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Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Zero de Funções Reais,
Raízes de Equações Não-lineares
Patrick Terrematte
patrick.terrematte@ufersa.edu.br
PEX0103− Cálculo Numérico
C&T− Bacharelado em Ciência e Tecnologia
UFERSA− Pau dos Ferros
2016.2
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Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Sumário
1 Contexto do problema
2 Método da Bisseção
3 Método de Newton-Raphson
4 Método da Secante
2 / 19
Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Contexto do problema
Na engenharia e nas ciências exatas é comum deparar-se com
problemas que requerem o cálculo da raiz de uma função.
Dado uma função f (x), queremos encontrar um x tal que
f (x) = 0.
Algumas funções podem ter suas raízes calculadas
analiticamente, porém outras são mais complexas e exigem que
métodos numéricos sejam utilizados.
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Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Contexto do problema
Na engenharia e nas ciências exatas é comum deparar-se com
problemas que requerem o cálculo da raiz de uma função.
Dado uma função f (x), queremos encontrar um x tal que
f (x) = 0.
Algumas funções podem ter suas raízes calculadas
analiticamente, porém outras são mais complexas e exigem que
métodos numéricos sejam utilizados.
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Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Contexto do problema
Na engenharia e nas ciências exatas é comum deparar-se com
problemas que requerem o cálculo da raiz de uma função.
Dado uma função f (x), queremos encontrar um x tal que
f (x) = 0.
Algumas funções podem ter suas raízes calculadas
analiticamente, porém outras são mais complexas e exigem que
métodos numéricos sejam utilizados.
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Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Como encontrar as raízes?
Dada uma função f(x), encontrar um intervalo fechado [a,b] que
contenha pelo menos uma raiz.
Melhorar a raiz interativamente até encontrar um critério de
convergência.
- Fase I - Análise
Localizar ou isolar uma região que contenha a raiz e definir um
valor aproximado inicial
- Fase II - Refinamento
Refinamento ou seja melhorar sucessivamente a aproximação
inicial obtida na fase I até se obter uma aproximação para a raiz
real dentro de uma precisão ε prefixada
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Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Como encontrar as raízes?
Dada uma função f(x), encontrar um intervalo fechado [a,b] que
contenha pelo menos uma raiz.
Melhorar a raiz interativamente até encontrar um critério de
convergência.
- Fase I - Análise
Localizar ou isolar uma região que contenha a raiz e definir um
valor aproximado inicial
- Fase II - Refinamento
Refinamento ou seja melhorar sucessivamente a aproximação
inicial obtida na fase I até se obter uma aproximação para a raiz
real dentro de uma precisão ε prefixada
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Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Como encontrar as raízes?
Dada uma função f(x), encontrar um intervalo fechado [a,b] que
contenha pelo menos uma raiz.
Melhorar a raiz interativamente até encontrar um critério de
convergência.
- Fase I - Análise
Localizar ou isolar uma região que contenha a raiz e definir um
valor aproximado inicial
- Fase II - Refinamento
Refinamento ou seja melhorar sucessivamente a aproximação
inicial obtida na fase I até se obter uma aproximação para a raiz
real dentro de uma precisão ε prefixada
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Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Como encontrar as raízes?
Dada uma função f(x), encontrar um intervalo fechado [a,b] que
contenha pelo menos uma raiz.
Melhorar a raiz interativamente até encontrar um critério de
convergência.
- Fase I - Análise
Localizar ou isolar uma região que contenha a raiz e definir um
valor aproximado inicial
- Fase II - Refinamento
Refinamento ou seja melhorar sucessivamente a aproximação
inicial obtida na fase I até se obter uma aproximação para a raiz
real dentro de uma precisão ε prefixada
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Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Fase I - Análise
Nesta fase fazemos uma análise teórica e gráfica da função f(x)
O sucesso da fase II depende da precisão desta análise.
Usamos o Teorema de Cauchy:
Seja f(x) uma função contínua no intervalo [a, b] se f (a)f (b) < 0
então existe pelo menos um ponto x0 entre a e b , f (x) = 0.
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Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Fase I - Análise
Nesta fase fazemos uma análise teórica e gráfica da função f(x)
O sucesso da fase II depende da precisão desta análise.
Usamos o Teorema de Cauchy:
Seja f(x) uma função contínua no intervalo [a, b] se f (a)f (b) < 0
então existe pelo menos um ponto x0 entre a e b , f (x) = 0.
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Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Fase I - Análise Gráfica
Se f (a)f (b) < 0, então existe pelo menos um ponto x0 entre a e b,
f (x) = 0.
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Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Fase I - Análise Gráfica
Se f (a)f (b) > 0, então várias situações de raízes são possíveis.
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Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Fase I - Análise Gráfica
Se f (a)f (b) < 0, então existe pelo menos um ponto x0 entre a e b,
f (x) = 0.
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
f(x) - + + + + - - + +
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Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Refinamento das raízes
Após encontrar o intervalo [a,b], o valor da raiz é refinado até
atingir uma certa convergência.
Este procedimento é realizado por métodos numéricos
- Método da Bisseção
- Método de Newton-Raphson
- Método da Secante
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Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Refinamento das raízes
Após encontrar o intervalo [a,b], o valor da raiz é refinado até
atingir uma certa convergência.
Este procedimento é realizado por métodos numéricos
- Método da Bisseção
- Método de Newton-Raphson
- Método da Secante
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Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Refinamento das raízes
Após encontrar o intervalo [a,b], o valor da raiz é refinado até
atingir uma certa convergência.
Este procedimento é realizado por métodos numéricos
- Método da Bisseção
- Método de Newton-Raphson
- Método da Secante
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Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Refinamento das raízes
Após encontrar o intervalo [a,b], o valor da raiz é refinado até
atingir uma certa convergência.
Este procedimento é realizado por métodos numéricos
- Método da Bisseção
- Método de Newton-Raphson
- Método da Secante
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Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Refinamento das raízes
Após encontrar o intervalo [a,b], o valor da raiz é refinado até
atingir uma certa convergência.
Este procedimento é realizado por métodos numéricos
- Método da Bisseção
- Método de Newton-Raphson
- Método da Secante
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Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Método da Bisseção - Ideia
Seja f (x) uma função contínua no intervalo [a, b], tal que
f (a) ∗ f (b) < 0
Dividindo-se o intervalo ao meio, obtém-se x0 e dois
subintervalos [a, x0] e [x0, b]
Se f (x0) = 0 então x0 é raiz de f (x)
Senão deve-se analisar a variação de sinal nos extremos dos
subintervalos
- Se f (a) ∗ f (x0) < 0 então a raiz estáno intervalo [a, x0 ]
- Caso contrário, a raiz está no intervalo [x0, b]
Em seguida calcula-se x1, x2, ..., xn até atingir uma convergência.
