Trigonometria Equações e Inequações Trigonométricas

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1 
 
Questão 01 - (IME RJ/2016) O valor do somatório abaixo é: 





 


36
cisgIm 1k2
15
1k
 
 
a) 
36
sen4
32


 
b) 
36
sen4
32


 
c) 
36
sen4
1

 
d) 
36
sen

 
e) 
4
1
 
Observação: Img(w) é a parte imaginária de w. 
 
Questão 02 - (UECE/2015) As soluções, em R, da equação 
cox
4
x – 4cox
3
x + 6cos
2
x – 4cosx + 1 = 0 são 
Sugestão: use o desenvolvimento do binômio (p – q)
4
. 
 
a) x = 2k

, onde k é um inteiro qualquer. 
b) x = (2k + 1)

, onde k é um inteiro qualquer. 
c) x = kπ, onde k é um inteiro qualquer. 
d) x = (4k + 1)

, onde k é um inteiro qualquer. 
 
Questão 03 - (PUC RS/2015) Na equação tan(x) = cot(x) em R, onde 
2
x0


, o valor de x é 
 
a) –1 
b) 1 
c) 
3

 
d) 
4

 
e) 
6

 
 
Questão 04 - (UECE/2014) Usando a expressão clássica do desenvolvimento da potência (a + b)
n
, onde a e b são 
números reais e n é um número natural, pode-se resolver facilmente a equação sen
4
x - 4sen
3
x + 6sen
2
x – 4senx + 1 
= 0. Então, para os valores de x encontrados, teremos que cosx é igual a 
 
a) 1 
b) 
2
3
 
c) 
2
2
 
d) 0 
 
Questão 05 - (UNESP SP/2014) O conjunto solução (S) para a inequação 2cos
2
x + cos(2x) > 2, em que 0 < x < , é 
dado por: 
 
a) 








 x
6
5
ou
6
x0|),0(xS
 
b) 





 



3
2
x
3
|),0(xS
 
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2 
 
c) 








 x
3
2
ou
3
x0|),0(xS
 
d) 





 



6
5
x
6
|),0(xS
 
e) S = {x  (0, )} 
 
Questão 06 - (UNICAMP SP/2014) Seja x real tal que cos x = tan x. O valor de sen x é 
 
a) 
  2/13 
 
b) 
  2/31
 
c) 
  2/15 
 
d) 
  2/51
 
 
Questão 07 - (Unicastelo SP/2014) Um importante resultado que pode ser demonstrado usando fatoração e 
produtos notáveis é que 
2
x
1
x,Rx  
, ou seja, para qualquer número real positivo, a soma dele com o seu 
inverso será sempre maior ou igual a 2. Com base nessa afirmação, o conjunto solução, no intervalo [0, 2] para a 
equação |cos(2013x)| + |sec(2013x)| = 
2013
1
 é 
 
a) 





 

2013
3
,
2013
2
S
 
b) 





 

2013
5
,
2013
4
S
 
c) 





 

2013
2
,
2013
S
 
d) 





 

2013
4
,
2013
3
S
 
e) 
  S 
 
 
Questão 08 - (FMJ SP/2014) A função real f(t) = 100 – 20 cos (t), com t expresso em segundos, pode ser usada 
para modelar o comportamento ideal da pressão sanguínea de uma pessoa. O modelo por função cossenoidal está 
intimamente ligado ao comportamento oscilatório e periódico dos batimentos cardíacos. Considere que cada 
batimento se dá em um período da função. Para um indivíduo que apresenta uma frequência de 100 batimentos por 
minuto, o valor de  é 
 
a) 2 
b) 4 
c) 
3
4
 
d) 
3
8
 
e) 
3
10
 
 
Questão 09 - (IME RJ/2014) Em um quadrilátero ABCD, os ângulos 
CBˆA
 e 
ADˆC
 são retos. Considere que 
)CDˆB(sen
 
e 
)ACˆB(sen
 sejam as raízes da equação x
2
 + bx + c = 0, onde b, c  R. Qual a verdadeira relação satisfeita por b e c? 
 
a) b
2
 + 2c
2
 = 1 
b) b
4
 + 2c
2
 = b
2
c 
c) b
2
 + 2c = 1 
d) b
2
 – 2c
2
 = 1 
e) b
2
 – 2c = 1 
 
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3 
 
Questão 10 - (MACK SP/2014) Em R, o domínio da função f , definida por 
senx
x2sen
)x(f 
, é 
 
a) {x  R / x  k, k  Z} 
b) {x  R / 2k < x <  + 2k, k  Z} 
c) {x  R / 
2

 + 2k  x  
2
3
 + 2k, k  Z} 
d) {x  R / 2k < x  
2

 + 2k  
2
3
 + 2k  x < 2 + 2k, k  Z} 
e) {x  R / 2k  x  
2

 + 2k  
2
3
 + 2k  x < 2 + 2k, k  Z} 
 
Questão 11 - (UECE/2014) Se p e q são duas soluções da equação 2sen
2
x – 3sen x + 1 = 0 tais que senp  senq, 
então o valor da expressão sen
2
p – cos
2
q é igual a 
 
a) 0. 
b) 0,25. 
c) 0,50. 
d) 1. 
 
