Aula_16_Serie_Fourier_Continuo_Parte2

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Série de Fourier
Tempo Contínuo
Modelagem de Sistemas Dinâmicos Michel Leles
Representações por Fourier
� Continuares a discutir a modelagem de sinais a partir do 
domínio da frequência.
� Sinais periódicos no tempo que são tratados pela Série 
de Fourier
Capítulo 3: Sinais e Sistemas – Oppenheim (2011), 2ª ed.
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 22
� Capítulo 3: Sinais e Sistemas – Oppenheim (2011), 2ª ed.
� Capítulos 6: Sinais e Sistemas Lineares – Lathi (2004), 2ª ed.
Série de Fourier
� Série de Fourier:
� Representação de sinais periódicos
� combinação linear
� exponenciais complexas
� harmonicamente relacionadas
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 23
� Forma Exponencial da Série de Fourier �
Série de Fourier
� Formas da Série de Fourier:
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 24
� Para cálculo dos coeficientes:
� quantificam a contribuição de cada harmônica
Série de Fourier
� Exemplo 1:
� Determine a Série de Fourier para:
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 25
Série de Fourier
� Exemplo 1 (cont.):
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 26
Série de Fourier
� Exemplo 1 (cont.):
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 27
Série de Fourier
� Exemplo 1 (cont.):
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 28
Série de Fourier
� Exemplo 2:
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 29
� Frequência fundamental T
Tdt
T
a
T
T
0
0
21 0
0
== ∫
Série de Fourier
� Exemplo 2 (Ex. 3.5, Oppenheim):
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 210
0, ≠k
Série de Fourier
� Exemplo 2 (coeficientes são reais):
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 211
Série de Fourier
� Exemplo 2:
� Aproximação do Sinal pela Série Truncada de Fourier
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 212
Série de Fourier
� Fourier Series Demo:
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 213
Série de Fourier
� Exemplo 3:
� Calcular a Série de Fourier para:
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 214
Série de Fourier
� Exemplo 3 (cont.):
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 215
Série de Fourier
� Exemplo 3 (cont.):
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 216
Série de Fourier
� Pelos exemplos anteriores, vimos que se espera que a Série 
Truncada convirja para o sinal x(t) quando n tende a infinito. 
� Será que isso acontece sempre? 
� Já sabemos que um sinal periódico contínuo possui uma 
Fourier
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 217
Já sabemos que um sinal periódico contínuo possui uma 
representação em Série de Fourier se ele satisfaz às 
condições de Dirichlet, mas sabemos também que a 
aproximação não é perfeita em pontos de descontinuidade. 
� Esse é o Fenômeno Gibbs... 
� Existem métodos para reduzir ou eliminar o efeito do Fenômeno 
Gibbs� métodos de janelamento... 
Série de Fourier
� Papel da Amplitude:
� Frequências baixas afetam a tendência do sinal
� Frequências altas afetam mudanças rápidas
� Papel da Fase:
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 218
� Troca de sinal das senoides no momento das descontinuidades
� Mudanças de Fase
Série de Fourier - Propriedades
� Supondo:
� Linearidade:
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 219
� Deslocamento Temporal:
Série de Fourier - Propriedades
� Reflexão no Tempo
� Sinal Par Sinal Ímpar
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 220
� Mudança de escala no Tempo
� Mas os coeficiente da série permanecem os mesmos!
Série de Fourier - Propriedades
� Multiplicação
� (convolução)
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 221
� (convolução)
� Relação de Parseval
Série de Fourier - Propriedades
� A Tabela 3.1 do Oppenheim (2011) resume as principais 
propriedades 
� Algumas propriedades apresentadas na tabela não estão nos slides... 
� As propriedades são interessantes para facilitar a 
determinação dos coeficientes da Série de Fourier de um 
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 222
determinação dos coeficientes da Série de Fourier de um 
sinal, evitando a realização de contas desnecessárias. 
� Leiam (estudem) sobre as propriedades, pois o livro 
apresenta comentários interessantes... 
Série de Fourier - Propriedades
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 223
Série de Fourier - Propriedades
� Exemplo (Ex 3.6, Oppenheim):
� Calcular a Série de Fourier para o sinal a seguir:
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 224
Série de Fourier - Propriedades
� Exemplo (cont.):
� Lembrando...
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 225
T
Tdt
T
a
T
T
0
0
21 0
0
== ∫
Série de Fourier - Propriedades
� Exemplo (cont.):
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 226
2
1
4
221 0
0
0
0
==== ∫ T
Tdt
T
a
T
T
Série de Fourier - Propriedades
� Exemplo (cont.):
Linearidade
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 227
� Linearidade
Série de Fourier - Propriedades
� Exemplo (cont.):
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 228
Série de Fourier - Propriedades
� Exemplo (cont.):
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 229
Série de Fourier - Propriedades
� Exemplo (cont.):
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 230
Material de Estudo e Exercícios
� Material de Estudo:
� Capítulo 3: Sinais e Sistemas – Oppenheim (2011), 2ª ed.
� Capítulo 6: Sinais e Sistemas Lineares – Lathi (2004), 2ª ed.
�Matlab Seção 6 �Aplicações da Série de Fourier
Michel Leles Série de Fourier - Tempo Contínuo - Parte 231
� Exercícios
� Oppenheim (2011) � 3.1, 3.3 a 3.7.
� Lathi (2004) �Todos das seções: 6.1, 6.2, 6.3 e 6.4. Ex 6.M-1