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Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Método da Bisseção - Ideia
Seja f (x) uma função contínua no intervalo [a, b], tal que
f (a) ∗ f (b) < 0
Dividindo-se o intervalo ao meio, obtém-se x0 e dois
subintervalos [a, x0] e [x0, b]
Se f (x0) = 0 então x0 é raiz de f (x)
Senão deve-se analisar a variação de sinal nos extremos dos
subintervalos
- Se f (a) ∗ f (x0) < 0 então a raiz está no intervalo [a, x0 ]
- Caso contrário, a raiz está no intervalo [x0, b]
Em seguida calcula-se x1, x2, ..., xn até atingir uma convergência.
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Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Método da Bisseção - Ideia
Seja f (x) uma função contínua no intervalo [a, b], tal que
f (a) ∗ f (b) < 0
Dividindo-se o intervalo ao meio, obtém-se x0 e dois
subintervalos [a, x0] e [x0, b]
Se f (x0) = 0 então x0 é raiz de f (x)
Senão deve-se analisar a variação de sinal nos extremos dos
subintervalos
- Se f (a) ∗ f (x0) < 0 então a raiz está no intervalo [a, x0 ]
- Caso contrário, a raiz está no intervalo [x0, b]
Em seguida calcula-se x1, x2, ..., xn até atingir uma convergência.
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Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Método da Bisseção - Ideia
Seja f (x) uma função contínua no intervalo [a, b], tal que
f (a) ∗ f (b) < 0
Dividindo-se o intervalo ao meio, obtém-se x0 e dois
subintervalos [a, x0] e [x0, b]
Se f (x0) = 0 então x0 é raiz de f (x)
Senão deve-se analisar a variação de sinal nos extremos dos
subintervalos
- Se f (a) ∗ f (x0) < 0 então a raiz está no intervalo [a, x0 ]
- Caso contrário, a raiz está no intervalo [x0, b]
Em seguida calcula-se x1, x2, ..., xn até atingir uma convergência.
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Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Método da Bisseção - Ideia
Seja f (x) uma função contínua no intervalo [a, b], tal que
f (a) ∗ f (b) < 0
Dividindo-se o intervalo ao meio, obtém-se x0 e dois
subintervalos [a, x0] e [x0, b]
Se f (x0) = 0 então x0 é raiz de f (x)
Senão deve-se analisar a variação de sinal nos extremos dos
subintervalos
- Se f (a) ∗ f (x0) < 0 então a raiz está no intervalo [a, x0 ]
- Caso contrário, a raiz está no intervalo [x0, b]
Em seguida calcula-se x1, x2, ..., xn até atingir uma convergência.
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Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Método da Bisseção - Ideia
Seja f (x) uma função contínua no intervalo [a, b], tal que
f (a) ∗ f (b) < 0
Dividindo-se o intervalo ao meio, obtém-se x0 e dois
subintervalos [a, x0] e [x0, b]
Se f (x0) = 0 então x0 é raiz de f (x)
Senão deve-se analisar a variação de sinal nos extremos dos
subintervalos
- Se f (a) ∗ f (x0) < 0 então a raiz está no intervalo [a, x0 ]
- Caso contrário, a raiz está no intervalo [x0, b]
Em seguida calcula-se x1, x2, ..., xn até atingir uma convergência.
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Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Método da Bisseção - Ideia
Seja f (x) uma função contínua no intervalo [a, b], tal que
f (a) ∗ f (b) < 0
Dividindo-se o intervalo ao meio, obtém-se x0 e dois
subintervalos [a, x0] e [x0, b]
Se f (x0) = 0 então x0 é raiz de f (x)
Senão deve-se analisar a variação de sinal nos extremos dos
subintervalos
- Se f (a) ∗ f (x0) < 0 então a raiz está no intervalo [a, x0 ]
- Caso contrário, a raiz está no intervalo [x0, b]
Em seguida calcula-se x1, x2, ..., xn até atingir uma convergência.
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Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Critérios de Parada
Análise do Valor da função:
| f (xi) |< ε
Erro absoluto:
| xi − xi−1 |< ε
Erro relativo:
| xi−xi−1xi |< ε
Limites do Intervalo:
b−a
2 < ε
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Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Critérios de Parada
Análise do Valor da função:
| f (xi) |< ε
Erro absoluto:
| xi − xi−1 |< ε
Erro relativo:
| xi−xi−1xi |< ε
Limites do Intervalo:
b−a
2 < ε
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Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Critérios de Parada
Análise do Valor da função:
| f (xi) |< ε
Erro absoluto:
| xi − xi−1 |< ε
Erro relativo:
| xi−xi−1xi |< ε
Limites do Intervalo:
b−a
2 < ε
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Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Critérios de Parada
Análise do Valor da função:
| f (xi) |< ε
Erro absoluto:
| xi − xi−1 |< ε
Erro relativo:
| xi−xi−1xi |< ε
Limites do Intervalo:
b−a
2 < ε
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Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Método da Bisseção - Exemplo
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Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Método da Bisseção - Exemplo - Iteração 0
Para x0, a = 0.5 e b = 1
Determinar a raiz da função f (x) = x2 + ln(x), dados ε < 0.03,
[0.5, 1] e adotando o item 4 ( b−a2 ) como critério de parada
Teorema do intervalo
f (0.5) = 0.52 + ln(0.5) = −0.44315
f (1) = 12 + ln(1) = 1
O ponto médio
x0 = 0.5+12 = 0.75
Critério de parada:
1−0.5
2 = 0.25 < 0.03(F)
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Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Método da Bisseção - Exemplo - Iteração 0
Para x0, a = 0.5 e b = 1
