AD1 CIV 2015.1 (Gabarito)

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Ca´lculo IV – AD1 – Tutor
Questa˜o 1 [2,5 pts]: Dada a integral dupla
I =
∫∫
D
f(x, y) dx dy =
∫ 1
0
∫ x
x/2
f(x, y) dy dx+
∫ 2
1
∫ 1
x/2
f(x, y) dy dx.
(a) Esboce a regia˜o D.
(b) Expresse a soma de integrais do segundo membro como uma so´ integral na qual a ordem de
integrac¸a˜o esta´ invertida.
(c) Calcule o valor de I para a func¸a˜o f(x, y) = yx2(x3 + y3)−1/2.
Soluc¸a˜o:
(a) Denotando por I1 a primeira integral e por I2 a segunda integral, temos:
I1 =
∫∫
D1
f(x, y) dx dy e I2 =
∫∫
D2
f(x, y) dx dy,
onde
D1 : 0 ≤ x ≤ 1 , x
2
≤ y ≤ x e D2 : 1 ≤ x ≤ 2 , x
2
≤ y ≤ 1
Os esboc¸os de D1 e D2 sa˜o:
x
y
1
11
2
1
2
D1
x=y
x=2y
Figura 1: Regia˜o D1
x
y
1
1 2
1
2
D2
y=1
x=2y
Figura 2: Regia˜o D2
Portanto, I =
∫∫
D
f(x, y) dx dy =
∫∫
D1
f(x, y) dx dy +
∫∫
D2
f(x, y) dx dy, onde D = D1 ∪D2 e
cujo esboc¸o e´ dado na figura que se segue:
x
y
1
1 2
1
2
D
x=y
x=2y
Figura 3: Regia˜o D = D1 ∪D2
Ca´lculo IV – AD1 AD1 – Tutor 2
(b) Descrevendo D como uma regia˜o do tipo II, temos:
D : 0 ≤ y ≤ 1 , y ≤ x ≤ 2y.
Enta˜o,
I =
∫ 1
0
∫ 2y
y
f(x, y) dx dy
(c) Para f(x, y) = yx2(x3 + y3)−1/2, temos
I =
∫ 1
0
∫ 2y
y
yx2(x3 + y3)−1/2 dx dy =
∫ 1
0
y
∫ 2y
y
x2(x3 + y3)−1/2 dx dy.
Fazendo u = x3 + y3, temos du = 3x2 dx, ou x2 dx =
du
3
.
Para x = y, temos u = 2y3 e para x = 2y temos u = 9y3. Logo,
I =
∫ 1
0
y
∫ 9y3
2y3
u−1/2
du
3
dy =
1
3
∫ 1
0
y
[
2u1/2
]9y3
2y3
dy
=
2
3
∫ 1
0
y
[
3y3/2 −
√
2y3/2
]
dy =
2
3
(
3−
√
2
)∫ 1
0
y5/2 dy
=
2
3
(
3−
√
2
)[
2
7
y7/2
]1
0
=
4
21
(
3−
√
2
)
.
Questa˜o 2 [2,5 pts]: Calcule
∫ 1/2
0
∫ 1−y
y
√
x2 − y2 dx dy.
Soluc¸a˜o: Temos∫ 1/2
0
∫ 1−y
y
√
x2 − y2 dx dy =
∫∫
D
√
x2 − y2 dx dy =
∫∫
D
√
(x− y)(x+ y) dx dy,
com
D : 0 ≤ y ≤ 1
2
, y ≤ x ≤ 1− y ,
cujo esboc¸o e´:
x
y
D
11
2
1
2
Figura 4: Regia˜o D
Fac¸amos a mudanc¸a de veria´veis
u = x− y , v = x+ y
ou
x =
u+ v
2
, y =
v − u
2
,
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Ca´lculo IV – AD1 AD1 – Tutor 3
cujo jacobiano J =
∂(x, y)
∂(u, v)
e´ dado por
J =
∣∣∣∣∣∣∣∣
∂x
∂u
∂x
∂v
∂y
∂u
∂y
∂u
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣∣
1
2
1
2
−1
2
1
2
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
1
4
+
1
4
=
2
4
=
1
2
.
Como dx dy = |J | du dv, enta˜o dx dy = 1
2
du dv.
Observemos que y = 0 transforma-se em
v − u
2
= 0 ou v = u.
Assim, a regia˜o D limitada pelas retas x− y = 0, x + y = 1 e y = 0 transforma-se na regia˜o Duv,
limitada por u = 0, v = 1 e v = u, cujo esboc¸o e´:
u
v
Duv
1
1
u=0
u=v
Figura 5: Regia˜o Duv
Enta˜o, pelo Teorema da Mudanc¸a de Varia´veis, temos∫∫
D
√
x2 − y2 dx dy =
∫∫
Duv
√
uv
1
2
du dv =
1
2
∫ 1
0
∫ v
0
u1/2 v1/2 du dv
=
1
2
∫ 1
0
v1/2
[
2
3
u3/2
]v
0
dv =
1
2
2
3
∫ 1
0
v1/2 v3/2 dv
=
1
3
∫ 1
0
v2 dv =
1
3
[
v3
3
]1
0
=
1
3
1
3
=
1
9
.