Questão 12 - (IME RJ/2014) Sabe-se que uma das raízes da equação y
2
 – 9y + 8 = 0 pode ser representada pela 
expressão 
2ln)xsenxsenxsen( 642e 
. Sendo 0 < x < 
2

, o valor da razão 
senxxcos
xcos

 é 
 
a) 
2
13 
 
b) 
13 
 
c) 
3
 
d) 
2
13 
 
e) 
13 
 
Observação: ln2 representa o logaritmo neperiano de 2 
 
Questão 13 - (FGV /2013) Se 
3
15
senysenx 
 e 
1ycosxcos 
, então, sec(x – y) é igual a 
 
a) 
3
1
 
b) 
2
1
 
c) 2 
d) 3 
e) 4 
 
Questão 14 - (IBMEC SP/2013) Um empreendedor está desenvolvendo um sistema para auxiliar o julgamento de 
lances duvidosos em partidas de futebol. Seu projeto consiste de um chip instalado na bola e um sensor posicionado 
em um dos cantos do campo (ponto P). 
 
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4 
 
 
 
O sensor detecta a distância r entre os pontos P e B (bola) e a medida  do ângulo 
QPˆB
. Em seguida, 
transforma essas informações nas distâncias x e y indicadas na figura. Isso pode ser feito por meio das 
expressões 
 
a) 
 sen
r
1
x
 e 
 cos
r
1
y
 
b) 
 cosrx 2
 e 
 senry 2
 
c) x = rsen2 e y = rcos2 
d) x = rcos e y = rsen 
e) 
 2sen
r
1
x
 e 
 2cos
r
1
y
 
 
Questão 15 - (MACK SP/2013) A expressão cos(a
2
 – 2b
2
)  cos(b
2
) – sen(a
2
 – 2b
2
)  sen(b
2
) é igual a 
 
a) cos(a
2
 + b
2
) 
b) sen (b
2
) 
c) cos(a
2
) 
d) sen[(a + b)  (a – b)] 
e) cos[(a + b)  (a – b)] 
 
Questão 16 - (UCS RS/2013) Um estudante de Engenharia, em uma atividade prática, teve que obter um valor 
numérico aproximado da expressão 2 + 3sen(5x) , em que x é a medida de um ângulo entre 0 e 36 graus. Qual dos 
seguintes valores tem condições de estar certo? 
 
a) 0,089 
b) 1,089 
c) 4,089 
d) 5,089 
e) 17,089 
 
Questão 17 - (UDESC SC/2013) Se a é o menor valor que satisfaz a inequação |1 – 8x|  3 e sen(y) = a, então o 
valor da constante k, que satisfaz a igualdade sen(2y) = k cotg(y), é: 
 
a) 
8
1
 
b) 
2
1
 
c) 
4
1
 
d) 
16
1
 
e) 1 
 
Questão 18 - (ITA SP/2013) Sejam a um número real e n o número de todas as soluções reais e distintas x  [0, 2] 
da equação cos
8
 x – sen
8
 x + 4 sen
6
 x = a. Das afirmações: 
 
I. Se a = 0, então n = 0; 
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5 
 
II. Se a = 
2
1
, então n = 8; 
III. Se a = 1, então n = 7; 
IV. Se a = 3, então n = 2, 
 
é (são) verdadeira(s) 
 
a) apenas I. 
b) apenas III. 
c) apenas I e III. 
d) apenas II e IV. 
e) todas. 
 
Questão 19 - (ITA SP/2013) Se cos 2x = 
2
1
, então um possível valor de 
)xsec()xsec(cos
1gxcot


 é 
 
a) 
2
3
 
b) 1 
c) 
2
 
d) 
3
 
e) 2 
 
Questão 20 - (UEM PR/2013) Com relação aos conceitos e às propriedades de funções e equações trigonométricas, 
assinale o que for correto. 
 
