ga P2 T2 2013

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P2 - Segunda Prova de Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear
Maicon Soˆnego - 27/05/2013 - T2 EPR/EHD
Nome: ............................................................ Matr´ıcula: ................... Curso: ...........
• A prova pode ser feita a la´pis.
• Coloque seu nome completo na folha de questo˜es e na folha de resoluc¸a˜o da prova.
• No final, entregue a folha de resoluc¸a˜o e a folha de questo˜es.
Questo˜es
1. (a) (10 pontos) Dados os pontos A = (m, 1, 0), B = (−3, 6, 0) e C = (1, 3,−1), determi-
nar m de modo que o triaˆngulo ABC seja retaˆmgulo em A.
(b) (10 pontos) Calcule a a´rea do triaˆngulo ABC.
2. (15 pontos) Prove que se U × V + V ×W +W ×U = ~0, enta˜o U , V e W sa˜o linearmente
dependentes.
3. (a) (10 pontos) Sabendo que as retas r1 e r2 sa˜o ortogonais, determine o valor de m.
r1 :

x = 2mt− 3
y = 1 + 3t
z = −4t
e r2 :
{
x = 2y − 1
z = −y + 4
(b) (10 pontos) Mostre que os planos pi1 : 3x + y − 3z − 5 = 0 e pi2 : x− y − z − 3 = 0
sa˜o transversais e encontre as equac¸o˜es parame´tricas da reta r = pi1 ∩ pi2.
4. (15 pontos) Encontre as equac¸o˜es na forma sime´trica da reta perpendicular comum a`s
retas reversas r : X = (2, 0, 1) + t(1, 1, 1) e s :
{
x+ y = 2
z = 0
.
5. (20 pontos) Encontre a equac¸a˜o vetorial da reta r que passa por P = (−1, 3, 1) e e´
perpendicular a` reta s :
{
x = 1 + 2z
y − 1 = 3z .
6. (20 pontos) Determine uma equac¸a˜o geral do plano pi que passa por P = (0, 1,−1) e e´
perpendicular a` reta r :

x = t
y = −t
z = t
. Determine tambe´m o ponto Q = pi ∩ r.
Boa prova!