Introd a prob e estatistica - IPE - UFABC - lista 4 resolvida

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BC0406: Intr. à Prob. e à Estatística UFABC Resolução da Lista 04 v1 
 
 
Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 02/03/13 – pág. 1/19 
1. 
𝐸𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠: 
𝑆𝑖: {𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑖𝑠 𝑑𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑á 𝑖} 
𝐹: {𝑑𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑎í𝑟𝑎𝑚 𝑐𝑜𝑚 𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠} 
𝐼: {𝑑𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑎í𝑟𝑎𝑚 𝑐𝑜𝑚 𝑜𝑠 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑎𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑖𝑠} 
2𝐷𝑖: {𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑚 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑖} 
 
a) ℙ(𝑆6|𝐹) = 
=
ℙ(𝑆6 ∩ 𝐹)
ℙ(𝐹)
 
=
ℙ(𝑆6 ∩ 𝐹)
1 − ℙ(𝐼)
 
=
(
2! (1
1
) (5
1
)
62
)
1 − (
6
62
)
 
=
𝟏
𝟑
 
 
b) ℙ(2𝐷6|𝑆2) = 𝟎 
ℙ(2𝐷6|𝑆3) = 𝟎 
ℙ(2𝐷6|𝑆4) = 𝟎 
ℙ(2𝐷6|𝑆5) = 𝟎 
ℙ(2𝐷6|𝑆6) = 𝟎 
ℙ(2𝐷6|𝑆7) =
𝟏
𝟔
 
ℙ(2𝐷6|𝑆8) =
𝟏
𝟓
 
ℙ(2𝐷6|𝑆9) =
𝟏
𝟒
 
ℙ(2𝐷6|𝑆10) =
𝟏
𝟑
 
ℙ(2𝐷6|𝑆11) =
𝟏
𝟐
 
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ℙ(2𝐷6|𝑆12) = 𝟏 
 
2. 
𝐸𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠: 
𝐵: {𝑏𝑜𝑙𝑎𝑠 𝑏𝑟𝑎𝑛𝑐𝑎} 
𝑁: {𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑛𝑒𝑔𝑟𝑎} 
𝑖𝐵: 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑏𝑜𝑙𝑎𝑠 𝑏𝑟𝑎𝑛𝑐𝑎𝑠 𝑡𝑖𝑟𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑎𝑡é 𝑖 
𝑖𝑁: 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑏𝑜𝑙𝑎𝑠 𝑛𝑒𝑔𝑟𝑎𝑠 𝑡𝑖𝑟𝑎𝑑𝑎𝑠 𝑎𝑡é 𝑖 
 
𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑠𝑠𝑎𝑠: 
ℙ(𝐵𝑖) =
6 − (𝑖𝐵 − 1)
6 + 9 − (𝑖 − 1)
=
6
15
 
ℙ(𝑁𝑖) =
9 − (𝑖𝑁 − 1)
6 + 9 − (𝑖 − 1)
=
9
15
 
 
ℙ({𝐵, 𝐵, 𝑁, 𝑁}) = 
= ℙ(𝐵1 ∩ 𝐵2 ∩ 𝑁3 ∩ 𝑁4) 
= (
6
15
) (
6 − 1
15 − 1
) (
9
15 − 2
) (
9 − 1
15 − 3
) 
=
𝟔
𝟗𝟏
 
 
3. 
𝐸𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠: 
3𝐵: {3 𝑏𝑜𝑙𝑎𝑠 𝑏𝑟𝑎𝑛𝑐𝑎𝑠} 
𝐵𝑖: {𝑖é𝑠𝑖𝑚𝑎 𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑏𝑟𝑎𝑛𝑐𝑎} 
𝐵�̅�: {𝑖é𝑠𝑖𝑚𝑎 𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑛ã𝑜 𝑏𝑟𝑎𝑛𝑐𝑎} 
 
𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑠𝑠𝑎𝑠: 
 𝐶𝑜𝑚 𝑟𝑒𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜: 
ℙ(𝐵𝑖) = ℙ(𝐵) =
8
12
 
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ℙ(𝐵�̅�) = ℙ(�̅�) =
12 − 8
12
=
4
12
 
 𝑆𝑒𝑚 𝑟𝑒𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜: 
ℙ (𝐵𝑖 | ⋂ 𝐵𝑗
𝑛
𝑗
⋂ 𝐵𝑘
𝑚
𝑘
) =
8 − 𝑛
12 − (𝑖 − 1)
 ; 𝑛 + 𝑚 = 𝑖 − 1 
ℙ (𝐵𝑖 | ⋂ 𝐵𝑗
𝑛
𝑗
⋂ 𝐵𝑘
𝑚
𝑘
) =
(12 − 8) − 𝑚
12 − (𝑖 − 1)
=
4 − 𝑚
12 − (𝑖 − 1)
 ; 𝑛 + 𝑚 = 𝑖 − 1 
 
ℙ(𝐵1 ∩ 𝐵3|3𝑏) = 
=
ℙ(𝐵1 ∩ 𝐵3 ∩ 3𝑏)
ℙ(3𝑏)
 
