem? vi. Se A e´ o conjunto das viagens via´veis, represente o conjunto A por meio de uma propriedade. Diga por que A ⊂ V . vii. A empresa quer que a viagem de seu funciona´rio seja proveitosa e via´vel. Represente, por meio de uma expressa˜o envolvendo os conjuntos V , P e A (na˜o necessariamente todos), bem como as operac¸o˜es entre conjuntos, o conjunto das viagens que se enquadram nestes crite´rios. Por razo˜es de foro ı´ntimo, o funciona´rio diz que na˜o pode voar a`s quintas-feiras e sextas-feiras, que caem nos dias 5, 6, 12 e 13. As poss´ıveis viagens que possuem algum voo nestas datas sa˜o chamadas, pelo funciona´rio, de amaldic¸oadas, e o conjunto das viagens amaldic¸oadas e´ denotado por M . viii. Represente, por uma propriedade, o conjunto M . ix. Represente, enumerando seus elementos, o conjunto M . x. A empresa resolveu compreender as questo˜es ı´ntimas de seu funciona´rio e na˜o deseja sub- meteˆ-lo a uma viagem amaldic¸oada, afinal, ele na˜o seria nada produtivo nessas circunstaˆncias. Determine, por uma expressa˜o envolvendo os conjuntos V, P,A e M (na˜o necessariamente todos) e suas operac¸o˜es, o conjunto D das viagens que o funciona´rio podera´ fazer. xi. Represente o conjunto D enumerando seus elementos. [Em algum momento, voceˆ precisara´ calcular o custo-benef´ıcio das viagens. Se prestar atenc¸a˜o ao que esta´ sendo pedido, voceˆ na˜o precisara´ calcular o custo-benef´ıcio de todas as poss´ıveis viagens (que sa˜o muitas!!!)] Soluc¸a˜o: (a) Uma poss´ıvel viagem pode ser pensado como um par ordenado, pois e´ determinada pela escolha de dois valores, a data de ida e a data de volta, sendo importante a ordem destes valores. Este par pode ser escrito como (i, v), onde i e´ a data de ida e v a de volta. (b) I = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e R = {8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}. (c) A data de ida de uma poss´ıvel viagem pertence ao conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e a de volta a {8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}. Assim, (i, v) ∈ I ×R. Portanto, V = I ×R. (d) P = {(i, v) ∈ V | v − i > 9}. Temos que P ⊂ V pois todas as viagens proveitosas (isto e´, todos os elementos de P ) sa˜o, pela pro´pria definic¸a˜o, poss´ıveis viagens (isto e´, elementos de V ). (e) P = {(1, 10), (1, 11), (1, 12), (1, 13), (1, 14), (2, 11), (2, 12), (2, 13), (2, 14), (3, 12), (3, 13), (3, 14), (4, 13), (4, 14), (5, 14)} Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP1 20 (f) O custo da viagem de ida em i e volta em v e´ dado pela soma do prec¸o p(i) da passagem de ida e com o prec¸o p′(v) da volta, adicionados de R$ 300,00 reais por cada dia´ria, que sendo o nu´mero de dia´rias e´ dado por v − i. Assim, o custo desta viagem sera´ p(i) + p′(v) + (v − i) · 300, 00. O custo-benef´ıcio desta viagem sera´ o custo dividido pelo nu´mero de dia´rias, isto e´, p(i) + p′(v) + (v − i) · 300, 00 v − i . (g) Utilizando o item acima, podemos escrever A = { (i, v) ∈ V ∣∣∣∣ p(i) + p′(v) + (v − i)× 300, 00v − i 6 500, 00 } O subconjunto das viagens via´veis e´ um subconjunto de V pela pro´pria definic¸a˜o de viagem via´vel: “uma poss´ıvel viagem e´ considerada via´vel, se...”