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1 Universidade Salvador – UNIFACS Cursos de Engenharia – Cálculo Avançado / Métodos Matemáticos Aplicados Profa: Ilka Rebouças Freire Integrais Múltiplas Texto 02: A Integral Dupla em Regiões não Retangulares. Vamos agora considerar a integral dupla de uma função z = f(x,y), sobre uma região mais geral R do plano. Vamos admitir que R é uma região limitada por um número finito de curvas regulares, ou seja, curvas que são gráficos de funções com derivadas contínuas e que a região inteira R pode ser envolvida por um retângulo R´. Da mesma maneira que fizemos com uma região retangular, tomamos uma partição de R. Desprezamos as sub-regiões que contêm pontos que não estão em R e consideramos aquelas que estão inteiramente contidas em R. Há erros nessa aproximação. Entretanto se repetirmos o processo com cada vez mais subdivisões, de modo que os comprimentos e as larguras dos sub-retângulos tendam a zero, então é intuitivamente admissível que a área das regiões omitidas tendam a zero. Podemos então considerar ´RR dA)y,x(fdA)y,x(f R R´ 2 Observações: 1) A interpretação geométrica da integral dupla como volume é equivalente nesse caso 2) As propriedades já enunciadas valem igualmente. Acrescentamos a seguinte: 3) Se R = R1 R2 tal que R1 R2 = ou R1 R2 é uma curva suave, então 2R1RR dA)y,x(fdA)y,x(fdA)y,x(f Cálculo da Integral dupla em regiões não retangulares A região R pode ser extremamente complexa e os casos mais complicados não são tópicos para este curso. Vamos limitar nosso estudo a dois tipos de região que chamaremos região tipo I ( ou Rx) e região tipo II ( ou Ry). que definiremos a seguir: I) 1ª Integração em relação a y Uma região do tipo I ( Rx) é limitada à esquerda e à direita pelas retas x = a e x = b e abaixo e acima pelas curvas contínuas y = g1(x) e y = g2(x), onde g1(x) g2(x) para a x b. Se R é uma região do tipo I, na qual f(x,y) é contínua, então g2(x) g1(x) a b 3 b a )x(2g )x(1gR dxy)dy f(x, dA)y,x(f Estabelecimento dos Limites de Integração para o Cálculo da Integral Dupla em R. Para o cálculo da integral dupla R dA)y,x(f não precisamos esboçar o gráfico de f(x,y), mas é importante fazer um esboço bidimensional de R. Para o caso da região tipo I b a )x(2g )x(1gR dxdy )y f(x, dA)y,x(f , damos os seguintes passos: 1o) Uma vez que x é mantido fixo na 1a integração, os limites de integração são as curvas g1(x) e g2(x). O limite inferior é a curva que está abaixo, g1(x), e o superior a que está acima, g2(x). 2o ) Imaginando que uma reta paralela ao eixo OY deslize sobre a região R, a posição extrema à esquerda na qual a reta intercepta R é x = a ( limite inferior de integração para a integral em dx) e a posição extrema à direita é x = b ( limite superior de integração para a integral em dx) . g2(x) g1(x) g2(x) g1(x) a b 4 II) 1ª Integração em relação a x Uma região do tipo II ( Ry) é limitada acima e abaixo por retas horizontais y = c e y = d e à esquerda e à direita pelas curvas contínuas x = h1(y) e x = h2(y), onde h1(x) h2(x) para c y d. Se R é uma região do tipo II, na qual f(x,y) é contínua, então d c )y(2h )y(1hR dyy)dx f(x, dA)y,x(f Analogamente, e com as adaptações adequadas, para estabelecer os limites de integração, se procede para o caso da região tipo II da mesma maneira descrita para o caso da 1ª integração em y. Nos dois casos, o processo de integração é o mesmo que no caso de R ser uma região retangular. Calculamos a integral “interna” utilizando as técnicas de integração para a integral simples, supondo uma das variáveis constantes, substituímos os limites de integração, que correspondem às equações das curvas que limitam