Matemática Unicamp Francisco Gomes Capa

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Francisco Magalhães Gomes
IMECC – UNICAMP
Matemática
básica
Volume 1
Operações, equações, funções e sequências
2017
Sumário
Prefácio vii
Capítulo 1 Números reais 1
1.1 Conjuntos de números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Soma, subtração e multiplicação de números reais . . . . . . . . . . . . . 4
A precedência das operações e o uso de parênteses . . . . . . . . . . . . . 5
Propriedades da soma e multiplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Números negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Divisão e frações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
A divisão como um produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Soma e subtração de frações com denominadores iguais . . . . . . . . . . 15
Multiplicação de frações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Divisão de frações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Frações equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Soma e subtração de frações com denominadores diferentes . . . . . . . 23
Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4 Simplificação de frações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Divisores, múltiplos e números primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Máximo divisor comum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Simplificação de frações usando o mdc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Simplificação de frações durante o cálculo do produto . . . . . . . . . . . 34
Mínimo múltiplo comum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
O uso do mmc na soma e subtração de frações . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.5 A reta real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.6 Razões e taxas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Razão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Taxa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.7 Porcentagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
Crescimento e decrescimento percentual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.8 Potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Expoentes negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Simplificação de expressões com potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Notação científica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Operações com números em notação científica . . . . . . . . . . . . . . . 73
1.9 Raízes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Quadrados perfeitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Raiz enésima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Propriedades das raízes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Raízes como potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Racionalização de denominadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
i
ii Sumário
1.10 Unidades de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Mudança de unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Unidades derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Medidas imperiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Unidades de armazenamento de dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Operações com horas, minutos e segundos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Capítulo 2 Equações e inequações 107
2.1 Equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Solução de equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Formas abreviadas de aplicação das propriedades das equações . . . . . 112
2.2 Proporções e a regra de três . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Grandezas diretamente proporcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Grandezas inversamente proporcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Regra de três para grandezas diretamente proporcionais . . . . . . . . . 117
Regra de três para grandezas inversamente proporcionais . . . . . . . . . 121
Problemas complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
2.3 Regra de três composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
2.4 Equações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Resolução de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
Resolução de problemas com o uso de equações lineares . . . . . . . . . . 137
2.5 Sistemas de equações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
O método da substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
2.6 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
União e interseção de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
2.7 Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
União e interseção de intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
2.8 Inequações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
Inequações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Resolução de problemas com o uso de inequações lineares . . . . . . . . 174
2.9 Polinômios e expressões algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
Soma e subtração de expressões algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
Produto de expressões algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
Produtos notáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
Fatoração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
Reconhecendo produtos notáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
2.10 Equações quadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Equações com polinômios na forma fatorada . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Equações com c = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
Equações com b = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
Equações com todos os coeficientes não nulos . . . . . . . . . . . . . . . . 195
2.11 Inequações quadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
Conversão de um polinômio quadrático à forma fatorada . . . . . . . . . 202
Solução de inequações do segundo grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
2.12 Equações racionais e irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
Domínio de uma expressão algébrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
Operações com expressões fracionárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
Equações racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
Equações irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
2.13 Inequações racionais e irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Inequações racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Inequações irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
2.14 Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
Distância na reta real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
Equações com valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
Inequações modulares . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
Seção Sumário iii
Capítulo 3 Funções 255
3.1 Coordenadas no plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
Regiões do plano Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
3.2 Equações no plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
Interceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
3.3 Solução gráfica de equações e inequações em uma variável . . . . . . . . 272
Inequações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
3.4 Retas no plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
Inclinação de uma reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
Equação da reta a partir da inclinação e do intercepto-y . . . . . . . . . 283
Equação da reta a partir da inclinação e de um ponto . . . . . . . . . . . 284
Equação da reta que passa por dois pontos conhecidos . . . . . . . . . . 285
Retas horizontais e retas verticais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
Traçado do gráfico de equações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
3.5 Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
Definição de função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
Domínio e imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
Gráficos de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
3.6 Obtenção de informações a partir do gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
Valor da função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
Domínio e conjunto imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
Zeros da função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
Intervalos de crescimento e decrescimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
Máximos e mínimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
Simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
3.7 Funções usuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
Função linear e função afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
Função potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
Função raiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
Funções recíprocas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
Funções definidas por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
Função valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
3.8 Transformação de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
Deslocamento vertical e horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
Reflexão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
Esticamento e encolhimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
3.9 Combinação e composição de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
Composição de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
Erros a evitar na manipulação de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