=
ℙ (𝐵1 ∩ 𝐵3 ∩ ((𝐵1 ∩ 𝐵2 ∩ 𝐵3 ∩ 𝐵4̅̅ ̅) ∪ (𝐵1 ∩ 𝐵2 ∩ 𝐵3̅̅ ̅ ∩ 𝐵4) ∪ (𝐵1 ∩ 𝐵2̅̅ ̅ ∩ 𝐵3 ∩ 𝐵4) ∪ (𝐵1̅̅ ̅ ∩ 𝐵2 ∩ 𝐵3 ∩ 𝐵4)))
ℙ((𝐵1 ∩ 𝐵2 ∩ 𝐵3 ∩ 𝐵4̅̅ ̅) ∪ (𝐵1 ∩ 𝐵2 ∩ 𝐵3̅̅ ̅ ∩ 𝐵4) ∪ (𝐵1 ∩ 𝐵2̅̅ ̅ ∩ 𝐵3 ∩ 𝐵4) ∪ (𝐵1̅̅ ̅ ∩ 𝐵2 ∩ 𝐵3 ∩ 𝐵4))
 
=
ℙ((𝐵1 ∩ 𝐵2 ∩ 𝐵3 ∩ 𝐵4̅̅ ̅) ∪ (𝐵1 ∩ 𝐵2̅̅ ̅ ∩ 𝐵3 ∩ 𝐵4))
ℙ((𝐵1 ∩ 𝐵2 ∩ 𝐵3 ∩ 𝐵4̅̅ ̅) ∪ (𝐵1 ∩ 𝐵2 ∩ 𝐵3̅̅ ̅ ∩ 𝐵4) ∪ (𝐵1 ∩ 𝐵2̅̅ ̅ ∩ 𝐵3 ∩ 𝐵4) ∪ (𝐵1̅̅ ̅ ∩ 𝐵2 ∩ 𝐵3 ∩ 𝐵4))
 
=
ℙ(𝐵1 ∩ 𝐵2 ∩ 𝐵3 ∩ 𝐵4̅̅ ̅) + ℙ(𝐵1 ∩ 𝐵2̅̅ ̅ ∩ 𝐵3 ∩ 𝐵4)
ℙ(𝐵1 ∩ 𝐵2 ∩ 𝐵3 ∩ 𝐵4̅̅ ̅) + ℙ(𝐵1 ∩ 𝐵2 ∩ 𝐵3̅̅ ̅ ∩ 𝐵4) + ℙ(𝐵1 ∩ 𝐵2̅̅ ̅ ∩ 𝐵3 ∩ 𝐵4) + ℙ(𝐵1̅̅ ̅ ∩ 𝐵2 ∩ 𝐵3 ∩ 𝐵4)
 
=
1
1 +
ℙ(𝐵1 ∩ 𝐵2 ∩ 𝐵3̅̅ ̅ ∩ 𝐵4) + ℙ(𝐵1̅̅ ̅ ∩ 𝐵2 ∩ 𝐵3 ∩ 𝐵4)
ℙ(𝐵1 ∩ 𝐵2 ∩ 𝐵3 ∩ 𝐵4̅̅ ̅) + ℙ(𝐵1 ∩ 𝐵2̅̅ ̅ ∩ 𝐵3 ∩ 𝐵4)
 
 
 𝐶𝑜𝑚 𝑟𝑒𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜: 
=
1
1 +
ℙ(𝐵1) · ℙ(𝐵2) · ℙ(𝐵3̅̅ ̅) · ℙ(𝐵4) + ℙ(𝐵1̅̅ ̅) · ℙ(𝐵2) · ℙ(𝐵3) · ℙ(𝐵4)
ℙ(𝐵1) · ℙ(𝐵2) · ℙ(𝐵3) · ℙ(𝐵4̅̅ ̅) + ℙ(𝐵1) · ℙ(𝐵2̅̅ ̅) · ℙ(𝐵3) · ℙ(𝐵4)
 
=
1
1 +
(
ℙ(𝐵3̅̅ ̅)
ℙ(𝐵3)
+
ℙ(𝐵1̅̅ ̅)
ℙ(𝐵1)
)
(
ℙ(𝐵4̅̅ ̅)
ℙ(𝐵4)
+
ℙ(𝐵2̅̅ ̅)
ℙ(𝐵2)
)
 
=
1
1 +
(
ℙ(�̅�)
ℙ(𝐵)
+
ℙ(�̅�)
ℙ(𝐵)
)
(
ℙ(�̅�)
ℙ(𝐵)
+
ℙ(�̅�)
ℙ(𝐵)
)
 
=
𝟏
𝟐
 
 
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 𝑆𝑒𝑚 𝑟𝑒𝑝𝑜𝑠𝑖çã𝑜: 
=
1
1 +
ℙ(𝐵1 ∩ 𝐵2 ∩ 𝐵3̅̅ ̅ ∩ 𝐵4) + ℙ(𝐵1̅̅ ̅ ∩ 𝐵2 ∩ 𝐵3 ∩ 𝐵4)
ℙ(𝐵1 ∩ 𝐵2 ∩ 𝐵3 ∩ 𝐵4̅̅ ̅) + ℙ(𝐵1 ∩ 𝐵2̅̅ ̅ ∩ 𝐵3 ∩ 𝐵4)
 
