Aula_21_Transformada_Fourier_Discreto

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Transformada de Fourier
Tempo Discreto
Modelagem de Sistemas Dinâmicos Michel Leles
Introdução
� Nessa aula continuaremos a discutir a modelagem de 
sinais a partir do domínio da frequência.
� Agora para sinais Aperiódicos no tempo discreto que são 
tratados pela Transformada de Fourier de Tempo Discreto
Michel Leles Transf. de Fourier - Tempo Discreto |2
� Capítulo 5: Sinais e Sistemas – Oppenheim (2011), 2ª ed.
� Capítulos 9: Sinais e Sistemas Lineares – Lathi (2004), 2ª ed.
Introdução
� Representação unificada para sinais periódicos e aperiódicos
� Similaridades com o caso contínuo
� Diferenças nas frequências possíveis
Michel Leles Transf. de Fourier - Tempo Discreto |3
� Diferenças nas frequências possíveis
� No discreto � Repetição de frequências
Da série para a Transformada...
� Novamente � assim como no caso contínuo
� Seja x[n] um sinal aperiódico:
Michel Leles Transf. de Fourier - Tempo Discreto |4
Da série para a Transformada...
� Seja x[n] um sinal periódico:
Michel Leles Transf. de Fourier - Tempo Discreto |5
Da série para a Transformada...
� Seja x[n] um sinal periódico:
� Aumentando o período...
Michel Leles Transf. de Fourier - Tempo Discreto |6
Da série para a Transformada...
� Seja x[n] um sinal periódico:
� Aumentando o período...
Michel Leles Transf. de Fourier - Tempo Discreto |7
Da série para a Transformada...
� Seja x[n] um sinal periódico:
� Aumentando o período...
� No limite N�∞ � x[n] 
Michel Leles Transf. de Fourier - Tempo Discreto |8
Da série para a Transformada...
� Matematicamente...
� Aplicando a Série de Fourier no sinal de Tempo Discreto:
� Equação de Síntese:
Michel Leles Transf. de Fourier - Tempo Discreto |9
� Equação de Análise:
� No limite: N�∞
Da série para a Transformada...
� Aplicando a Série de Fourier no sinal de Tempo Discreto:
� Amostras (kwo), escaladas (1/N), do espectro de frequência:
Michel Leles Transf. de Fourier - Tempo Discreto |10
� No limite:
� Substituindo: 
� Obtém-se:
Da série para a Transformada...
� Aplicando a Série de Fourier no sinal de Tempo Discreto:
� Repetindo a equação anterior:
No limite, em que 
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� No limite, em que 
� Integral de Fourier:
Relação Tempo Vs Frequência
� Transformada de Fourier de Tempo Discreto:
Michel Leles Transf. de Fourier - Tempo Discreto |12
� Transformada Inversa de Fourier de Tempo Discreto:
Espectro – Tempo Discreto
� Função continua na frequência
� pode assumir qualquer valor real: 
� Função Periódica na frequência:
� Lembrando:
)( ωjXω
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Lembrando:
� n é um número inteiro
� Logo:
Da série para a Transformada...
� Novamente, explorando a relação entre a Série e a 
Transformada de Fourier
� Exemplo: 
� Determine a série de Fourier para o sinal discreto:
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Da série para a Transformada...
� Exemplo (cont.): 
� Determinação dos coeficientes :
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� Fórmula de Euller
Da série para a Transformada...
� Exemplo: 
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Da série para a Transformada...
� Exemplo: 
Michel Leles Transf. de Fourier - Tempo Discreto |17
Da série para a Transformada...
� Exemplo: 
Michel Leles Transf. de Fourier - Tempo Discreto |18
Da série para a Transformada...
� Exemplo: 
Michel Leles Transf. de Fourier - Tempo Discreto |19
Da série para a Transformada...
� Exemplo: 
Michel Leles Transf. de Fourier - Tempo Discreto |20
Da série para a Transformada...
� Exemplo: 
Michel Leles Transf. de Fourier - Tempo Discreto |21
Da série para a Transformada...
� Exemplo: 
Michel Leles Transf. de Fourier - Tempo Discreto |22
Da série para a Transformada...
� Exemplo: 
Michel Leles Transf. de Fourier - Tempo Discreto |23
Da série para a Transformada...
� Exemplo:
� Determinar a Transf. de Fourier do sinal discreto:
� Solução:
][][ nuanx n=
Michel Leles Transf. de Fourier - Tempo Discreto |24
Série Vs Transformada de Fourier
� A transformada é uma ferramenta que permite um 
contexto unificado:
� Sinais Periódicos, e
� Sinais Aperiódicos
Contudo, assim como no caso contínuo, existem diferenças
Michel Leles Transf. de Fourier - Tempo Discreto |25
� Contudo, assim como no caso contínuo, existem diferenças
� Termos impulsivos
� Fator de escala
� Mas, os harmônicos da série são mantidos na transformada
Algumas Propriedades
� Linearidade...
� Parseval:
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Algumas Propriedades
� Diferença e Acumulação:
� No tempo discreto, derivada e integral são vistos como:
� Diferença:
� Acumulação (Soma):
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� Acumulação (Soma):
� Na Transformada:
� Diferença:
� Soma: condições de contorno
Algumas Propriedades
� Deslocamento no tempo:
� Não existe mudança na magnitude, apenas na fase
Deslocamento na frequência:
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� Deslocamento na frequência:
� Existe mudança na frequência � sinal no tempo também é 
modificado:
Algumas Propriedades
� Escalamento Temporal
� z[n]=x[an]
� Se a<1 � compressão temporal � perda de informação
� Se a>1 � não há perda de informação � energia é a mesma
Definindo:
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� Definindo:
Algumas Propriedades
� Escalamento Temporal
� Exemplo:
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Algumas Propriedades
� Escalamento Temporal
� Exemplo:
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Algumas Propriedades
� Escalamento Temporal
� Espalhamento/Compressão � Dualidade tempo X frequência
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Algumas Propriedades
� Escalamento Temporal
� Espalhamento/Compressão � Dualidade tempo X frequência
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Algumas Propriedades
� Escalamento Temporal
� Espalhamento/Compressão � Dualidade tempo X frequência
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Algumas Propriedades
� Convolução: 
� Multiplicação:
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� Multiplicação:
� DUALIDADE
Tabelas
� Propriedades:
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Tabelas
� Pares de Transformadas:
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Transformada Vs Série de Fourier
� Tabela Comparativa:
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� Relembrando...
Quadro Comparativo – Oppenheim (2011)
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Quadro Comparativo – Haykin (1999)
Michel Leles Transf. de Fourier - Tempo Discreto |40
Sistemas Caracterizados por Eq. a Diferenças
� Exemplo 1:
� Obter a resposta ao impulso para o sistema caracterizado pela 
equação a diferenças:
� Exemplo 5.16, Oppenheim (2011)
1],[]1[][ <=−− anxnayny
)( jweY
Michel Leles Transf. de Fourier - Tempo Discreto |41
� Exemplo 5.16, Oppenheim (2011)
� Lembrando da Propriedade :
� exemplo da pág 24
)(
)()( jw
jw
jw
eX
eY
eH =
jw
jw
ae
eH
−
−
=
1
1)( ][][ nuanh n=
Sistemas Caracterizados por Eq. a Diferenças
� Exemplo 2:
� Repetir o exercício anterior, mas para a Equação a diferenças:
� Exemplo 5.17, Oppenheim (2011)
)(
)()( jw
jw
jw
eX
eY
eH =
][2]2[
8
1]1[
4
3][ nxnynyny =−+−−
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)(eX






