fisexp I exp6- movimento de um corpo rigido num plano inclinado

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Experimento 06: Movimento de um corpo rígido em um plano inclinado
	Integrantes:
Juliane Natalizi
Luísa Saisse
Sarah Braz
	Bancada: J
	
	Turma: EQ6
	
	Horário: 13-15h
Resumo
	Neste experimento, foram medidos os alcances de uma esfera de aço solta a partir do repouso de 5 alturas diferentes de uma canaleta com um trecho maior e inclinado e um trecho menor horizontal. Dessa forma, a esfera realizou um movimento balístico até chegar ao solo e o alcance pôde ser medido. Além disso, foram calculados quais seriam os alcances ideais para essas mesmas alturas a partir de dois modelos teóricos diferentes, o modelo A: deslizamento sem rolamento e o modelo B: rolamento sem deslizamento. A partir desses dados, foi traçado um gráfico de Alcance2 x altura para os dois modelos teóricos e para o nosso modelo experimental. Com isso, foi avaliado qual modelo teórico melhor descreveu o movimento da esfera no nosso experimento.
Introdução
	Neste experimento foi analisado o movimento de um corpo rígido, uma esfera, solta a partir de determinadas alturas de um plano inclinado (canaleta), que por possuir um trecho horizontal possibilitou que o corpo fosse lançado horizontalmente de forma balística até tocar o chão, como na imagem abaixo:
	A análise do movimento da esfera foi estudada por dois modelos possíveis: 
Modelo A, que considera um deslizamento sem rolamento, em que toda energia potencial em uma determinada altura é, pela lei da conservação de energia, convertida em energia cinética de translação.
Modelo B, que considera um rolamento sem deslizamento, em que a energia potencial é convertida em a energia cinética de rotação e de translação. 
Sendo m = massa; v = velocidade linear; I = Momento de inércia; = velocidade angular.
	O rolamento sem deslizamento se trata de um movimento composto por rotação e translação. Considerando o movimento de rotação, utilizam-se grandezas relacionadas a este, como a velocidade angular , definida como a derivada de (posição angular) em função do tempo, ou como o momento de inércia (I), uma grandeza que depende da massa de um corpo e de como ela é distribuída ao redor de um eixo (também considerada como “resistência à rotação”, de forma análoga a como a massa seria a “resistência à translação”). 
	De qualquer forma, para esta situação de rolamento sem deslizamento (modelo B), o ponto de contato do corpo com a superfície deve permanecer instantaneamente em repouso (v = 0), o que implica tanto que não há dissipação de energia naquele ponto e que a velocidade linear do centro de massa é igual ao produto do raio pela velocidade angular , sendo R o raio da esfera: 
				Vcm = R
	Considerando isso, nesse modelo, a energia cinética de um corpo que descreve um rolamento sem deslizamento é dada pelo somatório da energia cinética de translação com a energia cinética de rotação, como supracitado. 
, sendo m a massa do corpo e V a sua velocidade escalar.
, sendo I o seu momento de inércia e a sua velocidade angular.
	Além da discussão já feita, é necessário mostrar como obter as equações de velocidade e alcance para os modelos teóricos aqui apresentados:
Modelo A	
	Como já foi dito, a conservação de energia mecânica pelo modelo A é dada por: 
 (1)
Sendo h a altura da qual foi solta a esfera em relação ao plano de apoio, H a altura a qual a esfera percorre após sair da canaleta (altura de queda), m sua massa, e v a sua velocidade antes de abandonar a canaleta:
Por consequência, como m ≠ 0:
 (2)
	Assim, considerando que a única força externa que atua na direção vertical, após a esfera sair da canaleta, é o peso e g como a gravidade local, aplicando a função horária para um tempo de queda t:
 (3)
	Como t é o mesmo tempo em que a esfera percorre a distância horizontal A (alcance), e, tendo em vista que não há atuação de forças externas nessa direção, e, portanto, a velocidade horizontal é constante e igual à velocidade que a esfera sai da canaleta:
 e, logo, (4)
Aplicando (3) em (4):
 (5)
Substituindo (5) em (2):
 (6)
Finalmente:
 
Modelo B
	Para as mesmas medidas, e, considerando, ainda, I como o momento de inércia da esfera e r como (sendo R o seu raio e d a metade da largura da canaleta), a conservação de energia na canaleta nos dá:
 (7)
Podemos reescrever em função de v² como:
 (8)
Pelos mesmos motivos que permitiram (5), podemos reescrever (8) como:
 (8)
O que nos dá, em função de A²:
Procedimento experimental
	Primeiramente, foi feito um estudo qualitativo do alcance da esfera. Escolheram-se duas esferas de massas e raios diferentes, soltou-se a de menor massa de uma altura escolhida e observou-se seu alcance visualmente. Em seguida, repetiu-se o procedimento para a outra esfera maior massa, soltando-a da mesma altura da qual foi solta a anterior. Compararam-se qualitativamente seus alcances.
	A discussão sobre o resultado será feita na “análise de dados”.
	Então, escolheu-se a menor esfera e mediu-se seu diâmetro fazendo o uso de um paquímetro, Depois, verificou-se sua respectiva massa com um o auxilio de uma balança. E em seguida, mediu-se com um paquímetro a largura da canaleta. Obtendo-se os seguintes dados:
 	Tabela 1:Dados das características físicas da esfera e da canaleta.
	Grandeza
	Resultado experimental
	Diâmetro da esfera
	1,400 +/- 0,005 cm
	Massa da esfera
	11 +/- 1 g
	Largura da canaleta
	1,185 +/- 0,005 cm
	