=
1
1 +
ℙ(𝐵1)ℙ(𝐵2|𝐵1)ℙ(𝐵3̅̅ ̅|𝐵1 ∩ 𝐵2)ℙ(𝐵4|𝐵1 ∩ 𝐵2 ∩ 𝐵3̅̅ ̅) + ℙ(𝐵1)ℙ(𝐵2|𝐵1)ℙ(𝐵3|𝐵1 ∩ 𝐵2)ℙ(𝐵4|𝐵1 ∩ 𝐵2 ∩ 𝐵3)
ℙ(𝐵1)ℙ(𝐵2|𝐵1)ℙ(𝐵3|𝐵1 ∩ 𝐵2)ℙ(𝐵4|𝐵1 ∩ 𝐵2 ∩ 𝐵3) + ℙ(𝐵1)ℙ(𝐵2|𝐵1)ℙ(𝐵3|𝐵1 ∩ 𝐵2)ℙ(𝐵4|𝐵1 ∩ 𝐵2 ∩ 𝐵3)
 
=
1
1 +
(
8
12 ×
8 − 1
12 − 1 ×
4
12 − 2 ×
8 − 2
12 − 3
) + (
4
12 ×
8
12 − 1 ×
8 − 1
12 − 2 ×
8 − 2
12 − 3
)
(
8
12 ×
8 − 1
12 − 1 ×
8 − 2
12 − 2 ×
4
12 − 3
) + (
8
12 ×
4
12 − 1 ×
8 − 1
12 − 2 ×
8 − 2
12 − 3
)
 
=
1
1 +
(8 × 7 × 4 × 6) + (4 × 8 × 7 × 6)
(8 × 7 × 6 × 4) + (8 × 4 × 7 × 6)
 
=
𝟏
𝟐
 
 
4. 
𝐸𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠: 
2𝑓: {2 𝑚𝑒𝑛𝑖𝑛𝑎𝑠} 
𝑀𝑓: {𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑣𝑒𝑙ℎ𝑎𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑖𝑛𝑎} 
𝑚𝑓: {𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑛𝑜𝑣𝑎 𝑚𝑒𝑛𝑖𝑛𝑎} 
 
𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑠𝑠𝑎𝑠: 
𝑃(𝑀𝑓) = 𝑃(𝑚𝑓) =
1
2
 
𝑃(2𝑓) = 𝑃(𝑀𝑓 ∩ 𝑚𝑓) = 𝑃(𝑀𝑓) · 𝑃(𝑚𝑓) =
1
4
 
 
ℙ(2𝑓|𝑀𝑓) = 
=
ℙ(2𝑓 ∩ 𝑀𝑓)
ℙ(𝑀𝑓)
 
=
ℙ ((𝑀𝑓 ∩ 𝑚𝑓) ∩ 𝑀𝑓)
ℙ(𝑀𝑓)
 
=
ℙ(𝑀𝑓 ∩ 𝑚𝑓)
ℙ(𝑀𝑓)
 
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=
ℙ(2𝑓)
ℙ(𝑀𝑓)
 
=
1
4⁄
1
2⁄
 
=
𝟏
𝟐
 
 
5. 
𝐸𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠: 
2𝑏: {2 𝑏𝑜𝑙𝑎𝑠 𝑏𝑟𝑎𝑛𝑐𝑎𝑠} 
𝑋𝑏: {𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑏𝑟𝑎𝑛𝑐𝑎 𝑛𝑎 𝑢𝑟𝑛𝑎 𝑋} 
𝑋𝑣: {𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑚𝑒𝑙ℎ𝑎 𝑛𝑎 𝑢𝑟𝑛𝑎 𝑋} 
 
𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑠𝑠𝑎𝑠: 
ℙ(𝐴𝑏) =
2
2 + 4
=
1
3
 
ℙ(𝐵𝑏) =
8
8 + 4
=
2
3
 
ℙ(𝐶𝑏) =
1
1 + 3
=
1
4
 
ℙ(𝐴𝑣) =
4
2 + 4
=
2
3
 
ℙ(𝐵𝑣) =
4
8 + 4
=
1
3
 
ℙ(𝐶𝑣) =
3
1 + 3
=
3
4
 
 
ℙ(𝐴𝑏|2𝑏) = 
=
ℙ(𝐴𝑏 ∩ 2𝑏)
ℙ(2𝑏)
 
=
ℙ (𝐴𝑏 ∩ ((𝐴𝑏 ∩ 𝐵𝑏 ∩ 𝐶𝑣) ∪ (𝐴𝑏 ∩ 𝐵𝑣 ∩ 𝐶𝑏) ∪ (𝐴𝑣 ∩ 𝐵𝑏 ∩ 𝐶𝑏)))
ℙ((𝐴𝑏 ∩ 𝐵𝑏 ∩ 𝐶𝑣) ∪ (𝐴𝑏 ∩ 𝐵𝑣 ∩ 𝐶𝑏) ∪ (𝐴𝑣 ∩ 𝐵𝑏 ∩ 𝐶𝑏))
 
=
ℙ((𝐴𝑏 ∩ 𝐵𝑏 ∩ 𝐶𝑣) ∪ (𝐴𝑏 ∩ 𝐵𝑣 ∩ 𝐶𝑏))
ℙ((𝐴𝑏 ∩ 𝐵𝑏 ∩ 𝐶𝑣) ∪ (𝐴𝑏 ∩ 𝐵𝑣 ∩ 𝐶𝑏) ∪ (𝐴𝑣 ∩ 𝐵𝑏 ∩ 𝐶𝑏))
 
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=
ℙ(𝐴𝑏 ∩ 𝐵𝑏 ∩ 𝐶𝑣 ) + ℙ(𝐴𝑏 ∩ 𝐵𝑣 ∩ 𝐶𝑏)
ℙ(𝐴𝑏 ∩ 𝐵𝑏 ∩ 𝐶𝑣) + ℙ(𝐴𝑏 ∩ 𝐵𝑣 ∩ 𝐶𝑏) + ℙ(𝐴𝑣 ∩ 𝐵𝑏 ∩ 𝐶𝑏)
 