Determinar a raiz da função f (x) = x2 + ln(x), dados ε < 0.03,
[0.5, 1] e adotando o item 4 ( b−a2 ) como critério de parada
Teorema do intervalo
f (0.5) = 0.52 + ln(0.5) = −0.44315
f (1) = 12 + ln(1) = 1
O ponto médio
x0 = 0.5+12 = 0.75
Critério de parada:
1−0.5
2 = 0.25 < 0.03(F)
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Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Método da Bisseção - Exemplo - Iteração 0
Para x0, a = 0.5 e b = 1
Determinar a raiz da função f (x) = x2 + ln(x), dados ε < 0.03,
[0.5, 1] e adotando o item 4 ( b−a2 ) como critério de parada
Teorema do intervalo
f (0.5) = 0.52 + ln(0.5) = −0.44315
f (1) = 12 + ln(1) = 1
O ponto médio
x0 = 0.5+12 = 0.75
Critério de parada:
1−0.5
2 = 0.25 < 0.03(F)
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Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Método da Bisseção - Exemplo - Iteração 0
Para x0, a = 0.5 e b = 1
Determinar a raiz da função f (x) = x2 + ln(x), dados ε < 0.03,
[0.5, 1] e adotando o item 4 ( b−a2 ) como critério de parada
Teorema do intervalo
f (0.5) = 0.52 + ln(0.5) = −0.44315
f (1) = 12 + ln(1) = 1
O ponto médio
x0 = 0.5+12 = 0.75
Critério de parada:
1−0.5
2 = 0.25 < 0.03(F)
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Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Método da Bisseção - Exemplo - Iteração 0
Para x0, a = 0.5 e b = 1
Determinar a raiz da função f (x) = x2 + ln(x), dados ε < 0.03,
[0.5, 1] e adotando o item 4 ( b−a2 ) como critério de parada
Teorema do intervalo
f (0.5) = 0.52 + ln(0.5) = −0.44315
f (1) = 12 + ln(1) = 1
O ponto médio
x0 = 0.5+12 = 0.75
Critério de parada:
1−0.5
2 = 0.25 < 0.03(F)
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Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Método da Bisseção - Exemplo - Iteração 0
Para x0, a = 0.5 e b = 1
Determinar a raiz da função f (x) = x2 + ln(x), dados ε < 0.03,
[0.5, 1] e adotando o item 4 ( b−a2 ) como critério de parada
Teorema do intervalo
f (0.5) = 0.52 + ln(0.5) = −0.44315
f (1) = 12 + ln(1) = 1
O ponto médio
x0 = 0.5+12 = 0.75
Critério de parada:
1−0.5
2 = 0.25 < 0.03(F)
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Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Método da Bisseção - Exemplo - Iteração 0
Para x0, a = 0.5 e b = 1
Determinar a raiz da função f (x) = x2+ ln(x), dados ε < 0.03,
[0.5, 1] e adotando o item 4 ( b−a2 ) como critério de parada
Teorema do intervalo
f (0.5) = 0.52 + ln(0.5) = −0.44315
f (1) = 12 + ln(1) = 1
O ponto médio
x0 = 0.5+12 = 0.75
Critério de parada:
1−0.5
2 = 0.25 < 0.03(F)
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Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Método da Bisseção - Exemplo - Iteração 0
Para x0, a = 0.5 e b = 1
Determinar a raiz da função f (x) = x2 + ln(x), dados ε < 0.03,
[0.5, 1] e adotando o item 4 ( b−a2 ) como critério de parada
Teorema do intervalo
f (0.5) = 0.52 + ln(0.5) = −0.44315
f (1) = 12 + ln(1) = 1
O ponto médio
x0 = 0.5+12 = 0.75
Critério de parada:
1−0.5
2 = 0.25 < 0.03(F)
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Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Método da Bisseção - Exemplo - Iteração 0
Para x0, a = 0.5 e b = 1
Determinar a raiz da função f (x) = x2 + ln(x), dados ε < 0.03,
[0.5, 1] e adotando o item 4 ( b−a2 ) como critério de parada
Teorema do intervalo
f (0.5) = 0.52 + ln(0.5) = −0.44315
f (1) = 12 + ln(1) = 1
O ponto médio
x0 = 0.5+12 = 0.75
Critério de parada:
1−0.5
2 = 0.25 < 0.03(F)
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Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Método da Bisseção - Exemplo - Iteração 1
Para x1, a = 0.5 e b = 0.75
Teorema do intervalo
f (0.5) = 0.52 + ln(0.5) = −0.44315
f (0.75) = 0.752 + ln(0.75) = 0.275
f (1) = 12 + ln(1) = 1
O ponto médio
x1 = 0.5+0.752 = 0.625
Critério de parada:
0.75−0.5
2 = 0.125 < 0.03(F)
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Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Método da Bisseção - Exemplo - Iteração 1
Para x1, a = 0.5 e b = 0.75
Teorema do intervalo
f (0.5) = 0.52 + ln(0.5) = −0.44315
f (0.75) = 0.752 + ln(0.75) = 0.275
f (1) = 12 + ln(1) = 1
O ponto médio
x1 = 0.5+0.752 = 0.625
Critério de parada:
0.75−0.5
2 = 0.125 < 0.03(F)
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Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Método da Bisseção - Exemplo - Iteração 1
Para x1, a = 0.5 e b = 0.75
Teorema do intervalo
f (0.5) = 0.52 + ln(0.5) = −0.44315
f (0.75) = 0.752 + ln(0.75) = 0.275
f (1) = 12 + ln(1) = 1
O ponto médio
x1 = 0.5+0.752 = 0.625
Critério de parada:
0.75−0.5
2 = 0.125 < 0.03(F)
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Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Método da Bisseção - Exemplo - Iteração 1
Para x1, a = 0.5 e b = 0.75
Teorema do intervalo
f (0.5) = 0.52 + ln(0.5) = −0.44315
f (0.75) = 0.752 + ln(0.75) = 0.275
f (1) = 12 + ln(1) = 1
O ponto médio
x1 = 0.5+0.752 = 0.625
Critério de parada:
0.75−0.5
2 = 0.125 < 0.03(F)
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Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Método da Bisseção - Exemplo - Iteração 1
Para x1, a = 0.5 e b = 0.75
Teorema do intervalo
f (0.5) = 0.52 + ln(0.5) = −0.44315
f (0.75) = 0.752 + ln(0.75) = 0.275
f (1) = 12 + ln(1) = 1
O ponto médio
x1 = 0.5+0.752 = 0.625
Critério de parada:
0.75−0.5
2 = 0.125 < 0.03(F)
