prova 3 2006.2 cálculo I area II CIn UFPE

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Gabarito da Terceira Prova de Ca´lculo I -2006.2
Primeira questa˜o
a) Integral definida de um polinoˆmio.
∫ 1
−1
3x7 − 10x4dx =
(
3
8
x8 − 10
5
x5
)∣∣∣∣1
−1
= −4.
b) Substituic¸a˜o. Fazendo u = tg(x), temos du = sec2(x)dx, e enta˜o∫ pi
4
0
etg(x) sec2(x)dx =
∫ 1
0
eudu = e− 1
c) Integrac¸a˜o por partes.
∫
x
1
2 ln xdx =
2
3
x
3
2 ln(x)−
∫
2
3
x
3
2
1
x
dx =
2
3
x
3
2 ln(x)− 2
3
∫
x
1
2dx
=
2
3
x
3
2 ln(x)− 4
9
x
3
2 + C
d) Substituic¸a˜o trigonome´trica. Fazendo x = 2sen(u), temos dx = 2 cos(u)du, e enta˜o∫
x2√
4− x2dx =
∫
4sen2(u)
2 cos(u)
2 cos(u)dxu = 4
∫
1− cos(2u)
2
dx
= 2
∫
1− cos(2u)dx = 2(u− 1
2
sen(2u)) + C
= 2arcsen(
x
2
)− x
2
√
4− x2 + C
e) Frac¸o˜es parciais. x2 − 7x+ 12 = 0→ x = 3 ou 4. Assim,
3
x2 − 7x+ 12 =
A
x− 3 +
B
x− 4 → A = −3 e B = 3.
Logo, ∫
3
x2 − 7x+ 12 dx =
∫ −3
x− 3dx+
∫
3
x− 4 dx =
= −3 ln |x− 3|+ 3 ln |x− 4|+ C
= 3 ln
|x− 4|
|x− 3| + C
Segunda questa˜o
a) Veja esboc¸o da regia˜o no final do gabarito.
b) Seja A a a´rea procurada. Enta˜o
A =
∫ 1
−1
(|x| − x2) dx = ∫ 0
−1
(|x| − x2) dx+ ∫ 1
0
(|x| − x2) dx
=
∫ 0
−1
(−x− x2) dx+ ∫ 1
0
(
x− x2) dx = −(x2
2
+
x3
3
)
∣∣∣∣0
−1
+ (
x
2
− x
3
3
)
∣∣∣∣1
0
=
1
6
+
1
6
=
1
3
Terceira questa˜o
Seja V o volume procurado. A a´rea da secc¸a˜o transversal perpendicular ao eixo
−−→
OX em
um ponto arbitra´rio x e´ dada por A(x) = piy2 = pi |x| = pix. Assim,
V =
∫ 3
1
A(x)dx =
∫ 3
1
pixdx = pi
x2
2
∣∣∣∣3
1
=
pi
2
(9− 1) = 4pi
Quarta questa˜o
Seja h(x) =
∫ x
1
et
3
dt e g(x) = x4. Enta˜o f(x) = h(g(x)). Pelo Teorema Fundamental do
Ca´lculo
h′(x) = ex
3
.
Portanto, pela regra da cadeia, temos
f ′(x) = g′(x)h′(g(x)) = 4x3e(x
4)3 = 4x3ex
12
Agora, em x = 3 obtemos f ′(3) = 4(3)3e3
12
= 108e3
12