06 PORTF

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ (UFC) 
DISCIPLINA:CALCULO INTEGRAL 1 
ALUNO: MESSIAS DE SOUZA MORORÓ JÚNIOR 
PORFOLIO AULA 06 
 
Faça uma figura mostrando o ponto indicado. Encontre as coordenadas do ponto dado em 
que: (a) 
0r 
 e 
   2  ;
 (b) 
0r 
 e 
0 2  ;
 (c) 
0r 
 e 
  2 0  .
 
01» 3. 
;
3
,1A 




 

 
A
E
3

2
O
 
 
𝐸𝑚 (𝑎) 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝐴 = (−1,
𝜋
3
) 
= 𝐴 (−1,
𝜋
3
− 2𝜋) = 𝐴 (−1,
𝜋 − 6𝜋
3
) 
= 𝐴 (−1,
−5𝜋
3
) 
 
 
𝐸𝑚 (𝑏) 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝐴 (−1,
𝜋
3
) = (1,
𝜋
3
+ 𝜋) = 𝐴 (1,
𝜋 + 3𝜋
3
) = 𝐴 (1,
4𝜋
3
) 
𝐸𝑚 (𝑐) 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝐴 (−1,
𝜋
3
) = 𝐴 (1,
𝜋
3
− 2𝜋) = 𝐴 (1,
𝜋 − 6𝜋
3
) = 𝐴 (1,
−5𝜋
3
) 
2º 31. Encontre as equações das retas tangentes à curva𝒓 = 𝟒𝐜𝐨 𝐬 𝟐𝜽no pólo. 
Se a reta passa pelo pólo, sua equação é 𝜽 = 𝜽𝟎, ou seja, é o ponto anula a 
função. 
Temos 𝒇(𝜽) − 𝟒𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽, logo os valores que anulam a equação são: 
𝜽 =
𝝅
𝟒
→ 𝒇 (
𝝅
𝟒
) = 𝟒𝒄𝒐𝒔𝟐 ∗
𝝅
𝟐
= 𝟒𝒄𝒐𝒔
𝝅
𝟐
= 𝟒 
𝟎 = 𝟎 𝒆 𝜽 =
𝟑𝝅
𝟒
→ 𝒇 (
𝝅
𝟐
) = 𝟒𝒄𝒐𝒔𝟐 ∗
𝟑𝝅
𝟐
= 𝟒𝒄𝒐𝒔
𝟑𝝅
𝟐
= 𝟒 ∗ 𝟎 = 𝟎 
as equações da reta são: 
𝜽 =
𝝅
𝟒
 𝒆 𝜽 =
𝟑𝝅
𝟒
 
encontre a área da região limitada pela curva dada: 
03» 5. 
r  sen ;3
 
𝝅
𝟒
 
 ache a área da região comum às regiões limitadas pelas curvas dadas: 
4º 7. 𝒓 = 𝟏 𝒆 𝒓 = 𝟐 𝒔𝒆𝒏𝜽 
𝟏) 𝒓 = 𝟏. É 𝒖𝒎𝒂 𝒄𝒊𝒓𝒄𝒖𝒏𝒇𝒆𝒓ê𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝒓𝒂𝒊𝒐 𝟏 𝒆 𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐 (𝟎, 𝟎) 
𝟐) 𝒓 = 𝟐𝒔𝒆𝒏(𝜽) → 𝒄𝒐𝒏𝒗𝒆𝒓𝒕𝒆𝒏𝒅𝒐 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒄𝒐𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏𝒂𝒅𝒂𝒔 
𝒙 = 𝒓. 𝒄𝒐𝒔(𝜽) = 𝟐. 𝒄𝒐𝒔(𝜽). 𝒔𝒆𝒏(𝜽) 
𝒚 = 𝒓. 𝒔𝒆𝒏(𝜽) = 𝟐 𝒔𝒆𝒏²(𝜽) 
𝒙² + 𝒚² = 𝟒. 𝒄𝒐𝒔²(𝜽). 𝒔𝒆𝒏²(𝜽) + 𝟒. 𝒔𝒆𝒏²(𝜽). 𝒔𝒆𝒏²(𝜽) 
𝒙² + 𝒚² = 𝟒. 𝒔𝒆𝒏²(𝜽). [𝒄𝒐𝒔²(𝜽) + 𝒔𝒆𝒏²(𝜽)] 
𝒙² + 𝒚² = 𝟒. 𝒔𝒆𝒏²(𝜽). [𝟏] 
𝒙² + 𝒚² = 𝟒. 𝒔𝒆𝒏²(𝜽) 
𝑴𝒂𝒔 𝒔𝒆𝒏𝟐(𝜽) =
𝒚𝟐
𝒓𝟐
=
𝒚𝟐
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐
 