=
1
1 +
ℙ(𝐴𝑣 ∩ 𝐵𝑏 ∩ 𝐶𝑏)
ℙ(𝐴𝑏 ∩ 𝐵𝑏 ∩ 𝐶𝑣) + ℙ(𝐴𝑏 ∩ 𝐵𝑣 ∩ 𝐶𝑏)
 
=
1
1 +
ℙ(𝐴𝑣) · ℙ(𝐵𝑏) · ℙ(𝐶𝑏)
ℙ(𝐴𝑏) · ℙ(𝐵𝑏) · ℙ(𝐶𝑣) + ℙ(𝐴𝑏) · ℙ(𝐵𝑣) · ℙ(𝐶𝑏)
 
=
1
1 +
ℙ(𝐴𝑣)
ℙ(𝐴𝑏)
ℙ(𝐶𝑣)
ℙ(𝐶𝑏)
+
ℙ(𝐵𝑣)
ℙ(𝐵𝑏)
 
=
1
1 +
2/3
1 3⁄
3 4⁄
1 4⁄
+
1 3⁄
2 3⁄
 
=
1
1 +
2
3 +
1
2
 
=
1
1 +
4
7
 
=
𝟕
𝟏𝟏
 
 
6. 
𝐸𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠: 
𝑆: {𝑖é𝑠𝑖𝑚𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑎 𝑟𝑒𝑡𝑖𝑟𝑎𝑑𝑎 é 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑑𝑎𝑠} 
 
𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑠𝑠𝑎𝑠: 
ℙ(𝑆𝑖) =
(13
1
)
(52
1
)
 
ℙ(𝑆𝑖| ⋃ 𝑆𝑗
𝑛
𝑗 ) =
(13 −
(𝑛 − 𝑗 + 1)
1
)
(52 −
(𝑛 − 𝑗 + 1)
1
)
 
 
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ℙ(𝑆1|𝑆2 ∩ 𝑆3) = 
=
ℙ(𝑆1 ∩ 𝑆2 ∩ 𝑆3)
ℙ(𝑆3 ∩ 𝑆2)
 
=
ℙ(𝑆1) · ℙ(𝑆2|𝑆1) · ℙ(𝑆3|𝑆1 ∩ 𝑆2)
ℙ(𝑆3|𝑆2) · ℙ(𝑆2)
 
=
ℙ(𝑆2|𝑆1) · ℙ(𝑆3|𝑆1 ∩ 𝑆2)
ℙ(𝑆3|𝑆2)
 
=
(13 −
(1 − 1 + 1)
1
)
(52 −
(1 − 1 + 1)
1
)
 · 
(13 −
(2 − 1 + 1)
1
)
(52 −
(2 − 1 + 1)
1
)
(13 −
(1 − 1 + 1)
1
)
(52 −
(1 − 1 + 1)
1
)
 
=
𝟏𝟏
𝟓𝟎
 
 
 
7. 
𝐸𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠: 
𝐵: {2 𝑎𝑠𝑒𝑠} 
𝐴𝑆: {1 á𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑑𝑎𝑠} 
𝐴:{1 á𝑠} 
 
𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑠𝑠𝑎𝑠: 
ℙ(𝐴𝑆) =
1
52
 
ℙ(𝐴) =
(4
1
)
52
=
1
13
 
 
a) ℙ(𝐵|𝐴𝑆) = 
=
ℙ(𝐵 ∩ 𝐴𝑆)
ℙ(𝐴𝑆)
 
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=
(
(1
1
)
52
(4 − 1
1
)
52 − 1 )
(
(1
1
)
52 )
 
=
𝟏
𝟏𝟕
 
 
b) ℙ(𝐵|𝐴) = 
=
ℙ(𝐵 ∩ 𝐴)
ℙ(𝐴)
 
=
(
(4
1
)
52
(4 − 1
1
)
52 − 1 )
(
(4
1
)
52
(4 − 1
1
)
52 − 1 +
(2
1
)
(4
1
)
52
(52 − 4
1
)
52 − 1 )
 
=
1
1 +
((2
1
)
(4
1
)
52
(52 − 4
1
)
52 − 1
)
(
(4
1
)
52
(4 − 1
1
)
52 − 1 )
 
=
1
1 +
2 · 48
3
 
=
𝟏
𝟑𝟑
 
 
8. 
𝐸𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠: 
𝐸𝑖: {𝑖é𝑠𝑖𝑚𝑎 𝑚ã𝑜 𝑡𝑒𝑚 𝑎𝑝𝑒𝑛𝑎𝑠 1 á𝑠} 
 
𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑠𝑠𝑎𝑠: 
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ℙ(𝐸1) =
(4
1
) (52 − 4
13 − 1
)
(52
13
)
 
ℙ(𝐸𝑖|𝐸𝑖−1) =
(4 −
(𝑖 − 1)
1
) (52 −
(𝑖 − 1) × 13 − (4 − (𝑖 − 1))
13 − 1
)
(52 −
(𝑖 + 1) × 13
13
)
 
 
a) 𝑝 = ℙ(𝐸1 ∩ 𝐸2 ∩ 𝐸3 ∩ 𝐸4) 
= ℙ(𝐸1) · ℙ(𝐸2|𝐸1) · ℙ(𝐸3|𝐸1 ∩ 𝐸2) · ℙ(𝐸4|𝐸1 ∩ 𝐸2 ∩ 𝐸3) 
=
(4
1
) (52 − 4
13 − 1
)
(52
13
)
 · 
(4 − 1
1
) (52 − 1 × 13 −
(4 − 1)
13 − 1
)
(52 − 1 × 13
13
)
 