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Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Método da Bisseção - Exemplo - Iteração 1
Para x1, a = 0.5 e b = 0.75
Teorema do intervalo
f (0.5) = 0.52 + ln(0.5) = −0.44315
f (0.75) = 0.752 + ln(0.75) = 0.275
f (1) = 12 + ln(1) = 1
O ponto médio
x1 = 0.5+0.752 = 0.625
Critério de parada:
0.75−0.5
2 = 0.125 < 0.03(F)
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Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Método da Bisseção - Exemplo - Iteração 1
Para x1, a = 0.5 e b = 0.75
Teorema do intervalo
f (0.5) = 0.52 + ln(0.5) = −0.44315
f (0.75) = 0.752 + ln(0.75) = 0.275
f (1) = 12 + ln(1) = 1
O ponto médio
x1 = 0.5+0.752 = 0.625
Critério de parada:
0.75−0.5
2 = 0.125 < 0.03(F)
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Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Método da Bisseção - Exemplo - Iteração 1
Para x1, a = 0.5 e b = 0.75
Teorema do intervalo
f (0.5) = 0.52 + ln(0.5) = −0.44315
f (0.75) = 0.752 + ln(0.75) = 0.275
f (1) = 12 + ln(1) = 1
O ponto médio
x1 = 0.5+0.752 = 0.625
Critério de parada:
0.75−0.5
2 = 0.125 < 0.03(F)
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Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Método da Bisseção - Exemplo - Iteração 1
Para x1, a = 0.5 e b = 0.75
Teorema do intervalo
f (0.5) = 0.52 + ln(0.5) = −0.44315
f (0.75) = 0.752 + ln(0.75) = 0.275
f (1) = 12 + ln(1) = 1
O ponto médio
x1 = 0.5+0.752 = 0.625
Critério de parada:
0.75−0.5
2 = 0.125 < 0.03(F)
14 / 19
Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Método da Bisseção - Exemplo - Iteração 2
Para x2, a = 0.625; b = 0.75
Teorema do intervalo
f (0.5) = 0.52 + ln(0.5) = −0.44315
f (0.625) = 0.6252 + ln(0.625) = −0.0793
f (0.75) = 0.752 + ln(0.75) = 0.275
O ponto médio
x2 = 0.625+0.752 = 0.6875
Critério de parada:
0.75+0.625
2 = 0.0625 < 0.03(F)
15 / 19
Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Método da Bisseção - Exemplo - Iteração 2
Para x2, a = 0.625; b = 0.75
Teorema do intervalo
f (0.5) = 0.52 + ln(0.5) = −0.44315
f (0.625) = 0.6252 + ln(0.625) = −0.0793
f (0.75) = 0.752 + ln(0.75) = 0.275
O ponto médio
x2 = 0.625+0.752 = 0.6875
Critério de parada:
0.75+0.625
2 = 0.0625 < 0.03(F)
15 / 19
Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Método da Bisseção - Exemplo - Iteração 2
Para x2, a = 0.625; b = 0.75
Teorema do intervalo
f (0.5) = 0.52 + ln(0.5) = −0.44315
f (0.625) = 0.6252 + ln(0.625) = −0.0793
f (0.75) = 0.752 + ln(0.75) = 0.275
O ponto médio
x2 = 0.625+0.752 = 0.6875
Critério de parada:
0.75+0.625
2 = 0.0625 < 0.03(F)
15 / 19
Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Método da Bisseção - Exemplo - Iteração 2
Para x2, a = 0.625; b = 0.75
Teorema do intervalo
f (0.5) = 0.52 + ln(0.5) = −0.44315
f (0.625) = 0.6252 + ln(0.625) = −0.0793
f (0.75) = 0.752 + ln(0.75) = 0.275
O ponto médio
x2 = 0.625+0.752 = 0.6875
Critério de parada:
0.75+0.625
2 = 0.0625 < 0.03(F)
15 / 19
Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Método da Bisseção - Exemplo - Iteração 2
Para x2, a = 0.625; b = 0.75
Teorema do intervalo
f (0.5) = 0.52 + ln(0.5) = −0.44315
f (0.625) = 0.6252 + ln(0.625) = −0.0793
f (0.75) = 0.752 + ln(0.75) = 0.275
O ponto médio
x2 = 0.625+0.752 = 0.6875
Critério de parada:
0.75+0.625
2 = 0.0625 < 0.03(F)
15 / 19
Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Método da Bisseção - Exemplo - Iteração 2
Para x2, a = 0.625; b = 0.75
Teorema do intervalo
f (0.5) = 0.52 + ln(0.5) = −0.44315
f (0.625) = 0.6252 + ln(0.625) = −0.0793
f (0.75) = 0.752 + ln(0.75) = 0.275
O ponto médio
x2 = 0.625+0.752 = 0.6875
Critério de parada:
0.75+0.625
2 = 0.0625 < 0.03(F)
15 / 19
Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Método da Bisseção - Exemplo - Iteração 2
Para x2, a = 0.625; b = 0.75
Teorema do intervalo
f (0.5) = 0.52 + ln(0.5) = −0.44315
f (0.625) = 0.6252 + ln(0.625) = −0.0793
f (0.75) = 0.752 + ln(0.75) = 0.275
O ponto médio
x2 = 0.625+0.752 = 0.6875
Critério de parada:
0.75+0.625
2 = 0.0625 < 0.03(F)
15 / 19
Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Método da Bisseção - Exemplo - Iteração 2
Para x2, a = 0.625; b = 0.75
Teorema do intervalo
f (0.5) = 0.52 + ln(0.5) = −0.44315
f (0.625) = 0.6252 + ln(0.625) = −0.0793
f (0.75) = 0.752 + ln(0.75) = 0.275
O ponto médio
x2 = 0.625+0.752 = 0.6875
Critério de parada:
0.75+0.625
2 = 0.0625 < 0.03(F)
15 / 19
Contextodo problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Método da Bisseção - Exemplo - Iteração 2
Para x2, a = 0.625; b = 0.75
Teorema do intervalo
f (0.5) = 0.52 + ln(0.5) = −0.44315
f (0.625) = 0.6252 + ln(0.625) = −0.0793
f (0.75) = 0.752 + ln(0.75) = 0.275
O ponto médio
x2 = 0.625+0.752 = 0.6875
Critério de parada:
0.75+0.625
2 = 0.0625 < 0.03(F)
15 / 19
Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Método da Bisseção - Exemplo - Iteração 3
Para x3, a = 0.6875; b = 0.625
Teorema do intervalo
f (0.75) = 0.752 + ln(0.75) = 0.275
f (0.6875) = 0.68752 + ln(0.6875) = 0.0979
f (0.625) = 0.6252 + ln(0.625) = −0.0793
O ponto médio
x3 = 0.6875+0.6252 = 0.65625
Critério de parada:
0.6875+0.625
2 = 0.0286 < 0.03(v)
16 / 19
Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Método da Bisseção - Exemplo - Iteração 3
Para x3, a = 0.6875; b = 0.625
Teorema do intervalo
f (0.75) = 0.752 + ln(0.75) = 0.275
f (0.6875) = 0.68752 + ln(0.6875) = 0.0979