+





−
=
−− wjjw
jw
ee
eH
2
8
11
4
31
2)(
][
4
12][
2
14][ nununh
nn






−





=






−
−






−
=
−− jwjw
jw
ee
eH
4
11
2
2
11
4)(
Fourier Vs Transf. Z
� Transformada Z
� Análogo de tempo discreto à Transformada de Laplace
� Exponenciais discretas:
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nnjnnjw zere ==+ ωσ )(
Fourier Vs Transf. Z
� Transformada Z: 
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�
� Transf. Z reduz a
� Transf. Fourier p/
�
1=z
Fourier Vs Transf. Z
� Matematicamente:
� Fourier�
� Condição � ser absolutamente integrável: 
Michel Leles Transf. de Fourier - Tempo Discreto |45
� Forçando a condição �
� Para r<<1: 
� Assim: Transformada Z�
Cálculo Geométrico da Transf. Fourier
� Sistema de 1ª ordem:
comprimento
do vetor v em relação ao eixo real
][][ nuanh n=
az
az
z
az
zH >
−
=
−
=
−
,
1
1)( 1 jwjw aeeH −−= 1
1)(
•→=
2
1)(
v
v
eH jw 21)( vve jw ∠−∠=∠
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do vetor v em relação ao eixo real
�
2v
Cálculo Geométrico da Transf. Fourier
� Sistema de 2ª ordem:
� Pólos em: Zero duplo em z=0
][
sin
)1sin(][ nunrnh n
θ
θ+
=
wjjw
jw
erer
eH 22cos21
1)(
−− +−
=
θ 221)cos2(1
1)(
−− +−
=
zrzr
zH
θ




=
=
− θ
θ
j
j
rez
rez
2
1
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 rez2
Material de Estudo e Exercícios
� Material de Estudo:
� Capítulo 5: Sinais e Sistemas – Oppenheim (2011), 2ª ed.
� Seção 10.4
� Capítulo 9: Sinais e Sistemas Lineares – Lathi (2004), 2ª ed.
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� Exercícios
� Oppenheim (2011) � 5.1 a 5.10, 5.21 a 5.26, 5.30, 10.28 e 10.29
� Lathi (2004) � 9.2.1 a 9.2.5, 9.3.1 a 9.3.4