· 
(4 − 2
1
) (52 − 2 × 13 −
(4 − 2)
13 − 1
)
(52 − 2 × 13
13
)
 
· 
(4 − 3
1
) (52 − 3 × 13 −
(4 − 3)
13 − 1
)
(52 − 3 × 13
13
)
 
=
2197
20835
 
= 𝟎, 𝟏𝟎𝟓𝟓 
 
9. 
𝐸𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠: 
𝐵: {𝑢𝑚𝑎 𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑏𝑟𝑎𝑛𝑐𝑎 é 𝑟𝑒𝑡𝑖𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑎 𝑢𝑟𝑛𝑎} 
𝑁: {𝑢𝑚𝑎 𝑏𝑜𝑙𝑎 𝑛𝑒𝑔𝑟𝑎 é 𝑟𝑒𝑡𝑖𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑎 𝑢𝑟𝑛𝑎} 
 
𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑠𝑠𝑎𝑠: 
𝑃(𝐵) =
5
5 + 7
=
5
12
 
𝑃(𝑁) =
7
5 + 7
=
7
12
 
 
a) ℙ(𝑁1 ∩ 𝑁2 ∩ 𝐵3 ∩ 𝐵4) = 
= ℙ(𝑁1) · ℙ(𝑁2|𝑁1) · ℙ(𝐵3|𝑁1 ∩ 𝑁2) · ℙ(𝐵4|𝑁1 ∩ 𝑁2 ∩ 𝐵3) 
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=
7
12
· (
7 + 1
12 + 1
) · (
5
12 + 2
) · (
5 + 1
12 + 3
) 
=
𝟐
𝟑𝟗
 
 
b) 𝑃({𝑁, 𝑁, 𝐵, 𝐵}) = 
= (
4
2
) ℙ(𝑁1 ∩ 𝑁2 ∩ 𝐵3 ∩ 𝐵4) 
=
4!
2! 2!
×
2
39
 
=
𝟏𝟐
𝟑𝟗
 
 
10. 
𝐸𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠: 
𝐶: {𝑓𝑎𝑚í𝑙𝑖𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑢𝑒𝑚 𝑐𝑎𝑐ℎ𝑜𝑟𝑟𝑜𝑠} 
𝐺: {𝑓𝑎𝑚í𝑙𝑖𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑢𝑒𝑚 𝑔𝑎𝑡𝑜𝑠} 
 
𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑠𝑠𝑎𝑠: 
ℙ(𝐶) = 0,36 
ℙ(𝐶 ∩ 𝐺) = 0,22 · ℙ(𝐶) = 0,22 · 0,36 = 0,0792 
ℙ(𝐺) = 0,30 
 
a) ℙ(𝐺 ∩ 𝐶) = 
= ℙ(𝐶 ∩ 𝐺) 
= 𝟎, 𝟎𝟕𝟗𝟐 
 
b) ℙ(𝐶|𝐺) = 
=
ℙ(𝐶 ∩ 𝐺)
ℙ(𝐺)
 
=
0,0792
0,30
 
= 𝟎, 𝟐𝟔𝟒 
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11. 
𝐸𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠: 
𝐼: {𝑒𝑙𝑒𝑖𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑣𝑜𝑡𝑎𝑟𝑎𝑚} 
𝐿: {𝑒𝑙𝑒𝑖𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝐿𝑖𝑏𝑒𝑟𝑎𝑖𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑣𝑜𝑡𝑎𝑟𝑎𝑚} 
𝐶: {𝑒𝑙𝑒𝑖𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑣𝑜𝑡𝑎𝑟𝑎𝑚} 
 
𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑠𝑠𝑎𝑠: 
ℙ(𝐼) = 0,46 
ℙ(𝐿) = 0,30 
ℙ(𝐶) = 0,24 
ℙ(𝐼 ∩ 𝑉) = 0,35 · ℙ(𝐼) = 0,35 · 0,46 = 0,161 
ℙ(𝐿 ∩ 𝑉) = 0,62 · ℙ(𝐿) = 0,62 · 0,30 = 0,186 
ℙ(𝐶 ∩ 𝑉) = 0,58 · ℙ(𝐶) = 0,58 · 0,24 = 0,1392 
 
a) ℙ(𝐼|𝑉) = 
=
ℙ(𝐼 ∩ 𝑉)
ℙ(𝑉)
 
=
ℙ(𝐼 ∩ 𝑉)
ℙ((𝑉 ∩ 𝐼) ∪ (𝑉 ∩ 𝐿) ∪ (𝑉 ∩ 𝐶))
 
=
ℙ(𝐼 ∩ 𝑉)
ℙ(𝑉 ∩ 𝐼) + ℙ(𝑉 ∩ 𝐿) + ℙ(𝑉 ∩ 𝐶)
 
=
1
1 +
ℙ(𝐿 ∩ 𝑉) + ℙ(𝐶 ∩ 𝑉)
ℙ(𝐼 ∩ 𝑉)
 