f (0.625) = 0.6252 + ln(0.625) = −0.0793
O ponto médio
x3 = 0.6875+0.6252 = 0.65625
Critério de parada:
0.6875+0.625
2 = 0.0286 < 0.03(v)
16 / 19
Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Método da Bisseção - Exemplo - Iteração 3
Para x3, a = 0.6875; b = 0.625
Teorema do intervalo
f (0.75) = 0.752 + ln(0.75) = 0.275
f (0.6875) = 0.68752 + ln(0.6875) = 0.0979
f (0.625) = 0.6252 + ln(0.625) = −0.0793
O ponto médio
x3 = 0.6875+0.6252 = 0.65625
Critério de parada:
0.6875+0.625
2 = 0.0286 < 0.03(v)
16 / 19
Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Método da Bisseção - Exemplo - Iteração 3
Para x3, a = 0.6875; b = 0.625
Teorema do intervalo
f (0.75) = 0.752 + ln(0.75) = 0.275
f (0.6875) = 0.68752 + ln(0.6875) = 0.0979
f (0.625) = 0.6252 + ln(0.625) = −0.0793
O ponto médio
x3 = 0.6875+0.6252 = 0.65625
Critério de parada:
0.6875+0.625
2 = 0.0286 < 0.03(v)
16 / 19
Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Método da Bisseção - Exemplo - Iteração 3
Para x3, a = 0.6875; b = 0.625
Teorema do intervalo
f (0.75) = 0.752 + ln(0.75) = 0.275
f (0.6875) = 0.68752 + ln(0.6875) = 0.0979
f (0.625) = 0.6252 + ln(0.625) = −0.0793
O ponto médio
x3 = 0.6875+0.6252 = 0.65625
Critério de parada:
0.6875+0.625
2 = 0.0286 < 0.03(v)
16 / 19
Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Método da Bisseção - Exemplo - Iteração 3
Para x3, a = 0.6875; b = 0.625
Teorema do intervalo
f (0.75) = 0.752 + ln(0.75) = 0.275
f (0.6875) = 0.68752 + ln(0.6875) = 0.0979
f (0.625) = 0.6252 + ln(0.625) = −0.0793
O ponto médio
x3 = 0.6875+0.6252 = 0.65625
Critério de parada:
0.6875+0.625
2 = 0.0286 < 0.03(v)
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Método da Bisseção - Exemplo - Iteração 3
Para x3, a = 0.6875; b = 0.625
Teorema do intervalo
f (0.75) = 0.752 + ln(0.75) = 0.275
f (0.6875) = 0.68752 + ln(0.6875) = 0.0979
f (0.625) = 0.6252 + ln(0.625) = −0.0793
O ponto médio
x3 = 0.6875+0.6252 = 0.65625
Critério de parada:
0.6875+0.625
2 = 0.0286 < 0.03(v)
16 / 19
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Método da Bisseção - Exemplo - Iteração 3
Para x3, a = 0.6875; b = 0.625
Teorema do intervalo
f (0.75) = 0.752 + ln(0.75) = 0.275
f (0.6875) = 0.68752 + ln(0.6875) = 0.0979
f (0.625) = 0.6252 + ln(0.625) = −0.0793
O ponto médio
x3 = 0.6875+0.6252 = 0.65625
Critério de parada:
0.6875+0.625
2 = 0.0286 < 0.03(v)
16 / 19
Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Método da Bisseção - Exemplo - Iteração 3
Para x3, a = 0.6875; b = 0.625
Teorema do intervalo
f (0.75) = 0.752 + ln(0.75) = 0.275
f (0.6875) = 0.68752 + ln(0.6875) = 0.0979
f (0.625) = 0.6252 + ln(0.625) = −0.0793
O ponto médio
x3 = 0.6875+0.6252 = 0.65625
Critério de parada:
0.6875+0.625
2 = 0.0286 < 0.03(v)
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Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Método da Bisseção - Considerações
O Método da Bisseção tem uma convergência lenta
Dependendo da precisão escolhida, o esforço computacional irá
se tornar grande
Algoritmo é simples de ser implementado e precisa apenas:
Intervalo [a,b]
Limite de tolerância ε
Número máximo de iterações N para evitar que o programa fique
preso em um laço infinito caso não haja convergência.
A saída do algoritmo é a raiz desejada ou uma mensagem de erro
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Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Método da Bisseção - Considerações
O Método da Bisseção tem uma convergência lenta
Dependendo da precisão escolhida, o esforço computacional irá
se tornar grande
Algoritmo é simples de ser implementado e precisa apenas:
Intervalo [a,b]
Limite de tolerância ε
Número máximo de iterações N para evitar que o programa fique
preso em um laço infinito caso não haja convergência.
A saída do algoritmo é a raiz desejada ou uma mensagem de erro
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Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Método da Bisseção - Considerações
O Método da Bisseção tem uma convergência lenta
Dependendo da precisão escolhida, o esforço computacional irá
se tornar grande
Algoritmo é simples de ser implementado e precisa apenas:
Intervalo [a,b]
Limite de tolerância ε
Número máximo de iterações N para evitar que o programa fique
preso em um laço infinito caso não haja convergência.
A saída do algoritmo é a raiz desejada ou uma mensagem de erro
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Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Método da Bisseção - Considerações
O Método da Bisseção tem uma convergência lenta
Dependendo da precisão escolhida, o esforço computacional irá
se tornar grande
Algoritmo é simples de ser implementado e precisa apenas:
Intervalo [a,b]
Limite de tolerância ε
Número máximo de iterações N para evitar que o programa fique
preso em um laço infinito caso não haja convergência.
A saída do algoritmo é a raiz desejada ou uma mensagem de erro
17 / 19
Contexto do problema Método da Bisseção Método de Newton-Raphson Método da Secante
Método da Bisseção - Considerações
O Método da Bisseção tem uma convergência lenta
Dependendo da precisão escolhida, o esforço computacional irá
se tornar grande
Algoritmo é simples de ser implementado e precisa apenas:
Intervalo [a,b]
Limite de tolerância ε
Número máximo de iterações N para evitar que o programa fique
preso em um laço infinito caso não haja convergência.