Logo, ∫ 1/2
0
∫ 1−y
y
√
x2 − y2 dx dy = 1
9
.
Questa˜o 3 [2,5 pts]: Calcule a massa de uma placa fina que ocupa a regia˜o D do plano xy,
definida por
D = {(x, y) ∈ R2 ; (x− 1)2 + y2 ≥ 1 e (x− 2)2 + y2 ≤ 4},
se a densidade em cada ponto e´ proporcional a` distaˆncia do ponto a` origem.
Soluc¸a˜o: O esboc¸o de D esta´ representado na figura que se segue:
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Ca´lculo IV – AD1 AD1 – Tutor 4
x
y
D
1 2 4
r=2 cos θ
r=4 cos θ
Figura 6: Regia˜o D
Como a distaˆncia de (x, y) a` origem e´
√
x2 + y2, enta˜o a densidade e´ dada por δ(x, y) = k
√
x2 + y2,
onde k > 0 e´ uma constante de proporcionalidade. Temos
M =
∫∫
D
δ(x, y) dx dy = k
∫∫
D
√
x2 + y2 dx dy.
Passando para coordenadas polares, temos
x = r cos θ , y = r sen θ , dx dy = r dr dθ , x2 + y2 = r2.
Assim,
(x− 1)2 + y2 = 1 ou x2 + y2 = 2x transforma-se em r2 = 2r cos θ ou r = 2 cos θ para r 6= 0.
e
(x− 2)2 + y2 = 4 ou x2 + y2 = 4x transforma-se em r2 = 4r cos θ ou r = 4 cos θ para r 6= 0.
Descric¸a˜o de D em coordenadas polares: Observando a regia˜o D, vemos que θ varia de −pi
2
a
pi
2
.
Fixando θ, com −pi
2
≤ θ ≤ pi
2
, vemos que r varia de 2 cos θ a 4 cos θ.
Enta˜o, temos
Drθ :
{
−pi
2
≤ θ ≤ pi
2
2 cos θ ≤ r ≤ 4 cos θ.
Portanto,
M = k
∫∫
Drθ
√
r2 r dr dθ = k
∫∫
Drθ
r2 dr dθ = k
∫ pi/2
−pi/2
∫ 4 cos θ
2 cos θ
r2 dr dθ
= k
∫ pi/2
−pi/2
[
r3
3
]4 cos θ
2 cos θ
dθ =
k
3
∫ pi/2
−pi/2
(
64 cos3 θ − 8 cos3 θ) dθ
=
56k
3
∫ pi/2
−pi/2
cos3 θ dθ =
56k
3
∫ pi/2
−pi/2
(
1− sen2 θ) cos θ dθ
=
56k
3
[
sen θ − sen
3 θ
3
]pi/2
−pi/2
=
112k
3
(
1− 1
3
)
=
224k
9
u.m.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
Ca´lculo IV – AD1 AD1 – Tutor 5
Questa˜o 4 [2,5 pts]: Achar o volume do so´lido W limitado superiormente pelo cilindro parabo´lico
y2 + z = 4, inferiormente pelo plano z + y = 2 e lateralmente pelos planos x = 0 e x = 2.
Soluc¸a˜o: O esboc¸o do so´lido W e´
x
y
z
−1
2
2
2
4
W
Figura 7: Regia˜o W
y
z
−1 2
2
4
3
Dyz
z=4−y2
z=2−y
Figura 8: Regia˜o Dyz
Temos V (W ) =
∫∫∫
W
dV .
Projetando W sobre o plano yz, temos
W : (y, z) ∈ Dyz , 0 ≤ x ≤ 2 ,
onde Dyz e´ a regia˜o do plano yz dada por Dyz : −1 ≤ y ≤ 2 , 2− y ≤ z ≤ 4− y2.
Logo,
V (W ) =
∫∫
Dyz
∫ 2
0
dx dy dz = 2
∫ 2
−1
∫ 4−y2
2−y
dz dy
= 2
∫ 2
−1
(
4− y2 − 2 + y) dy = 2∫ 2
−1
(
2− y2 + y) dy
= 2
[
2y − y
3
3
+
y2
2
]2
−1
= 2
[(
4− 8
3
+ 2
)
−
(
−2 + 1
3
+
1
2
)]
= 2
(
6− 8
3
+ 2− 1
3
− 1
2
)
= 2
(
8− 3− 1
2
)
= 2
9
2
= 9u.v.
Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