=
1
1 +
0,186 + 0,1392
0,161
 
= 𝟎, 𝟑𝟑𝟏𝟏 
 
b) ℙ(𝐿|𝑉) = 
=
1
1 +
ℙ(𝐼 ∩ 𝑉) + ℙ(𝐶 ∩ 𝑉)
ℙ(𝐿 ∩ 𝑉)
 
BC0406: Intr. à Prob. e à Estatística UFABC Resolução da Lista 04 v1 
 
 
Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 02/03/13 – pág. 12/19 
=
1
1 +
0,161 + 0,1392
0,186
 
= 𝟎, 𝟑𝟖𝟐𝟔 
 
c) ℙ(𝐶|𝑉) = 
=
1
1 +
ℙ(𝐼 ∩ 𝑉) + ℙ(𝐿 ∩ 𝑉)
ℙ(𝐶 ∩ 𝑉)
 
=
1
1 +
0,161 + 0,186
0,1392
 
= 𝟎, 𝟐𝟖𝟔𝟑 
 
d) ℙ(𝑉) = 
= ℙ(𝐼 ∩ 𝑉) + ℙ(𝐿 ∩ 𝑉) + ℙ(𝐶 ∩ 𝑉) 
= 0,161 + 0,186 + 0,1392 
= 𝟎, 𝟒𝟖𝟔𝟐 
 
 
12. 
𝐸𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠: 
𝐾: {𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎} 
𝐻: {𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎 ℎ𝑜𝑛𝑒𝑠𝑡𝑎} 
𝐷: {𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑜𝑛𝑒𝑠𝑡𝑎} 
 
𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑠𝑠𝑎𝑠: 
ℙ(𝐾|𝐻) =
1
2
 
ℙ(𝐾|𝐷) =
1
3
 
ℙ(𝐻) = ℙ(𝐷) =
1
2
 
 
ℙ(𝐻|𝐾) = 
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Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 02/03/13 – pág. 13/19 
=
ℙ(𝐻 ∩ 𝐾)
ℙ(𝐾)
 
=
ℙ(𝐾 ∩ 𝐻)
ℙ((𝐾 ∩ 𝐻) ∪ (𝐾 ∩ 𝐷))
 
=
ℙ(𝐾 ∩ 𝐻)
ℙ(𝐾 ∩ 𝐻) + ℙ(𝐾 ∩ 𝐷)
 
=
ℙ(𝐾|𝐻)ℙ(𝐻)
ℙ(𝐾|𝐻)ℙ(𝐻) + ℙ(𝐾|𝐷)ℙ(𝐷)
 
=
1
1 +
ℙ(𝐾|𝐷)ℙ(𝐷)
ℙ(𝐾|𝐻)ℙ(𝐻)
 
=
1
1 +
(
1
3 ·
1
2
)
(
1
2 ·
1
2
)
 
=
𝟑
𝟓
 
 
13. 
𝐸𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠: 
𝐻: {𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎 ℎ𝑜𝑛𝑒𝑠𝑡𝑎} 
𝐾: {𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎} 
 
ℙ(𝐻|𝐾) = 
=
ℙ(𝐻 ∩ 𝐾)
ℙ(𝐾)
 
=
2 (
1
3 ·
1
2
)
2 (
1
3 ·
1
2
) +
1
3 · 𝑝
 
=
𝟏
𝟏 + 𝒑
 
 
14. 
ℙ(𝐹) = 0,52 
ℙ(𝐶𝐶) = 0,05 
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Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 02/03/13 – pág. 14/19 
ℙ(𝐹 ∩ 𝐶𝐶) = 0,02 
 
a) ℙ(𝐹|𝐶𝐶) = 
=
ℙ(𝐹 ∩ 𝐶𝐶)
ℙ(𝐶𝐶)
 
=
0,02
0,05
 
=
𝟏
𝟓
 
 
b) ℙ(𝐶𝐶|𝐹) = 
=
ℙ(𝐶𝐶 ∩ 𝐹)
𝐹(𝐹)
 
=
ℙ(𝐹 ∩ 𝐶𝐶)
𝐹(𝐹)
 
=
0,02
0,52
 
=
1
26
 
= 𝟎, 𝟎𝟒 
 
15. 
𝐸𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠: 
𝐷: {𝐵 ≠ 𝑌} ∪ {𝐵 ≠ 𝑅} ∪ {𝑌 ≠ 𝑅} 
𝐼: {𝐵 = 𝑌} ∪ {𝐵 = 𝑅} ∪ {𝑌 = 𝑅} 
𝑀: {𝐵 < 𝑌 < 𝑅} 
 
a) ℙ(𝐷) = 
= 1 − 𝑃(𝐼) 
= 1 −
(3
2
) ((
6
1
) (1
1
) (5
1
)) + ((
6
1
) (1
1
) (1
1
))
63
 
= 1 −
96
216
 
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=
𝟓
𝟗
 
 
b) ℕ(𝑀 ∩ 𝐷) é 𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑀 ∩ 𝐷 𝑒 𝑝𝑜𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑛𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎 𝑎𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜: 
 D2 
D1 
1 2 3 4 5 6 Σ 
1 - - - - - - - 
2 - - 1 1 1 1 4 
3 - - - 2 2 2 6 
4 - - - - 3 3 6 
5 - - - - - 4 4 
6 - - - - - - - 
 Total 20 
 
ℙ(𝑀|𝐷) = 
=
ℙ(𝑀 ∩ 𝐷)
ℙ(𝐷)
 
