Exercicios gerais prova 1 L2 (João Lazzarin-UFSM)

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UFSM - Telecomunicações - Lazzarin - Lista 2 …nal.
1. Determinar a, de modo que o ângulo A^ do triânguloABC, seja 60o. Dados: A(1; 0; 2),B(3; 1; 3) e C(a+1;�2; 3). R
:–1 ou 5/13.
2. Dados os pontos A(4; 0; 1); B(5; 1; 3); C(3; 2; 5) e D(2; 1; 3). Determine:
(a) se eles formam alguma …gura. Em caso a…rmativo, qual?
(b) O ângulo entre as retas paralelas aos vetores
��!
BD e
�!
AC .
RESP: a) Paralelogramo b)10203604400:
3. Os vetores �!a e �!b formam um ângulo de 150o sabe-se que jj�!a jj = 2 e
�������!b ������ = 3. Calcule �������!a +�!b ������ ; �������!a ��!b ������ ; ������3�!a + 5�!b ������
e
������3�!a � 4�!b ������ :
4. Determinar o valor(es) de x para que os vetores 3
�!
i + x
�!
j + 2x
�!
k e x
�!
i ��!j + x�!k sejam ortogonais.
5. Na …gura temos um cubo de lado L:
Calcule o produto escalar entre:
1. (a)
�!
AE e
��!
GB;
(b)
�!
AE e
��!
AD;
(c)
��!
AH e
�!
AG;
(d)
��!
BH e
�!
AF:
6. Um veleiro deixa o porto navegando 70km em direção leste. Em seguida, para atingir seu destino, navega mais 100km na
direção nordeste. Desprezando a curvatura da terra e admitindo que todos os deslocamentos são coplanares, determine o
deslocamento total do veleiro em relação ao porto de origem.
7. Qual a relação entre os vetores da …gura abaixo:
(a)
��!
AB +
��!
BC +
��!
DC +
��!
AD =
�!
0 ; (b)
��!
AB +
��!
BC = ���!DC +��!DA; (c) ��!AB ���!CD = ��!DA+��!BC; (d) ��!AB ���!CB ���!DC +��!DA = �!0 :
8. Em cada item, encontre as coordenadas do vetor na base indicada. Esboce gra…camente estes vetores.
(a)
��!
AB +
��!
BC na base canônica, onde A(1; 3); B(�2; 4) e C(�2;�6).
(b)
��!
AB +
��!
BC na base � = f�!i +�!j ,�!i ��!j g onde A(1; 3); B(�2; 4) e C(�2;�6).
(c)
��!
AB +
��!
BC na base � = f2�!i + 3�!j ,�!i � 3�!j g onde A(1; 3); B(�2; 4) e C(�2;�6).
1
(d)
��!
AB ���!BC na base canônica, onde A(1; 3; 1); B(�2; 4; 3) e C(�2;�6; 4).
(e)
��!
AB ���!BC na base � = f�!i +�!j +�!k ,�!i ��!j ;�!i ��!k g onde A(1; 3; 1); B(�2; 4; 3) e C(�2;�6; 4).
9. Encontre um vetor �!u tal que � seja uma base ortogonal: (c indica a base canônica)
(a) f(1; 2)c;�!u g;
(b) f(1; 2; 1)c; (�2; 0; 2)c;�!u g;
(c) � = f�!i +�!j +�!k ;�!i ��!j ;�!u g:
10. Determine o vetor �!w do espaço tal que �!w seja ortogonal ao eixo Y e �!u = �!w ��!v , onde �!u = (1; 1;�1)c e �!v = (2;�1; 1)c:
11. Determine a distância do ponto P (5; 1; 2) a reta r que passa pelos pontos A(3; 1; 3) e B(4;�1; 1). R :
p
29
3
12. Determine o valor de a para que a área do paralelogramo determinado por �!u = (2; 1;�1)c e �!v = (1;�1; a)c seja
p
62.
R: a = 3 ou a = � 175
13. Encontre um vetor ortogonal ao plano determinado pelos pontos P;Q e R:
(a) P (3; 0; 0); Q(0; 3; 0) e R(0; 0; 2);
(b) P (2; 3; 0); Q(0; 2; 1) e R(2; 0; 2). R: a)(2; 2; 3)c; b)(1; 4; 6)c:
14. Determine z sabendo queA(2; 0; 0); B(0; 2; 0) e C(0; 0; z) são vértices de um triângulo de área 6. R:
4 ou �4.
15. Veri…que que os vetores �!u = (2;�1; 1);�!v = (1; 0;�1) e �!w = (2;�1; 4) são co-planares.
16. Veri…que que os pontos A(1; 2; 4); B(�1; 0; 2); C(0; 2; 2) e D(�2; 1; 3) estão no mesmo plano.
17. Qual o volume do cubo determinado pelos vetores
�!
i ;
�!
j ;
�!
k ? R. 1.
18. Determine o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores �!u = 3�!i ��!j +4�!k ; �!v = 2�!i +�!k e �!w = �2�!i +�!j +5�!k .
R: 17.
19. Calcule o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores �!v1 = (0;�1; 2);�!v2 = (�4; 2;�1) e�!
v3 = (3;m;�2) seja 33. R: m = 4 ou m = � 174 .
2