. Assim, viagens via´veis sa˜o aquelas, escolhidas dentre as poss´ıveis, que cumpram uma dada propriedade, logo, toda viagem via´vel (todo elemento de A) e´ tambe´m uma poss´ıvel viagem (um elemento de V ). (h) As viagens que a empresa gostaria que o funciona´rio fizesse sa˜o proveitosas, logo pertencem a P , e via´veis, pertencendo portanto a A. Assim, o conjunto destas viagens e´ dada pelo conjunto P ∩ A. (i) As viagens amaldic¸oadas sa˜o as poss´ıveis viagens (i, v) ∈ V para as quais a data de ida i seja 5 ou 6 ou a de volta seja 12 ou 13. Assim M = {(i, v) ∈ V | i = 6 ou i = 5 ou v = 12 ou v = 13} (j) Listando os elementos, temos M = {(5, 8), (5, 9), (5, 10), (5, 11), (5, 12), (5, 13), (5, 14), (6, 8), (6, 9), (6, 10), (6, 11), (6, 12), (6, 13), (6, 14), (1, 12), (2, 12), (3, 12), (4, 12), (5, 12), (7, 12), (1, 13), (2, 13), (3, 13), (4, 13), (5, 13), (7, 13)}. (k) O conjunto M das viagens que o funciona´rio podera´ fazer sera´ o conjunto das viagens ao mesmo tempo proveitosas e via´veis, obtido no item vi, excluindo as amaldic¸oadas, logo D = (P ∩ A)−M. (l) Para encontrarmos os elementos do conjunto D = (P ∩ A) −M, precisamos descobrir os que esta˜o em (P ∩A) e retirar os que estejam em M . Os elementos de (P ∩A) sa˜o os que esta˜o ao mesmo tempo em P em em A, logo, para cada elemento de P , vamos verificar se ele tambe´m esta´ em A. Pelo item (e), Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP1 21 P = {(1, 10), (1, 11), (1, 12), (1, 13), (1, 14), (2, 11), (2, 12), (2, 13), (2, 14), (3, 12), (3, 13), (3, 14), (4, 13), (4, 14), (5, 14)}, Por agora, vamos calcular o custo benef´ıcio de todas estas viagens para descobrir quem tambe´m e´ elemento de A (no final da questa˜o, veremos que nem seria necessa´rio fazer todas estas contas, mas, por enquanto, vamos com cuidado). Elemento de P Custo-benef´ıcio (1, 10) 2000 + 600 + 9 · 300 9 ' 588, 89 (1, 11) 2000 + 700 + 10 · 300 10 = 570, 00 (1, 12) 2000 + 800 + 11 · 300 11 ' 554, 55 (1, 13) 2000 + 900 + 12 · 300 12 ' 541, 67 (1, 14) 2000 + 1200 + 13 · 300 13 ' 546, 15 (2, 11) 1500 + 700 + 9 · 300 9 ' 544, 44 (2, 12) 1500 + 800 + 10 · 300 10 = 530, 00 (2, 13) 1500 + 900 + 11 · 300 11 ' 518, 18 (2, 14) 1500 + 1200 + 12 · 300 12 = 525, 00 Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I EP1 22 Elemento de P Custo-benef´ıcio (3, 12) 1000 + 800 + 9 · 300 9 = 500, 00 (3, 13) 1000 + 900 + 10 · 300 10 = 490, 00 (3, 14) 1000 + 1200 + 11 · 300 1 = 500, 00 (4, 13) 700 + 900 + 9 · 300 9 ' 477, 78 (4, 14) 700 + 1200 + 10 · 300 10 = 490, 00 (5, 14) 500 + 1200 + 9 · 300 9 ' 488, 89 Assim, P ∩ A = {(3, 12), (3, 13), (3, 14), (4, 13), (4, 14), (5, 14)} Como M = {(5, 8), (5, 9), (5, 10), (5, 11), (5, 12), (5, 13), (5, 14), (6, 8), (6, 9), (6, 10), (6, 11), (6, 12), (6, 13), (6, 14), (1, 12), (2, 12), (3, 12), (4, 12), (5, 12), (7, 12), (1, 13), (2, 13), (3, 13), (4, 13), (5, 13), (7, 13)}. temos (P ∩ A)−M = {(3, 14), (4, 14)}. Pode parecer que fizemos muitas contas na tabela acima, e fizemos mesmo! Mas se tive´ssemos pensado antes de sair calculando, ter´ıamos percebido que na˜o era necessa´rio calcular o custo- benef´ıcio das viagens (1, 12), (1, 13), (2, 12), (2, 13), (3, 12), (3, 13), (4, 13) e (5, 13), pois estas viagens sa˜o elementos de M e, assim, na˜o estariam em (P ∩ A) −M , independente do custo-benef´ıcio. Assim, bastava termos calculado os custos benef´ıcio de (1, 10), (1, 11), (1, 14), (2, 11), (2, 14), (3, 14) e (4, 14). As contas se reduziriam a` metade! Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Compartilhar