Roteiro de aula prática 05/ Física Experimental - UFC, 2017.1

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PRÁTICA 05: PÊNDULO SIMPLES – MEDIÇÃO DO PERÍODO 
 
1 OBJETIVOS 
- Determinar o período de oscilação de um pêndulo simples. 
- Avaliar o impacto das flutuações aleatórias em medições repetitivas. 
- Estudar a distribuição amostral: histogramas, médias e desvio padrão, distribuição 
limite. 
2 MATERIAL 
- Um pêndulo 
- Um cronômetro 
- Uma fita métrica 
3 PROCEDIMENTO 
3.1 Distribuição das medidas. 
Ajuste o comprimento da corda em cerca de 90 cm, certifique-se de que o pêndulo oscila num 
plano vertical, com uma amplitude de cerca de 10 graus. 
Meça o período T pelo cronômetro. Repita a medição N = 200 vezes. Divida o conjunto de N = 
200 valores em M = 10 subconjuntos (Amostras) de N = 20 valores. Desenhe e compare dois 
histogramas, um para um dos subconjuntos de N = 20 valores, o outro para o conjunto total de 
N = 200 valores. Normalize os histogramas de acordo com o que você acha que é o mais 
adequado. 
(Recomendação: é conveniente que cada subconjunto de 20 medições seja realizado por um 
membro do grupo) 
Para ambos os histogramas, calcule e compare a média da amostra e o desvio padrão: 
𝑚𝑚[𝑇𝑇] = 1
𝑛𝑛
�𝑇𝑇𝑖𝑖
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
, 𝜎𝜎[𝑇𝑇] = �1
𝑛𝑛
�(𝑇𝑇𝑖𝑖 − 𝑚𝑚)2𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
 
onde 𝑛𝑛 é o número de medições 𝑇𝑇𝑖𝑖. 
3.2 Distribuição das médias amostrais. 
Calcule a média 𝑚𝑚𝑘𝑘[𝑇𝑇] e o desvio padrão 𝜎𝜎𝑘𝑘[𝑇𝑇] (𝑘𝑘 = 1, … ,𝑀𝑀) para cada uma das M = 10 
amostras de N = 20 medidas. Desenhe o histograma da médias das amostras e calcule a média 
das médias 𝑚𝑚[𝑚𝑚𝑘𝑘] e o desvio padrão 𝜎𝜎[𝑚𝑚𝑘𝑘]. 
3.3 Distribuição limite. 
Quando o número N de medidas aumenta, o histograma tende para uma forma de sino, que 
pode ser descrita analiticamente por uma distribuição normal, 
𝐺𝐺(𝑥𝑥) = 1
√2𝜋𝜋 exp �− (𝑥𝑥 − �̅�𝑥)22 𝜎𝜎𝑥𝑥2 � , 
onde, neste caso, 𝑥𝑥 ≡ 𝑇𝑇. Os valores da média 𝑚𝑚 e do desvio padrão 𝜎𝜎 da distribuição limite não 
podem ser calculados exatamente a partir de um número finito de medidas; eles só podem ser 
estimados. A melhor estimativa 𝑚𝑚� da média �̅�𝑥 é a média das amostras 𝑚𝑚, e a melhor estimativa 
𝜎𝜎� do desvio padrão 𝜎𝜎𝑥𝑥 é o desvio padrão das amostras 𝜎𝜎 multiplicado por �𝑁𝑁 (𝑁𝑁 − 1)⁄ . Estime 
os parâmetros �̅�𝑥 e 𝜎𝜎𝑥𝑥 da distribuição limite das N =200 medições : 
𝑚𝑚� [𝑇𝑇] = 𝑚𝑚[𝑇𝑇], 𝜎𝜎�[𝑚𝑚] = � 𝑁𝑁
𝑁𝑁 − 1𝜎𝜎[𝑚𝑚] 
e compare com a distribuição normal correspondente ao histograma normalizado dos N = 200 
valores superpondo o gráfico do histograma com a função 𝐺𝐺(𝑥𝑥). 
3.4 A incerteza devido a flutuações aleatórias 
Apresente o resultado no formato: 𝑇𝑇 = 𝑇𝑇0 ± 𝛿𝛿𝑇𝑇 (𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑛𝑛𝑐𝑐𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 ± 𝑖𝑖𝑛𝑛𝑐𝑐𝑐𝑐𝑉𝑉𝑐𝑐𝑐𝑐𝑖𝑖𝑉𝑉). Suponha como 
valor central 𝑇𝑇0 a média 𝑚𝑚 da distribuição limite, cuja melhor estimativa é a média das amostras 
𝑚𝑚. 
A incerteza 𝛿𝛿𝑇𝑇 depende da flutuações da média amostral 𝑚𝑚 em relação à média populacional 
desconhecida 𝑚𝑚� (assume-se como o verdadeiro valor de 𝑇𝑇). Uma medida das flutuações de 𝑚𝑚 
com relação a 𝑚𝑚� é dada pelo desvio padrão da distribuição das amostras. Por convenção, 
assumimos 𝛿𝛿𝑇𝑇 = 𝜎𝜎[𝑚𝑚] (Incerteza padrão). 
Os desvios padrão da distribuição da média das amostras e de um único valor estão relacionados 
por 𝜎𝜎[𝑚𝑚] = 𝜎𝜎[𝑇𝑇] 𝑁𝑁1 2⁄⁄ . Por sua vez, 𝜎𝜎[𝑇𝑇] pode ser estimado a partir do desvio padrão da 
amostra 𝜎𝜎. Como consequência, a incerteza é calculada como 
𝛿𝛿𝑇𝑇 = 𝜎𝜎[𝑚𝑚] = 1
√𝑁𝑁
𝜎𝜎𝑥𝑥 = 1
√𝑁𝑁
�
𝑁𝑁
𝑁𝑁 − 1𝜎𝜎 = � 1𝑁𝑁(𝑁𝑁 − 1)�(𝑇𝑇𝑖𝑖 − 𝑚𝑚)2𝑁𝑁
𝑖𝑖=1
 
3.5 Resolução Instrumento e resolução de medição. 
A resolução de uma única medição corresponde à resolução do cronômetro Δ𝑇𝑇. A resolução 
pode ser reduzida através da medição da soma de muitos períodos. Por exemplo, pode-se medir 
a duração 𝑇𝑇10 de 10 oscilações e calcular o período como 𝑇𝑇 = 𝑇𝑇10 10⁄ . A resolução instrumento 
agora refere-se ao valor 𝑇𝑇10, e uma resolução dez vezes menor, Δ𝑇𝑇/10, pode ser atribuída ao 
valor do período. 
Repita a medição 𝑛𝑛 = 20 vezes com este novo procedimento, desenhe o histograma 
correspondente e calcule sua média e desvio padrão. Criticamente compare os valores de 
incerteza obtidos pelos dois procedimentos. 
3.6 Os erros sistemáticos. 
Uma possível causa de erros sistemáticos está relacionada com o tempo de reação do 
operador, e as possíveis diferenças de comportamento ao iniciar e parar o cronômetro. Para 
avaliar este efeito, compare os resultados obtidos por diferentes operadores. 
	1 OBJETIVOS
	2 MATERIAL
	3 PROCEDIMENTO
	3.1 Distribuição das medidas.
	3.2 Distribuição das médias amostrais.
	3.3 Distribuição limite.
	3.4 A incerteza devido a flutuações aleatórias
	3.5 Resolução Instrumento e resolução de medição.
	3.6 Os erros sistemáticos.