Lista de Geometria Analítica

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Prof. Rafael Clarim - Geometria Analítica - Física / Matemática
Lista 4 - Planos
Questão 1: Determine as equações gerais e paramétricas dos planos α abaixo, que contém:
(a) O ponto A (1 , 2 , 1) e é paralelo aos vetores ~u = (1 , 2 , 3) e ~v = (2 , -1 , 1)
(b) O ponto A (1 , -2 , 1) e é paralelo aos vetores ~u = (1 , 1 , -1) e ~v = (1 , 1 , -2)
(c) O ponto A (1 , 0 , 2) e é paralelo ao plano β : 2x− y + 5z − 3 = 0 ;
(d) O ponto A (2 , -1 , 3) e é paralelo ao plano xz;
(e) Os pontos A (1 , 0 , 2) , B (1 , 2 , 3) e C (0 , 1 , 2);
(f) os pontos A (1 , 2 , 1) , B (2 , 3 , 1) e C (0 , -2 , 4);
(g) as retas r1 : P = (7 , 2 , 1) + t(3 , 2 , -2) e r2 : P = (1 , -2 , 5) + t(2 , -3 , 4) ;
(h) as retas r1 : P = (0 , -1 , -3) + t(2 , 1 , 1) e r2 : P = (-1 , 2 , 0) + t(4 , 2 , 2) .
Questão 2: Calcule o ângulo entre os planos:
(a) α : -y + 1 = 0 e β : y + z + 2 = 0 ; (b) α : 2x + y - 3z + 10 = 0 e β : 3x - y - 2z + 6 = 0 .
(c) α : x + 2y + z = 10 e β : 2x + y -z = -1 ; (d) α : 2x -2y = - 1 e β : 2x - y -z = 0 ;
(e) α : 3x + 2y - 6 = 0 e β : plano xOz ; (f) α : 3x + 2y - 6 = 0 e β : plano yOz ;
Questão 3: Sabendo que α é o plano que contém os pontos A (1 , 1 , 1) , B(1 , 0 , 1) e C (1 , 1 , 0) e
que β é o plano que contém os pontos P (0 , 0 , 1) e Q (0 , 0 , 0) e é paralelo ao vetor ~v = (1 , 0 , 0),
calcule o ângulo entre α e β
Questão 4: Determinar a e b, de modo que os planos α : ax + by + 4z - 1 = 0 e β : 3x - 5y -2z + 5 =
0 sejam paralelos:
Questão 5: Determinar m, de modo que os planos α : 2mx + 2y - z = 0 e β : 3x - my +2z -1 = 0
sejam perpendiculares:
Questão 6: Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto A(1 , 2 , 1) e que é ortogonal
ao plano α : x - y + 2z - 1 = 0
Questão 7: Considere a reta r dada como interseção dos planos α : x + y - z = 0 e β : 2x - y + 3z - 1
= 0 . Determine a equação geral do plano que contém o ponto A(1 , 0 , -1) e que contém a reta r.
Questão 8: Mostre que a reta r:
x−1
1 =
y+1
−2 , z = 0 está contida no plano pi : 2x+ y − 3z − 1 = 0:
1
Questão 9: Calcular os valores de m e n para que a reta r: y = 2x− 3, z = −x+ 4 esteja contida no
plano pi : nx+my − z − 2 = 0
Questão 10: Determine o ponto de interseção da reta r com o plano pi nos itens abaixo:
(a) r: [x = 2y - 3 =
2z−3
3 ] e pi : 2x− y + 3z − 9 = 0
(b) r: [x = 1 + t, y = 2t, z = 5] e pi : x = 3
(c) r: [x = t, y = 1 - 2t, z = -t] e pi : 2x+ y − z − 4 = 0
Questão 11: Calcule a distância entre o ponto P (5 , 2 , 3) e o plano α : 2x + y + z - 3 = 0.
Questão 12: Determine a equação do plano α que é paralelo ao plano β : 2x - y + 3z + 5 = 0 de
modo que d(α, β) = 3.
Questão 13: Determine a equação do plano α tal que d(α, β)= 3 e d(α, γ) =
√
11/11, onde β : x + y
+ 3z + 1 = 0 e γ : x + y + 3z - 3
√
11 = 0..
Questão 14: Calcule a distância entre os planos paralelos:
(a) α : 2x + 2y + 2z -5 = 0 e β : x+ y + z -3 = 0 ; (b) α : x - 2z + 1 = 0 e β : 3x - 6z -8 = 0 .
Questão 15: Calcule a distância do ponto P(2,-3,5) ao plano α : 3x + 2y + 6z -2 = 0:
2
Gabarito
Questão 1:
(a) x + y - z - 2 = 0 , [x = 1 + t + 2s, y = 2 + 2t - s, z = 1 + 3t + s]
(b) x - y - 3 = 0 , [x = 1 + t + s, y = -2 + t + s, z = 1 - t - 2s]
(c) 2x - y + 5z - 12 = 0 , [x = t, y = -12 + 2t + 5s, z = s];
(d) y + 1 = 0 , [x = t , y = -1, z = s]
(e) x + y - 2z + 3 = 0 , [x = 1 - s, y = 2t + s, z = 2 + t]
(f) x - y - z + 2 = 0 , [x = 1 + t - s, y = 2 + t - 4s, z = 1 + 3s]
(g) 2x - 16y - 13z + 31 = 0 , [x = 7 + 3t + 2s, y = 2 + 2t - 3s, z = 1 - 2t + 4s] ;
(h) y - z - 2 = 0 , [x = 2t - s, y = -1 + t + 3s, z = -3 + t + 3s] .
Questão 2:
(a)
pi
4 (b) arccos(11/14)
(c)
pi
3 (d)
pi
6
(e) arccos(2/
√
13) (f) arccos(3/
√
13)
Questão 3:
pi
2
Questão 4:a = -6 e b = 10
Questão 5: m =
1
2
Questão 6: P = (1 , 2 , 1) + t(1 , -1 , 2).
Questão 7: 3x + 2z - 1 = 0
Questão 9: m = -2 e n = 3
Questão 10:
(a) (1,2,3)
(b) (3,4,5)
(c) (3,-5,-3)
Questão 11: 2
√
6
Questão 12: α : 2x - y + 3z + (5 + 3
√
14) = 0 ou α : 2x - y + 3z + (5 - 3
√
14) = 0
3
Questão 13: α : x + y + 3z + (1 - 3
√
11) = 0 .
Questão 14:
(a)
√
3
6 ; (b)
11
3
√
5
.
Questão 15: d = 4 .
4