Resumo - Aula 02

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Álgebra Linear 
Centro Universitário Estácio de Sá 
Igor Soares 
Revisão para AV1 | Brasília - 2017 
 
Aula 2 – Inversa e cálculo de posto de uma matriz 
 
 Uma matriz quadrada A de ordem n, pode ser considerada inversível 
quando podemos encontrar uma matriz B também de ordem n: 
AB = BA = In 
 Assim, a matriz B é inversa de A, sendo denotado por: B = A-1 
 
 
 
Calculando isto através de substituição de variável, temos que: 
A−1 = 
1
det (A)
∗ 
d -b
-c a
 
 
 
 
 
 A matriz de cofatores de A, denotada por A , é formada calculando-se 
todos os cofatores de A, isto é: A = ∆ij 
 Matriz Adjunta de A: é definida como a transposta da matriz dos 
cofatores de A, ou seja: Adj (A) = (A )
t
 
 Então a temos que a matriz inversa de A, pode ser encontrada por: 
A-1= 
1
det (A)
* adj (A) 
 Propriedades da inversa 
 Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n inversíveis. 
 A inversa da matriz identidade é a matriz identidade 
 (A-1)-1 = A 
 (k * A)-1 = 
1
k
 * A-1 
 (At)-1 = (A-1)t 
 (A * B)-1 = B-1 * A-1 
 det (A-1) = 
1
det (A)
 
 Operações elementares com as linhas de uma matriz 
 Troca de linhas: é a troca de uma linha i por uma linha j 
Li Lj 
 
* = = 
a b 
c d 
x y 
z w 
1 0 
0 1 
ax+bz ay+bw 
cx+dz cy+dw 
1 0 
0 1 
AB= 
Atenção: Uma matriz quadrada de ordem n é inversível se, e somente 
se, o seu determinante for diferente de zero. 
Álgebra Linear 
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Igor Soares 
Revisão para AV1 | Brasília - 2017 
 
Operações elementares 
 Multiplicação de uma linha por um escalar não nulo: onde todos os 
elementos de uma linha são multiplicados por um escalar 
Li k*Lj 
 Substituição de uma linha multiplicada por ela própria adicionada a 
outra linha multiplicada por um escalar 
(Li Li + k * Lj) 
 Matrizes linhas equivalentes: Uma matriz B é linha equivalente a uma 
matriz A se B for obtida de A por um número finito de operações 
elementares: 
 Uma matriz A é considera escalonada se: 
 O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula for um. 
 Cada coluna que contiver o primeiro elemento não nulo de uma 
linha deve ter todos os outros elementos iguais a zero. 
 O número de zeros que precede o primeiro elemento não nulo de 
cada linha deve crescer linha após linha. 
 Toda linha nula deve vir abaixo de todas as linhas não nulas. 
 Posto de uma matriz: Seja B a matriz escalonada da matriz A. Definimos 
o posto de A como sendo o número de linhas não nulas da matriz B. 
 Outras maneiras de calcular a inversa de uma matriz: 
 A forma escalonada de uma matriz quadrada inversível é sempre a 
matriz identidade. 
 A mesma sequência de operações elementares que transforma a 
matriz A na matriz identidade transforma a matriz identidade na 
matriz inversa de A. 
( A │ ln ) ( ln │ A
-1
)