01. A equação tg(x) = sen(x) não tem soluções. 
02. Se f é definida por f (x) = sen(x)cos(x), então a equação f (x) = 0 tem como conjuntosolução {x  R | x = k  
2

, k  Z}. 
04. A função f (x) = cos(x) é crescente no intervalo 





 
2
 ,0
. 
08. O gráfico da função f , definida por f(x) = sen(x) – 
2
1
 sen(2x)cos(x), coincide com o gráfico da função g, 
definida por g(x) = sen
3
(x). 
16. Para qualquer a  R, existe x  R, tal que tg(x) > a. 
 
Questão 21 - (UEPG PR/2013) Sobre a expressão 











x
2
cos)x(sen
)x(sen)xcos(
y
, assinale o que for correto. 
 
01. Para x = 0, y = 0. 
02. Para 
2
x


, y = 0. 
04. Para 
4
x


, y = –1. 
08. Se x é um arco do 3º quadrante, y > 0. 
16. y = tg x. 
 
Questão 22 - (UFSC/2013) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 
 
01. Uma conhecida marca de chocolate utiliza como embalagem um prisma regular de base triangular cuja 
aresta da base mede 3,5 cm. Se sua altura tem o dobro do perímetro da base, então sua área lateral é igual 
a 220,5 cm
2
. 
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6 
 
 
02. Seja f:R R, f(x) = |x| – cos x. Então existem exatamente dois valores reais 
x
 tais que f(x) = 0. 
04. Dadas as matrizes 













12
02
21
A
 e 








103
051
B
, então a matriz D = AB não admite inversa. 
08. A equação log2(cos x) = 1 tem exatamente duas soluções no intervalo [0, 2]. 
16. 
1
3
14
sec
4
23
tg 



 
32. Sabemos que aplicando um capital C0 após n meses a uma taxa i, obtemos o valor a ser resgatado Cf 
através da seguinte equação Cf = C0(1 + i)
n
. Dessa forma, uma pessoa que aplica um capital de R$10 
000,00 a uma taxa de 1% ao mês durante três meses deve resgatar um valor igual a R$ 10 303,01. 
64. Quatro cidades, A, B, C, D, estão localizadas nos vértices de um quadrado. As linhas nas figuras 1 e 2 são 
dois caminhos que interligam as quatro cidades. O ângulo 
BQˆA
 mede 120
o
 e os segmentos AQ, BQ, CP e 
DP têm a mesma medida. Então o comprimento do caminho na figura 1 é menor do que o comprimento do 
caminho na figura 2. 
 
 
Questão 23 - (IME RJ/2016) Seja a equação 
2
1
tgx
)x2(sen

. As soluções dessa equação para 








 ,
2
x
 formam um 
polígono no círculo trigonométrico de área 
 
a) 
2
3
 
b) 
3
 
c) 
8
35
 
d) 
2
1
 
e) 1 
 
Questão 24 - (ITA SP/2016) Se 
7tgx 
 e 





 

2
3
 ,x
, então sen3x é igual a 
 
a) 
8
14

 
b) 
8
14
 
c) 
4
14
 
d) 
4
14

 
e) 
6
14
 
 
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7 
 
Questão 25 - (MACK SP/2015) O conjunto solução da inequação cos
4
x – sen
4
x < 
2
1
, no intervalo 
 ,0
, é 
 
a) S =  
b) 





 



6
5
x
6
|IRxS
 
c) 





 



3
2
x
3
|IRxS
 
d) 










 x
6
5
6
x0|IRxS
 
e) 










 x
6
5
6
x0|IRxS
 
 
Questão 26 - (UEFS BA/2015) O número de soluções da equação 3cos
2
x + tan
2
x = 3, no intervalo [0, 2

], é 
 
a) 1 
b) 2 
c) 4 
d) 6 
e) 7 
 
Questão 27 - (IME RJ/2015) O número de soluções da equação 
cos(8x) = sen(2x) + tg
2
(x) + cotg
2
(x) 
no intervalo [0, 2

) é: 
 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) 4 
e) 8 
 
Questão 28 - (ITA SP/2015) Os valores de x 

 [0; 2

] que satisfazem a equação 
1 x cos sen x 2 
 são 
 
a) 






5
3
arccos
 e 

. 
b) 






5
3
arcsen
 e 

. 
c) 







5
4
arcsen
 e 

. 
d) 







5
4
arccos
 e 

. 
e) 






5
4
arccos
 e 

. 
 
Questão 29 - (UDESC SC/2014) A equação 3sen
2
x + (m – 1)senx – 4(m – 1)
2
 = 0 admite solução para os valores de 
pertencentes ao intervalo: m 
 
a) [-1, 1] 
b) [0, 2] 
c) 






4
9
 ,
4
1
 
d) 







4
7
 ,
4
1
 
e) [1, 4] 
 
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8 
 
Questão 30 - (ACAFE SC/2014) A respeito da solução da equação 
5,1)x(sen3 
, tal que 0  x  2, é correto 
afirmar: 
 
a) Possui apenas uma solução, e esta pertence ao primeiro quadrante. 
b) Possui apenas uma solução, e esta pertence ao segundo quadrante. 
c) Existem duas soluções no intervalo de zero a 2. 
d) Possui quatro soluções. 
 