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 =
𝟒𝒚𝟐
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐
 
(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)
𝟐
= 𝟒𝒚𝟐 
(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)
𝟐
= (𝟐𝒚)𝟐 
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟐𝒚 
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒚 = 𝟎 
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟐𝒚 + 𝟏 − 𝟏 = 𝟎 (𝑪𝒐𝒎𝒑𝒍𝒆𝒕𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒒𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒅𝒐𝒔) 
𝒙² + (𝒚 − 𝟏)² = 𝟏 
Logo, 𝒓 = 𝟐 𝒔𝒆𝒏𝜽 é uma circunferência de raio 1 e centro (0,1) 
3) Cálculo da área: Para uma integral com coordenadas polares: 
𝑨 = ∫ 𝒓𝒅𝒓𝒅𝜽 =
𝟏
𝟐
∫ 𝒓² . 𝒅𝜽 
O intervalo será onde 𝒓 = 𝟐𝒔𝒆𝒏(𝜽) = 𝟏 →
𝝅
𝟔
< 𝜃 <
𝟓𝝅
𝟔
 
𝑨𝟏 =
𝟓𝝅
𝟔
 
𝟏
𝟐
∫ 𝒓𝟐. 𝒅𝜽 =
𝟏
𝟐
(
𝟓𝝅
𝟔
−
𝝅
𝟔
) =
𝝅
𝟑
 
𝝅
𝟔
 
𝑨𝟐 =
𝟓𝝅
𝟔
 
𝟏
𝟐
∫ 𝟒𝒔𝒆𝒏²(𝜽). 𝒅𝜽 = 
𝝅
𝟔
 
A primitiva de ∫ 𝟐𝒔𝒆𝒏²(𝜽). 𝒅𝜽 é: 
∫ 𝟐𝒔𝒆𝒏²(𝜽). 𝒅𝜽 = ∫ (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔(𝟐𝜽)). 𝒅𝜽 = [𝜽 −
𝒔𝒆𝒏(𝟐𝜽)
𝟐
] + 𝑪 
Logo: 
𝟓𝝅
𝟔
 
𝟏
𝟐
∫ 𝟒𝒔𝒆𝒏𝟐(𝜽). 𝒅𝜽 = [
𝟓𝝅
𝟔
−
𝒔𝒆𝒏 (
𝟓𝝅
𝟑 )
𝟐
] − [
𝝅
𝟔
−
𝒔𝒆𝒏 (
𝝅
𝟑)
𝟐
] 
𝝅
𝟔
 
=
𝟐𝝅
𝟑
+
𝒔𝒆𝒏 (
𝝅
𝟑)
𝟐
−
𝒔𝒆𝒏 (
𝟓𝝅
𝟑 )
𝟐
=
𝟐𝝅
𝟑
+
𝒔𝒆𝒏 (
𝝅
𝟑)
𝟐
+
𝒔𝒆𝒏 (
𝟐𝝅
𝟑 )
𝟐
 
=
𝟐𝝅
𝟑
+
√𝟑
𝟒
+
√𝟑
𝟒
=
𝟐𝝅
𝟑
+
√𝟑
𝟐
 
𝑨 = 𝑨𝟐 − 𝑨𝟏 =
𝝅
𝟑
−
√𝟑
𝟐