=
∑ (𝑛 − 𝑖) · 𝑖𝑛=6−1𝑖=1
63
5
9
 
=
20
216
5
9
 
=
𝟏
𝟔
 
 
c) ℙ(𝑀) = 
= ℙ(𝐷 ∩ 𝑀)ℙ(𝐷|𝑀) 
= ℙ(𝑀 ∩ 𝐷)ℙ(𝐷|𝑀) 
= ℙ(𝑀|𝐷) · ℙ(𝐷) · ℙ(𝐷|𝑀) 
=
1
6
·
5
9
· 1 
=
𝟓
𝟓𝟒
 
 
 
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Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 02/03/13 – pág. 16/19 
16. 
a) ℙ(𝐵𝐼𝐼) = 
= ℙ((𝐵𝐼𝐼 ∩ 𝐵𝐼) ∪ (𝐵𝐼𝐼 ∩ 𝑉𝐼)) 
= ℙ(𝐵𝐼𝐼 ∩ 𝐵𝐼) + ℙ(𝐵𝐼𝐼 ∩ 𝑉𝐼) 
= ℙ(𝐵𝐼𝐼|𝐵𝐼)𝑃(𝐵𝐼) + ℙ(𝐵𝐼𝐼|𝑉𝐼)𝑃(𝑉𝐼) 
= (
2
2 + 4
) (
1 + 1
2 + 1
) + (
4
2 + 4
) (
1
2 + 1
) 
=
4
9
 
 
b) ℙ(𝐵𝐼|𝐵𝐼𝐼) = 
=
ℙ(𝐵𝐼 ∩ 𝐵𝐼𝐼)
ℙ(𝐵𝐼𝐼)
 
=
(
2
2 + 4
) (
1 + 1
2 + 1
)
4
9
 
=
1
2
 
 
17. 
𝑄𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑖𝑟𝑜 𝐴 𝑠𝑎𝑏𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜 𝑣𝑎𝑖 𝑠𝑒𝑟 𝑠𝑜𝑙𝑡𝑜, 𝑒𝑙𝑒 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑧 𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑎ç𝑜 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 
𝑑𝑎𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑙𝑒 𝑚𝑒𝑠𝑚𝑜 𝑠𝑒𝑟 𝑠𝑜𝑙𝑡𝑜, 𝑑𝑒𝑣𝑖𝑑𝑜 à 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖çã𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 
𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙. 
𝑂 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑠𝑒 𝑝𝑒𝑛𝑠𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑐𝑎𝑟𝑐𝑒𝑟𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑝𝑜𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 𝑒𝑥𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜 𝑝𝑒𝑙𝑎 
𝑝𝑟𝑜𝑣𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑎𝑏𝑎𝑖𝑥𝑜: 
 
𝐸𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠: 
𝑋𝐿 = {𝑝𝑟𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑋 é 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜} 
𝑋𝑇 = {𝑝𝑟𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑋 é 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟𝑖𝑑𝑜} 
𝑋𝑆 = {𝑝𝑟𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑋 𝑠𝑎𝑏𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜 𝑣𝑎𝑖 𝑠𝑒𝑟 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜} 
 
𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑠𝑠𝑎𝑠: 
ℙ(𝑋𝐿) =
1
3
 
 
BC0406: Intr. à Prob. e à Estatística UFABC Resolução da Lista 04 v1 
 
 
Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 02/03/13 – pág. 17/19 
ℙ(𝐴𝑇|𝐴𝑆) = 
= 1 − ℙ(𝐴𝐿|𝐴𝑆) 
= 1 − ℙ(𝐴𝐿|𝐴𝐿 ∪ 𝑂𝐿) 
= 1 −
ℙ(𝐴𝐿 ∩ (𝐴𝐿 ∪ 𝑂𝐿))
ℙ(𝐴𝐿 ∪ 𝑂𝐿)
 
= 1 −
ℙ(𝐴𝐿 ∪ (𝐴𝐿 ∩ 𝑂𝐿))
ℙ(𝐴𝐿 ∪ 𝑂𝐿)
 
= 1 −
ℙ(𝐴𝐿) + ℙ(𝐴𝐿 ∩ 𝑂𝐿)
ℙ(𝐴𝐿) + ℙ(𝑂𝐿)
 
= 1 −
1/3 + 0
1/3 + 1/3
 
=
𝟏
𝟐
 
 
18. 
𝐸𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠: 
𝑃𝑖
𝑛 = {𝑜 𝑝𝑟𝑒ç𝑜 𝑎𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑢 𝑒𝑚 𝑖 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑎𝑝ó𝑠 𝑛 𝑑𝑖𝑎𝑠} 
 
𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑠𝑠𝑎𝑠: 
ℙ(𝑃𝑖
𝑛) = (
𝑛
𝑖 + 1
) 𝑝𝑛−(𝑖+1)(1 − 𝑝)𝑖+1 
 
a) ℙ(𝑃0
2) = 
= (
2
0 + 1
) 𝑝0+1(1 − 𝑝)2−(0+1) 
= (
2
1
) 𝑝(1 − 𝑝) 
= 𝟐𝒑(𝟏 − 𝒑) 
 
b) ℙ(𝑃1
3) = 
= (
3
1 + 1
) 𝑝1+1(1 − 𝑝)3−(1+1) 
= (
3
2
) 𝑝2(1 − 𝑝) 
= 𝟑𝒑𝟐(𝟏 − 𝒑) 
BC0406: Intr. à Prob. e à Estatística UFABC Resolução da Lista 04 v1 
 