	Foi preciso então escolher cinco alturas arbitrárias nas quais a esfera seria solta, porém, antes disso foi preciso pensar como determinaríamos o número necessário de lançamentos a partir de uma mesma altura para a determinação do alcance e como mediríamos esse alcance.
	Portanto, a esfera foi jogada da maior e da menor altura possível e marcamos visualmente seu menor e maior alcance. Sendo assim, foi colocado no chão duas folhas de papel ofício cobertas com papel carbono, de forma que cobrissem os pontos de mínimo a máximo alcance. Para uma mesma altura soltamos 06 vezes a esfera e percebemos que os pontos que marcaram o alcance já estavam bem próximos, logo adotamos 06 como a quantidade de lançamentos que faríamos para cada uma das 05 alturas escolhidas.
	Com o auxílio de um fio de plumo e de uma régua determinamos a altura de queda H = 90,6 +/- 0,1 cm. 
	O ponto correspondente à posição em que a esfera saía da canaleta foi marcado no chão também com a ajuda do fio de plumo e este ponto foi considerado como o ponto de origem e a partir deste seriam medidos os alcances da esfera com uma régua.
	Portanto, após jogarmos a esfera das diferentes alturas obtivemos as marcações (vários pontos pretos) no papel ofício que estava no chão e, para determinar cada alcance e sua incerteza marcou-se uma elipse ao redor das 6 marcações (de cada uma das alturas) geradas pela queda da esfera, a distância entre nossa origem e o centro da elipse seria o alcance e o raio da elipse seria a incerteza do alcance. 
	Assim obtivemos os dados na tabela abaixo, que inclui também o valor do alcance² e sua incerteza encontrada de acordo com a fórmula de propagação de incertezas [Apêndice A].
Tabela 2: Dados encontrados para as alturas escolhidas.
	Alturas (cm)
	
	 Alcance (cm)
	
	Alcance² (cm²)
	
	12,3 
	0,5
	40,3
	0,5
	1624
	40
	18,0 
	0,5
	48,5
	0,5
	2352
	50
	20,1 
	0,5
	51,3
	0,6
	2631
	60
	22,7 
	0,5
	55,7
	0,4
	3102
	40
	27,4 
	0,5
	59,3
	0,7
	3516
	80
	Importante notar que foi adotado para cada altura uma incerteza de 0,5 cm pois a mesma foi medida usando uma régua que não encostava exatamente no corpo medido, sendo assim adotamos esse valor devido às incertezas sistemáticas do método que utilizamos.
	Além disso, foi calculado para essas alturas quais seriam os alcances² teóricos utilizando o modelo A e modelo B. Isso foi possível pois, sabe-se que para uma esfera ideal o valor do momento de inércia é: . Não foi adotada a presença de incertezas para os modelos teóricos. 
Tabela 3: Valores teóricos de alcance²Alturas (cm)
	Alcance² Modelo A (cm²)
	Alcance² Modelo B (cm²)
	12,3 
	4.457,5
	1.857,3
	18,0 
	6.523,2
	2.718
	20,1 
	7.284,2
	3.035,1
	22,7 
	8.226,5
	3.427,7
	27,4 
	9.929,8
	4.137,4
	Com esses dados, pôde ser feito o gráfico alcance²x altura em anexo. Os dados para os coeficientes angulares das retas foram encontrados utilizando o programa Quitplot e o estudo do gráfico será feita na “Análise de dados”.
	Além do apresentado aqui, também objetivamos encontrar o valor experimental para o momento de inércia e compará-lo com o valor teórico, isso já considerando que o movimento da esfera foi o de rolar sem deslizar. Para isso, foi utilizado que o coeficiente angular da reta alcance²x altura =. Essa análise constará na “Análise de dados”.
Análise de dados
Análise qualitativa: esferas de diferentes massas e raios
	Primeiramente, comparando o alcance da esfera maior com o da menor (soltas de uma mesma altura), foi nítido que esfera maior foi muito mais longe. Entretanto, não se pode dizer que isso se deu pelo fato de sua massa ser maior, uma vez que, por (8), a velocidade com que ambas saem da canaleta independe de sua massa (e sim apenas da aceleração da gravidade e da altura da qual foram soltas). Isso se dá pelo fato de que I possui dimensão de mR² (sendo R o raio da esfera), o que significa que o fator se cancela de modo a obter-se uma razão com um fator , e dessa forma, sem haver influência da massa na velocidade. Sendo assim, as diferenças de alcance se dão justamente pela diferença do raio das esferas, logo se conclui que um maior raio acarreta em um maior alcance.
	Observe:
 