A saída do algoritmo é a raiz desejada ou uma mensagem de erro
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Método da Bisseção - Considerações
O Método da Bisseção tem uma convergência lenta
Dependendo da precisão escolhida, o esforço computacional irá
se tornar grande
Algoritmo é simples de ser implementado e precisa apenas:
Intervalo [a,b]
Limite de tolerância ε
Número máximo de iterações N para evitar que o programa fique
preso em um laço infinito caso não haja convergência.
A saída do algoritmo é a raiz desejada ou uma mensagem de erro
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Método da Bisseção - Considerações
O Método da Bisseção tem uma convergência lenta
Dependendo da precisão escolhida, o esforço computacional irá
se tornar grande
Algoritmo é simples de ser implementado e precisa apenas:
Intervalo [a,b]
Limite de tolerância ε
Número máximo de iterações N para evitar que o programa fique
preso em um laço infinitocaso não haja convergência.
A saída do algoritmo é a raiz desejada ou uma mensagem de erro
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Introduc¸a˜o Me´todo da Bissec¸a˜o Me´todo de Newton-Raphson Me´todo da Secante
Me´todo da Bissec¸a˜o
Algoritmo
Entrada: o nu´mero ma´ximo de iterac¸o˜es N, intervalo, toleraˆncia.
Saı´da : a raiz desejada.
1 i← 0;
2 Enquanto i≤ N Faca
3 x← (a+b)/2
4 se f(x) = 0 ou (b-a)/2< delta entao
5 Apresentar x
6 Finalizar o programa
7 se f(a)*f(x)< 0 entao
8 b = x
9 senao
10 a = x
11 i = i + 1
12 Exibir a mensagem: “Me´todo falhou em N iterac¸o˜es!”
Ivanovitch Silva Raı´zes de Equac¸o˜es Na˜o-lineares
Introduc¸a˜o Me´todo da Bissec¸a˜o Me´todo de Newton-Raphson Me´todo da Secante
Suma´rio
1 Introduc¸a˜o
2 Me´todo da Bissec¸a˜o
3 Me´todo de Newton-Raphson
4 Me´todo da Secante
Ivanovitch Silva Raı´zes de Equac¸o˜es Na˜o-lineares
Introduc¸a˜o Me´todo da Bissec¸a˜o Me´todo de Newton-Raphson Me´todo da Secante
Me´todo de Newton-Raphson
Tambe´m chamado como Me´todo de Newton
Ele e´ um dos me´todos nume´ricos mais conhecidos e
poderosos para ca´lculos de raı´zes de equac¸o˜es
na˜o-lineares
Utiliza a derivada da raiz aproximada para o refinamento
da raiz
Vantagem: mais ra´pido que o me´todo da bissec¸a˜o
Desvantagem: necessa´rio conhecer a primeira derivada
da func¸a˜o
Ivanovitch Silva Raı´zes de Equac¸o˜es Na˜o-lineares
Introduc¸a˜o Me´todo da Bissec¸a˜o Me´todo de Newton-Raphson Me´todo da Secante
Me´todo de Newton-Raphson - Ideia
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Introduc¸a˜o Me´todo da Bissec¸a˜o Me´todo de Newton-Raphson Me´todo da Secante
Me´todo de Newton-Raphson
Deduzindo a fo´rmula
tan(Θ0) =
f (x0)
x0−x1
x0 − x1 = f (x0)tan(Θ0)
− x1 = − x0 + f (x0)tan(Θ0)
x1 = x0 − f (x0)tan(Θ0)
x1 = x0 − f (x0)f ′(x0)
xi+1 = xi − f (xi )f ′(xi )
Crite´rio de parada∣∣∣∣xi+1 − xixi+1
∣∣∣∣ <= δ
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Me´todo de Newton-Raphson
Deduzindo a fo´rmula
tan(Θ0) =
f (x0)
x0−x1
x0 − x1 = f (x0)tan(Θ0)
− x1 = − x0 + f (x0)tan(Θ0)
x1 = x0 − f (x0)tan(Θ0)
x1 = x0 − f (x0)f ′(x0)
xi+1 = xi − f (xi )f ′(xi )
Crite´rio de parada∣∣∣∣xi+1 − xixi+1
∣∣∣∣ <= δ
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Me´todo de Newton-Raphson
Deduzindo a fo´rmula
tan(Θ0) =
f (x0)
x0−x1
x0 − x1 = f (x0)tan(Θ0)
− x1 = − x0 + f (x0)tan(Θ0)
x1 = x0 − f (x0)tan(Θ0)
x1 = x0 − f (x0)f ′(x0)
xi+1 = xi − f (xi )f ′(xi )
Crite´rio de parada∣∣∣∣xi+1 − xixi+1
∣∣∣∣ <= δ
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Me´todo de Newton-Raphson
Deduzindo a fo´rmula
tan(Θ0) =
f (x0)
x0−x1
x0 − x1 = f (x0)tan(Θ0)
− x1 = − x0 + f (x0)tan(Θ0)
x1 = x0 − f (x0)tan(Θ0)
x1 = x0 − f (x0)f ′(x0)
xi+1 = xi − f (xi )f ′(xi )
Crite´rio de parada∣∣∣∣xi+1 − xixi+1
∣∣∣∣ <= δ
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Me´todo de Newton-Raphson
Deduzindo a fo´rmula
tan(Θ0) =
f (x0)
x0−x1
x0 − x1 = f (x0)tan(Θ0)
− x1 = − x0 + f (x0)tan(Θ0)
x1 = x0 − f (x0)tan(Θ0)
x1 = x0 − f (x0)f ′(x0)
xi+1 = xi − f (xi )f ′(xi )
Crite´rio de parada∣∣∣∣xi+1 − xixi+1
∣∣∣∣ <= δ
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Me´todo de Newton-Raphson
Deduzindo a fo´rmula
tan(Θ0) =
f (x0)
x0−x1
x0 − x1 = f (x0)tan(Θ0)
− x1 = − x0 + f (x0)tan(Θ0)
x1 = x0 − f (x0)tan(Θ0)