 
Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 02/03/13 – pág. 18/19 
 
c) ℙ(𝑃1
1|𝑃1
3) = 
=
ℙ(𝑃1
1 ∩ 𝑃1
3)
ℙ(𝑃1
3)
 
=
ℙ(𝑃0
2)
ℙ(𝑃1
3)
 
=
(2
1
) 𝑝2(1 − 𝑝)
(3
2
) 𝑝2(1 − 𝑝)
 
=
𝟐
𝟑
 
 
19. 
a) 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 
𝑃𝑜𝑟 𝑢𝑚 𝑙𝑎𝑑𝑜: 
ℙ(𝐴2 ∩ 𝐴3) = 
= ℙ(𝐴2) · ℙ(𝐴3|𝐴2) 
= ℙ(𝐴2) · ℙ(𝐴3) 
 
𝑃𝑜𝑟 𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜: 
ℙ(𝐴2 ∩ 𝐴3) = 
= ℙ(𝑆 ∩ (𝐴2 ∩ 𝐴3)) ; 𝑆: 𝑒𝑠𝑝𝑎ç𝑜 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 
= ℙ ((𝐴1 ∪ 𝐴1
𝐶) ∩ (𝐴2 ∩ 𝐴3)) 
= ℙ ((𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ 𝐴3) ∪ (𝐴1
𝐶 ∩ 𝐴2 ∩ 𝐴3)) 
= ℙ(𝐴1 ∩ 𝐴2 ∩ 𝐴3) + ℙ(𝐴1
𝐶 ∩ 𝐴2 ∩ 𝐴3) ; 𝑝𝑜𝑖𝑠 𝐴1 𝑒 𝐴1
𝐶 𝑠ã𝑜 𝑑𝑖𝑠𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 
= ℙ(𝐴1) · ℙ(𝐴2|𝐴1) · ℙ(𝐴3|𝐴1 ∩ 𝐴2) + ℙ(𝐴1
𝐶 ∩ 𝐴2 ∩ 𝐴3) 
= ℙ(𝐴1) · ℙ(𝐴2) · ℙ(𝐴3) + ℙ(𝐴1
𝐶 ∩ 𝐴2 ∩ 𝐴3) 
 
𝑃𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜: 
ℙ(𝐴1) · ℙ(𝐴2) · ℙ(𝐴3) + ℙ(𝐴1
𝐶 ∩ 𝐴2 ∩ 𝐴3) = ℙ(𝐴2) · ℙ(𝐴3) 
⇒ ℙ(𝐴1
𝐶 ∩ 𝐴2 ∩ 𝐴3) = ℙ(𝐴2) · ℙ(𝐴3) − ℙ(𝐴1) · ℙ(𝐴2) · ℙ(𝐴3) 
BC0406: Intr. à Prob. e à Estatística UFABC Resolução da Lista 04 v1 
 
 
Fernando Freitas Alves fernando.freitas@aluno.ufabc.edu.br 02/03/13 – pág. 19/19 
⇒ ℙ(𝐴1
𝐶 ∩ 𝐴2 ∩ 𝐴3) = (1 − ℙ(𝐴1)) · ℙ(𝐴2) · ℙ(𝐴3) 
⇒ ℙ(𝐴1
𝐶 ∩ 𝐴2 ∩ 𝐴3) = ℙ(𝐴1
𝐶) · ℙ(𝐴2) · ℙ(𝐴3) 
⇒ 𝐴1
𝐶 , 𝐴2 , 𝐴3 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 ∎ 
 
b) 𝐴𝑛𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑜 𝑖𝑡𝑒𝑚 𝑎, 𝐴1, 𝐴2
𝐶 , 𝐴3 𝑡𝑎𝑚𝑏é𝑚 𝑠ã𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠. 
 
c) 𝐵1 ∈ {𝐴1, 𝐴1
𝐶} ⇒ (𝐵1 ∈ 𝐴1) ∪ (𝐵1 ∈ 𝐴1 ∩ 𝐴1
𝐶) ∪ (𝐵1 ∈ 𝐴1
𝐶) 
𝐵2 ∈ {𝐴2, 𝐴2
𝐶} ⇒ (𝐵2 ∈ 𝐴2) ∪ (𝐵2 ∈ 𝐴2 ∩ 𝐴2
𝐶) ∪ (𝐵2 ∈ 𝐴2
𝐶) 
𝐵3 ∈ {𝐴3, 𝐴3
𝐶} ⇒ (𝐵3 ∈ 𝐴3) ∪ (𝐵3 ∈ 𝐴3 ∩ 𝐴3
𝐶) ∪ (𝐵3 ∈ 𝐴3
𝐶) 
𝐵1 ∩ 𝐵2 ∩ 𝐵3 ∈ 𝑒𝑚 𝑎𝑙𝑔𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎çõ𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑑𝑜 𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜𝑠 𝑎𝑐𝑖𝑚𝑎 
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝐴1 , 𝐴2 𝑒 𝐴3 𝑠ã𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠, 𝑞𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎çã𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜𝑠 𝑎𝑐𝑖𝑚𝑎 
𝑡𝑎𝑚𝑏é𝑚 𝑠𝑒𝑟á 𝑢𝑚 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒. 
𝐿𝑜𝑔𝑜, 𝐵1, 𝐵2 𝑒 𝐵3 𝑠ã𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠. ∎ 
 
20. 
21. 
22.