Capítulo 4 Funções polinomiais 363
4.1 Funções quadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
Gráfico das funções quadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
Forma canônica da função quadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
Ponto de máximo ou de mínimo de uma função quadrática . . . . . . . . 369
Inequações quadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
4.2 Divisão de polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
Algoritmo de Ruffini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
Teorema do resto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
4.3 Zeros reais de funções polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
Fatorações sucessivas usando a divisão de polinômios . . . . . . . . . . . 393
Número de zeros reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
Determinação aproximada de zeros de funções polinomiais . . . . . . . . 399
Inequações polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
iv Sumário
4.4 Gráficos de funções polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
Continuidade e suavidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
Comportamento extremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411
Máximos e mínimos locais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
4.5 Números complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
Raiz quadrada de números negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
Número complexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
Soma e subtração de números complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
Multiplicação e divisão de números complexos . . . . . . . . . . . . . . . 426
4.6 Zeros complexos de funções polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
Teorema fundamental da álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
Multiplicidade de zeros e pares conjugados . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
4.7 Ajuste de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
Coeficiente de determinação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
Ajuste de curva polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442
Capítulo 5 Funções exponenciais e logarítmicas 449
5.1 Função inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
Gráfico da função inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
Funções injetoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452
Definição de função inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456
Inversa da função inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 458
5.2 Função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
Gráfico da função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
Transformações da função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
Aplicação da função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
5.3 Função logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
Operações com logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
Logaritmos usuais e mudança de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
Gráfico da função logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483
Transformações e composições da função logarítmica . . . . . . . . . . . 485
5.4 Equações exponenciais e logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490
Expansão e contração de expressões logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . 490
Equações exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
Equações logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496
Erros a evitar na manipulação de logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . 501
5.5 Inequações exponenciais e logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504
Inequações exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505
Inequações logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508
5.6 Problemas com funções exponenciais e logarítmicas . . . . . . . . . . . . 512
Gráficos em escala logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 518
5.7 Novos ajustes de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524
Ajuste com uma função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525
Ajuste com uma função potência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526
Linearização do ajuste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527
Capítulo 6 Sequências e progressões 535
6.1 Sequências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535
Sequências definidas recursivamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538
Determinação do termo geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540
6.2 Somatórios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543
Propriedades do somatório . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545
6.3 Progressões aritméticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551
Soma dos termos de uma progressão aritmética . . . . . . . . . . . . . . . 556
6.4 Progressões geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563
Seção Sumário v
Soma dos termos de uma progressão geométrica . . . . . . . . . . . . . . 569
Séries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571
Séries geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572
6.5 Aplicações financeiras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579
Valor futuro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579
Valor presente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582
Valor futuro de um investimento constante mensal . . . . . . . . . . . . . 583
Valor presente de prestações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586
Índice Remissivo 593
Prefácio
Os cursos de engenharia e de ciências exatas das universidades brasileiras incluem,
em seus primeiros semestres, disciplinas de cálculo, equações diferenciais, geometria
analítica e álgebra linear. Além disso, os currículos de muitos cursos superiores de
ciências humanas e biológicas possuem alguma disciplina básica de matemática, com
tópicos selecionados de cálculo e álgebra.
Ao contrário do que acontece em outras áreas do conhecimento, para obter um
bom desempenho nas disciplinas iniciais de matemática dos cursos universitários, os
estudantes precisam ter uma base sólida em tópicos que vão das operações aritméticas
básicas às funções, e da geometria à trigonometria. Esse livro é fruto de cinco anos
do esforço para criar um texto adequado a essa preparação.
Além dos jovens que ingressam em cursos universitários, o público-alvo do livro
inclui pessoas que queiram empregar a matemática para analisar os dados, tabelas e
gráficos com os quais somos bombardeados todos os dias, ou que desejem criar seus
próprios modelos matemáticos. A intenção foi criar um texto com um caráter prático,
combinando aplicações com um grande número de exemplos de fixação das técnicas
de manipulação de expressões, equações e funções matemáticas.
O livro é composto por seis capítulos, que tratam de operações, equações, funções
e sequências. Cada capítulo é dividido em seções numeradas, as quais incluem um
bom número de exercícios, quase todos com resposta. Os capítulos estão encadeados,
de modo que o conteúdo do primeiro é essencial para a compreensão de todos os
demais. Portanto, recomenda-se que o leitor só deixe de ler uma seção se tiver certeza
de que domina seu conteúdo.
Em geral, os assuntos são abordados à medida que são necessários. Assim, por
exemplo, as funções inversas são introduzidas no capítulo sobre funções exponenciais
e logarítmicas, em lugar de fazerem parte do capítulo sobre funções em geral. Além
disso, embora as demonstrações formais tenham sido evitadas para que o livro fosse
acessível a um público mais amplo, os principais resultados matemáticos apresentados
são acompanhados de breves explicações e exemplos, com o propósito de permitir que
o leitor compreenda como foram obtidos.
Para auxiliar a leitura, foram incluídos comentários, explicações, referências, curi-
osidades e figuras à margem do texto. Observações e explicações breves são apresen-
tadas em azul. Comentários e dicas mais relevantes aparecem em caixas verdes. Já
as advertências são mostradas em caixas vermelhas. Os quadros com fundo amarelo
que aparecem ao longo do texto dão destaque a definições, propriedades e roteiros
de resolução de problemas, que servem de referência e podem sem consultados com
frequência pelo leitor.
Esse livro não cobre todos os tópicos de um curso de matemática básica. Um se-
gundo volume abordará geometria plana e espacial, trigonometria, matrizes, sistemas
lineares e geometria analítica, temas igualmente importantes na preparação para as
disciplinas de matemática dos cursos superiores.
Como mensagem final ao leitor, lembro que o nosso progresso pessoal e profissi-
onal se baseia no conhecimento, um ingrediente fundamental para que nos tornemos
verdadeiramente independentes. Isso é particularmente relevante quando se trata de
matemática, pois é nela que se fundamenta grande parte da ciência e das decisões que
viii Prefácio
nos afetam cotidianamente. Entretanto, “conhecer” não é sinônimo de “decorar”. Em
lugar de decorar como resolver um problema específico, deve-se tentar compreender
completamente seu enunciado e a lógica envolvida em sua resolução. E não basta
acompanhar a resolução impressa no livro. Para dominar um tópico é preciso pôr em
prática o que se lê, pois é só com a experiência que se aprende como lidar com as
sutilezas dos problemas e que se adquire intuição matemática. E se um caminho não
der frutos, deve-se tentar outros, uma vez que não há satisfação maior do que aquela
decorrente da percepção de que se é capaz de superar as dificuldades, ainda que estas
pareçam pequenas.
Boa leitura!
Francisco A. M. Gomes