x1 = x0 − f (x0)f ′(x0)
xi+1 = xi − f (xi )f ′(xi )
Crite´rio de parada∣∣∣∣xi+1 − xixi+1
∣∣∣∣ <= δ
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Deduzindo a fo´rmula
tan(Θ0) =
f (x0)
x0−x1
x0 − x1 = f (x0)tan(Θ0)
− x1 = − x0 + f (x0)tan(Θ0)
x1 = x0 − f (x0)tan(Θ0)
x1 = x0 − f (x0)f ′(x0)
xi+1 = xi − f (xi )f ′(xi )
Crite´rio de parada∣∣∣∣xi+1 − xixi+1
∣∣∣∣ <= δ
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Me´todo de Newton-Raphson
Exemplo
Determinar a raiz da func¸a˜o f (x) = x2 + ln(x), dados
δ < 0.03, [0.5, 1]
f ′(x) = 2x + 1x
x0 = 1
f (x0) = 12 + ln(1) = 1
f ′(x0) = 2 · 1 + 11 = 3
x1 = x0 − f (x0)f ′(x0)
x1 = 1− 13 = 0.667∣∣∣∣0.667− 10.667
∣∣∣∣ < 0.03 ⇒ 0.5 < 0.03(F )
Ivanovitch Silva Raı´zes de Equac¸o˜es Na˜o-lineares
Introduc¸a˜o Me´todo da Bissec¸a˜o Me´todo de Newton-Raphson Me´todo da Secante
Me´todo de Newton-Raphson
Exemplo
Determinar a raiz da func¸a˜o f (x) = x2 + ln(x), dados
δ < 0.03, [0.5, 1]
f ′(x) = 2x + 1x
x0 = 1
f (x0) = 12 + ln(1) = 1
f ′(x0) = 2 · 1 + 11 = 3
x1 = x0 − f (x0)f ′(x0)
x1 = 1− 13 = 0.667∣∣∣∣0.667− 10.667
∣∣∣∣ < 0.03 ⇒ 0.5 < 0.03(F )
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Me´todo de Newton-Raphson
Exemplo
Determinar a raiz da func¸a˜o f (x) = x2 + ln(x), dados
δ < 0.03, [0.5, 1]
f ′(x) = 2x + 1x
x0 = 1
f (x0) = 12 + ln(1) = 1
f ′(x0) = 2 · 1 + 11 = 3
x1 = x0 − f (x0)f ′(x0)
x1 = 1− 13 = 0.667∣∣∣∣0.667− 10.667
∣∣∣∣ < 0.03 ⇒ 0.5 < 0.03(F )
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Me´todo de Newton-Raphson
Exemplo
Determinar a raiz da func¸a˜o f (x) = x2 + ln(x), dados
δ < 0.03, [0.5, 1]
f ′(x) = 2x + 1x
x0 = 1
f (x0) = 12 + ln(1) = 1
f ′(x0) = 2 · 1 + 11 = 3
x1 = x0 − f (x0)f ′(x0)
x1 = 1− 13 = 0.667∣∣∣∣0.667− 10.667
∣∣∣∣ < 0.03 ⇒ 0.5 < 0.03(F )
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Me´todo de Newton-Raphson
Exemplo
Determinar a raiz da func¸a˜o f (x) = x2 + ln(x), dados
δ < 0.03, [0.5, 1]
f ′(x) = 2x + 1x
x0 = 1
f (x0) = 12 + ln(1) = 1
f ′(x0) = 2 · 1 + 11 = 3
x1 = x0 − f (x0)f ′(x0)
x1 = 1− 13 = 0.667∣∣∣∣0.667− 10.667
∣∣∣∣ < 0.03 ⇒ 0.5 < 0.03(F )
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Me´todo de Newton-Raphson
Exemplo
Determinar a raiz da func¸a˜o f (x) = x2 + ln(x), dados
δ < 0.03, [0.5, 1]
f ′(x) = 2x + 1x
x0 = 1
f (x0) = 12 + ln(1) = 1
f ′(x0) = 2 · 1 + 11 = 3
x1 = x0 − f (x0)f ′(x0)
x1 = 1− 13 = 0.667∣∣∣∣0.667− 10.667
∣∣∣∣ < 0.03 ⇒ 0.5 < 0.03(F )
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Me´todo de Newton-Raphson
Exemplo
Determinar a raiz da func¸a˜o f (x) = x2 + ln(x), dados
δ < 0.03, [0.5, 1]
f ′(x) = 2x + 1x
x0 = 1
f (x0) = 12 + ln(1) = 1
f ′(x0) = 2 · 1 + 11 = 3
x1 = x0 − f (x0)f ′(x0)
x1 = 1− 13 = 0.667∣∣∣∣0.667− 10.667
∣∣∣∣ < 0.03 ⇒ 0.5 < 0.03(F )
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Me´todo de Newton-Raphson
Exemplo
x2 = x1 − f (x1)f ′(x1)
f (x1) = 0.6672 + ln(0.667) = 0.04
f ′(x1) = 0.667 · 1 + 10.667 = 2.833
x2 = 0.667− 0.042.833 = 0.653∣∣∣∣0.653− 0.6670.653
∣∣∣∣ < 0.03 ⇒ 0.021 < 0.03(V )
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Me´todo de Newton-Raphson
Exemplo
x2 = x1 − f (x1)f ′(x1)
f (x1) = 0.6672+ ln(0.667) = 0.04
f ′(x1) = 0.667 · 1 + 10.667 = 2.833
x2 = 0.667− 0.042.833 = 0.653∣∣∣∣0.653− 0.6670.653
∣∣∣∣ < 0.03 ⇒ 0.021 < 0.03(V )
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Me´todo de Newton-Raphson
Exemplo
x2 = x1 − f (x1)f ′(x1)
f (x1) = 0.6672 + ln(0.667) = 0.04
f ′(x1) = 0.667 · 1 + 10.667 = 2.833
x2 = 0.667− 0.042.833 = 0.653∣∣∣∣0.653− 0.6670.653
∣∣∣∣ < 0.03 ⇒ 0.021 < 0.03(V )
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Exemplo
x2 = x1 − f (x1)f ′(x1)
f (x1) = 0.6672 + ln(0.667) = 0.04
f ′(x1) = 0.667 · 1 + 10.667 = 2.833
x2 = 0.667− 0.042.833 = 0.653∣∣∣∣0.653− 0.6670.653
∣∣∣∣ < 0.03 ⇒ 0.021 < 0.03(V )
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Me´todo de Newton-Raphson
Exemplo
x2 = x1 − f (x1)f ′(x1)
f (x1) = 0.6672 + ln(0.667) = 0.04
f ′(x1) = 0.667 · 1 + 10.667 = 2.833
x2 = 0.667− 0.042.833 = 0.653∣∣∣∣0.653− 0.6670.653
∣∣∣∣ < 0.03 ⇒ 0.021 < 0.03(V )
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Me´todo de Newton-Raphson
Algoritmo
Entrada: o nu´mero ma´ximo de iterac¸o˜es N, estimativa inicial, toleraˆncia, f(x) e f’(x).