	Como 4Hh é constante para esse caso, A² é inversamente proporcional a , sendo X uma constante qualquer. Como condição inicial, o raio da esfera (R) deve ser sempre maior que o raio da canaleta (d), logo o valor mínimo que a fração pode obter é X, que ocorre justamente quando R é tão grande que R²-d² se torna muito próximo de R² e então o alcance é máximo.
Análise do movimento da esfera
	Ao analisarmos o gráfico em anexo, percebe-se que a reta gerada pelos dados experimentais se assemelha muito mais à reta gerada de acordo com o modelo B do que com a reta do modelo A, de fato os valores de coeficiente angular também mostram isso, então, lembrando que não foram adotas incertezas para os valores teóricos, temos:
Tabela 4: Valores dos coeficientes angulares
	Coeficiente angular experimental
	Coeficiente angular modelo A
	Coeficiente angular modelo B
	135 +/- 5
	362,4
	151
	De fato, vemos que o resultado faz sentido. No movimento de deslizar sem rolar a energia potencial é convertida em energia cinética de translação, o que acarreta em uma velocidade maior e um maior alcance também. Já ao rolar sem deslizar a energia potencial se converte em energia cinética de rotação e de translação, e um menor alcance é obtido.
	A discrepância relativa entre o nosso modelo experimental e o modelo teórico B é de 10 %, enquanto, ao compararmos com o modelo A, a discrepância é bem maior (63%). Portanto conclui-se que, no nosso modelo experimental, a esfera realizou um movimento de rotação sem deslizamento.
	No modelo teórico B, ao utilizarmos que, para uma esfera homogênea ideal o valor do momento de inércia do centro de massa é Icm = , e, sabendo que o coeficiente angular da reta encontrada para esse movimento é dado por foi possível calcular o valor teórico do momento de inércia e o valor encontrado experimentalmente, e suas respectivas incertezas foram encontradas utilizando a fórmula de propagação de incertezas [Apêndice-A]. Os dados encontrados estão na tabela abaixo:
Tabela 5: Valores momento de inércia do centro de massa com suas respectivas incertezas
	Momento de inércia teórico – modelo B
	Momento de inércia experimental
	2,2 +/- 0,1
	2,6 +/- 0,3
	Diante dos valores obtidos, percebe-se que o valor experimental é um pouco maior que o teórico, mas é coberto pela incerteza. Uma esfera ideal é a que possui uma distribuição de massa homogênea, logo se conclui que a esfera utilizada no experimento não possuía uma distribuição de massa completamente homogênea, apresentando uma discrepância relativa em relação à esfera ideal de 18%.
Conclusões
	Diante do aqui descrito e analisado, pode-se afirmar que o estudo do movimento de uma esfera em um plano inclinado foi realizado com sucesso. A partir do modelo experimental foi possível obtermos o gráfico do alcance²x altura e assim fazermos a comparação com os modelos teóricos já existentes que poderiam descrever o tipo de movimento realizado pela esfera, o deslizamento sem rolamento (A), e o rolamento sem deslizamento (B). Ao final da comparação, pelo coeficiente angular das retas geradas, concluímos que o movimento da esfera no experimento foi o de rolamento sem deslizamento e que para este movimento o alcance é menor do que para o (A), devido à transformação da energia potencial em somente cinética de translação para A e em cinéticas de translação e rotação para B.
	Assim, provou-se também que para esferas de maiores raios maior seria o alcance, de fato, para uma mesma altura se o movimento realizado fosse o de deslizar sem rolar o alcance deveria ter sido o mesmo independentemente do formato do corpo. 	Além disso, encontrou-se o valor do momento de inércia da esfera utilizada no experimento, comparando-a com uma ideal de mesma massa e raio, percebendo assim que corpos não ideais possuem distribuição de massa não homogênea e maior momento de inércia.
Referências
Apostila física experimental I – IF-UFRJ, 02/2016
Freedman, Roger A.; Young, Hugh D. FísicaI - Mecânica, 12ª Ed. (Pearson Addison-Wesley, São Paulo, 2008).
Apêndice A
	Aqui apresentamos as fórmulas de propagação de incertezas utilizadas ao longo do experimento.
1. Determinação da incerteza do Alcance²:
2. Determinação da incerteza do momento de inércia para o modelo B:
			
D=diâmetro da esfera			
m= massa da esfera
 3. Determinação do momento de inércia experimental, a partir do coeficiente angular da reta (a) alcance²x altura gerado.
				a = , sendo r 
			
	Sendo, D= diâmetro da esfera
	l = largura da canaleta
	m = massa da esfera
	a = coeficiente angular