Questão 31 - (PUC RS/2014) Se 0  x < 2, então o conjunto solução da equação 
xcos1)x(sen 2
 é 
 
a) 





 

2
;0S
 
b) 








 ;
2
S
 
c) 





 

2
3
;S
 
d) 
  2;0S
 
e) 
  ;0S
 
 
Questão 32 - (UERN/2014) Considerando que sen  com 0° <  < 90° é igual a 0,6, então, tg  é: 
 
a) 0,54. 
b) 0,65. 
c) 0,75. 
d) 0,80. 
 
Questão 33 - (UFT TO/2014) Sabendo que o valor de 
4
3
senx 
 e 


x
2
, então é correto afirmar que o valor da 
expressão 
E= (sec
2
 x + cot
2
 x) – (tan
2
 x + csc
2
 x) = cosx – senx 
 
é igual a: 
 
a) 
 
4
37 

 
b) 
 
4
37 

 
c) 
 
4
37 

 
d) 
 
4
37 

 
e) 
 
4
67 

 
 
Questão 34 - (ESPCEX/2014) A soma de todas as soluções da equação 
2 cos
3
(x) – cos
2
(x) – 2 cos(x) + 1 = 0, que estão contidas no intervalo [0, 2

], é igual a 
 
a) 2

. 
b) 3

. 
c) 4

. 
d) 5

. 
e) 6

. 
 
Questão 35 - (UEFS BA/2014) O número de soluções da equação sen 2x = cot x no intervalo 0  x  2 é 
 
a) 0 
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9 
 
b) 1 
c) 2 
d) 4 
e) 6 
 
Questão 36 - (FUVEST SP/2012) O número real x, com 0 < x < , satisfaz a equação 
 
log3(1 – cosx) + log3(1 + cosx) = –2. 
 
Então, cos2x + senx vale 
 
a) 
3
1
 
b) 
3
2
 
c) 
9
7
 
d) 
9
8
 
e) 
9
10
 
 
Questão 37 - (ITA SP/2012) Seja x  [0, 2] tal que sen(x) cos(x) = 
5
2
. Então, o produto e a soma de todos os 
possíveis valores de tg(x) são, respectivamente 
 
a) 1 e 0 
b) 1 e 
2
5
 
c) –1 e 0 
d) 1 e 5 
e) –1 e 
2
5

 
 
Questão 38 - (ITA SP/2012) A soma 



n
0k
)kcos(
, para todo   [0, 2], vale 
 
a) –cos() quando n é par. 
b) –sen() quando n é ímpar. 
c) cos() quando n é ímpar. 
d) sen() quando n é par. 
e) zero quando n é ímpar. 
 
Questão 39 - (FGV /2012) No intervalo [0, 4], a equação sen
3
 x – 2sen
2
 x – 5senx + 6 = 0 tem raízes cuja soma é: 
 
a) 2 
b) –2 
c) 6 
d) /2 
e) 3 
 
Questão 40 - (UDESC SC/2012) A soma de todos os valores de x[0,2] que satisfazem a equação cos
2
(2x) – 
sen
2
(x) = cos
6
(x) é igual a: 
 
a)  
b) 2 
c) 5 
d) 3 
e) 4 
Blog do Enem Matemática – Trigonometria: Equações e Inequações Trigonométricas. 
 
10 
 
 
GABARITO: 
 
1) Gab: A 
2) Gab: A 
3) Gab: D 
4) Gab: D 
5) Gab: A 
6) Gab: C 
7) Gab: E 
8) Gab: E 
9) Gab: E 
10) Gab: D 
11) Gab: B 
12) Gab: A 
13) Gab: D 
14) Gab: D 
15) Gab: E 
16) Gab: C 
17) Gab: A 
18) Gab: E 
19) Gab: A 
20) Gab: 26 
21) Gab: 14 
22)Gab: 39 
23) Gab: A 
24) Gab: B 
25) Gab: B 
26) Gab: E 
27) Gab: C 
28) Gab: A 
29) Gab: B 
30) Gab: C 
31) Gab: E 
32) Gab: C 
33) Gab: B 
34) Gab: D 
35) Gab: E 
36) Gab: E 
37) Gab: B 
38) Gab: E 
39) Gab: E 
40) Gab: C