Saı´da : a raiz desejada.
1 i← 0
2 xant ← estimativa inicial
3 Enquanto i≤ N Faca
4 xi ← xant − f (xant )f ′(xant )
5 se abs(
xi−xant
xi
)< delta entao
6 Apresentar x
7 Finalizar o programa
8 xant ← xi
9 i← i + 1
10 Exibir a mensagem: “Me´todo falhou em N iterac¸o˜es!”
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Introduc¸a˜o Me´todo da Bissec¸a˜o Me´todo de Newton-Raphson Me´todo da Secante
Suma´rio
1 Introduc¸a˜o
2 Me´todo da Bissec¸a˜o
3 Me´todo de Newton-Raphson
4 Me´todo da Secante
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Introduc¸a˜o Me´todo da Bissec¸a˜o Me´todo de Newton-Raphson Me´todo da Secante
Me´todo da Secante
O me´todo da secante e´ uma modificac¸a˜o do Me´todo de
Newton-Raphson e consiste em aproximar a derivada f’(x)
por:
f ′(xi) ≈ f (xi)− f (xi−1)xi − xi−1
Substituindo a equac¸a˜o acima na equac¸a˜o de Newton
Raphson e fazendo os devidos arranjos temos:
xi+1 =
xi−1 · f (xi)− xi · f (xi−1)
f (xi)− f (xi−1)
Em relac¸a˜o a convergeˆncia o Me´todo da Secante e´ bastante
similar ao Me´todo de Newton-Raphson, entretanto ele precisa
de duas estimativas iniciais (xi e o xi−1)
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Introduc¸a˜o Me´todo da Bissec¸a˜o Me´todo de Newton-Raphson Me´todo da Secante
Me´todo da Secante - Ideia
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Introduc¸a˜o Me´todo da Bissec¸a˜o Me´todo de Newton-Raphson Me´todo da Secante
Me´todo da Secante - Exemplo
Calcular uma raiz da func¸a˜o f (x) = x3 − 2x2 + 2x − 5,
sabendo que ela se encontra no intervalo [2; 2.5]. A
toleraˆncia permitida para a soluc¸a˜o e´ δ = 0.003.
x2 =
x0 · f (x1)− x1 · f (x0)
f (x1)− f (x0) = 2.12121∣∣∣∣x2 − x1x2
∣∣∣∣ = 0.1785 > δ
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Me´todo da Secante - Exemplo
Calcular uma raiz da func¸a˜o f (x) = x3 − 2x2 + 2x − 5,
sabendo que ela se encontra no intervalo [2; 2.5]. A
toleraˆncia permitida para a soluc¸a˜o e´ δ = 0.003.
x2 =
x0 · f (x1)− x1 · f (x0)
f (x1)− f (x0) = 2.12121∣∣∣∣x2 − x1x2
∣∣∣∣ = 0.1785 > δ
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Me´todo da Secante - Exemplo
Calcular uma raiz da func¸a˜o f (x) = x3 − 2x2 + 2x − 5,
sabendo que ela se encontra no intervalo [2; 2.5]. A
toleraˆncia permitida para a soluc¸a˜o e´ δ = 0.003.
x2 =
x0 · f (x1)− x1 · f (x0)
f (x1)− f (x0) = 2.12121∣∣∣∣x2 − x1x2
∣∣∣∣ = 0.1785 > δ
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Me´todo da Secante - Exemplo
x3 =
x1 · f (x2)− x2 · f (x1)
f (x2)− f (x1) = 2.14529∣∣∣∣x3 − x2x3
∣∣∣∣ = 0.0111 > δ
x4 =
x2 · f (x3)− x3 · f (x2)
f (x3)− f (x2) = 2.15102∣∣∣∣x4 − x3x4
∣∣∣∣ = 0.0027 < δ
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Me´todo da Secante - Exemplo
x3 =
x1 · f (x2)− x2 · f (x1)
f (x2)− f (x1) = 2.14529∣∣∣∣x3 − x2x3
∣∣∣∣ = 0.0111 > δ
x4 =
x2 · f (x3)− x3 · f (x2)
f (x3)− f (x2) = 2.15102∣∣∣∣x4 − x3x4
∣∣∣∣ = 0.0027 < δ
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Me´todo da Secante - Exemplo
x3 =
x1 · f (x2)− x2 · f (x1)
f (x2)− f (x1) = 2.14529∣∣∣∣x3 − x2x3
∣∣∣∣ = 0.0111 > δ
x4 =
x2 · f (x3)− x3 · f (x2)
f (x3)− f (x2) = 2.15102∣∣∣∣x4 − x3x4
∣∣∣∣ = 0.0027 < δ
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Me´todo da Secante - Exemplo
x3 =
x1 · f (x2)− x2 · f (x1)
f (x2)− f (x1) = 2.14529∣∣∣∣x3 − x2x3
∣∣∣∣ = 0.0111 > δ
x4 =
x2 · f (x3)− x3 · f (x2)
f (x3)− f (x2) = 2.15102∣∣∣∣x4 − x3x4
∣∣∣∣ = 0.0027 < δ
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Me´todo da Secante - Exemplo
x3 =
x1 · f (x2)− x2 · f (x1)
f (x2)− f (x1) = 2.14529∣∣∣∣x3 − x2x3
∣∣∣∣ = 0.0111 > δ
x4 =
x2 · f (x3)− x3 · f (x2)
f (x3)− f (x2) = 2.15102∣∣∣∣x4 − x3x4
∣∣∣∣ = 0.0027 < δ
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Me´todo da Secante
Algoritmo
Entrada: o nu´mero ma´ximo de iterac¸o˜es N, toleraˆncia, f(x), xi e xi−1.
Saı´da : a raiz desejada.
1 i← 0
2 xant ← xi
3 xantant ← xi−1
4 Enquanto i≤ N Faca
5 xi ← xantant ·f (xant )−xant ·f (xantant )f (xant )−f (xantant )
6 se abs(
xi−xant
xi
)< delta entao
7 Apresentar x
8 Finalizar o programa
9 xantant ← xant
10 xant ← xi
11 i← i + 1
12 Exibir a mensagem: “Me´todo falhou em N iterac¸o˜es!”
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