a região, e depois, a última integral, que é uma integral simples, no intervalo [a,b] , se a 2ª integração for em x; ou no intervalo [c,d], se a 2ª integração for em y. Os intervalos de integração da última integral correspondem à projeção de R em x ou y, a depender do caso. c d h1(y) h2(y) 5 Exemplos: 1) Calcule 1 0 x 2x dx xydy , identifique a região de integração e reescreva a integral iterada invertendo a ordem de integração. Solução: 1 0 531 0 x 2x 1 0 x 2x 2 dx] 2 xx [dx] 2 xy [dx xydy 24 1 12 1 8 1 ] 12 x 8 x [ 10 64 Para identificarmos a região de integração observamos os limites de integração. Neste caso, y varia de x2 a x e x de o a 1. A região de integração corresponde a 1x0 xyx :R 2 Invertendo a ordem, a 1ª integração é feita da reta x = y ( curva à esquerda) até a parábola, que está à direita ( yxxy 2 ) A limitação em y corresponde ao intervalo que é a projeção de R no eixo OY dyy 2 x dy xydx dx xydy y y 1 0 21 0 y y 1 0 x 2x 1 0 322 1 0 2 dy)yy( 2 1 dy)yyy)y( 2 1 = = 24 1 12 1 2 1 4 1 3 1 2 1 4 y 3 y 2 1 1 0 43 6 2) Calcule R dA)xycos(x , sendo R a região limitada por y = 0, x = /4 e xy Solução: Vamos identificar os limites de integração. Optamos por integrar 1º em relação a y, pela maior facilidade com a integral. Integramos na variável y ( supondo x constante) e os limites são y = 0 ( curva que limita a região inferiormente) e xy ( curva que limita superiormente a região) Na 2ª integral, na variável x , os limites são x = 0 e x = /4 ( corresponde ao intervalo que é a projeção da região de integração sobre o eixo OX. A integral fica então: 4/ 0 xy 0y dx dy)xycos(x = 1 2 2 ]xcos[dxsenx .0))dxxsen-) xxsen( ( dx ]x[seny 4/0 4/ 0 4/ 0 4/ 0 x 0 3) Calcule R dAyx , sendo R a região limitada pelas retas y = 0; y = 2 x e a parábola 2yx , no 1º quadrante. Neste caso, vamos integrar primeiro em relação a x com limites de integração inferior x = y2 ( curva que está á esquerda ) e superior x = 2 y ( curva que está à direita) e depois em relação a y com limites de integração inferior y = 0 e superior y = 1 /4 xy 7 dy 2 yyy)y2( dy] 2 yx [dy ]dxyx[ 1 0 421 0 y2 2y 21 0 y2 2y = dy) 2 y 2 y y2y2(dy 2 yyy4y4 dy 2 yyy)yy44( 1 0 2/92/5 2/32/1 1 0 2/92/52/32/11 0 42 1155 676 1155 1051654.231.4.385 11 1 7 1 5 4 3 4 y 11 2 2 1 y 7 2 2 1 y 5 2 .2y 3 2 .2 1 0 2/112/72/52/3 Neste exemplo, se quisermos integrar 1o em relação a y e depoisem relação a x temos que dividir a região R em duas regiões R1: região limitada pelas curvas xy ; y = 0 e x = 1 R2: região limitadas pelas curvas y = 2 x; y = 0 e x = 1 2R1RR dA)y,x(fdA)y,x(fdA)y,x(f = 2 1 x2 0 1 0 x 0 dx dyyx dx dyyx 4) Identifique a região de integração e inverta a ordem para resolver a integral dydx y e 4 0 2 x y/x Solução: A região de integração é 4x0 2yx :R R1 R2 8 Invertendo a ordem temos que dxdy y e dydx y e 2 0 2y 0 y/x4 0 2 x y/x = 3ee2eyedy)1e(dy y ye 2022 0 y 2 0 2 0 y 2y 0 y/x 5) Seja R a região limitada pelo triângulo determinado pelos pontos O, A e B. Escreva a integral dupla iterada R dA)y,x(f com 1ª integração em y Solução: Inicialmente encontramos as equações das retas que passam por AO, OB e AB - A reta que passa por OA tem equação 2 x y - A reta que passa por OB tem equação x2y - A reta que passa por AB tem equação x3y A região de integração deve ser dividida em duas 1x0 x2y 2 x :R1 e 2x1 x3y 2 x :R1 2R1RR dA)y,x(fdA)y,x(fdA)y,x(f = dxdy)y,x(f dxdy)y,x(f 2 1 x3 2/x 1 0 x2 2/x 1 2 1 2 B A y O 9 Referências Bibliográficas: 1. Cálculo um Novo Horizonte – Howard Anton vol 2 2. Cálculo com Geometria Analítica – Swokowski vol 2 3. Cálculo B – Diva Fleming 4. Cálculo – James Stewart vol 2
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