10. Justifica que, de todos los cuadrados inscritos en un cuadrado de lado L, el que tiene menor área es el que tiene sus vértices en los puntos ...

10. Justifica que, de todos los cuadrados inscritos en un cuadrado de lado L, el que tiene menor área es el que tiene sus vértices en los puntos medios del cuadrado inicial.

Solución: Llamando x a la distancia entre los vértices de ambos cuadrados, aparecen triángulos rectángulos con catetos x y L− x, y podemos calcular el área del cuadrado inscrito de dos formas:
Como el área de un cuadrado cuyo lado es la hipotenusa de esos triángulos, de modo que el lado vale
√ x2 + (L− x)2 = √ L2 − 2Lx+ 2x2 y el área vale por tanto L2 − 2Lx+ 2x2.
O como el área del cuadrado grande (L2) menos el área de los 4 triángulos, que vale 4 · 12 x(L− x), lo que da en total L2 − 2x(L− x) = L2 − 2Lx+ 2x2.
La derivada del área es −2L+ 4x y se anula cuando x = L/2, luego el punto cŕıtico se alcanza en el punto medio del cuadrado inicial, y es un mı́nimo pues la derivada segunda es positiva (vale 4).

Álgebra Vetorial e Geometria Analítica

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Eusebio Valdez

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A justificativa de que o quadrado inscrito no quadrado de lado L, com vértices nos pontos médios do quadrado inicial, possui a menor área pode ser feita da seguinte forma: Podemos calcular a área do quadrado inscrito de duas maneiras: 1. Como a área de um quadrado cujo lado é a hipotenusa dos triângulos retângulos formados pelos catetos x e L - x. Portanto, o lado do quadrado inscrito é dado por √(x^2 + (L - x)^2) = √(L^2 - 2Lx + 2x^2), e a área é dada por L^2 - 2Lx + 2x^2. 2. Como a área do quadrado maior (L^2) menos a área dos 4 triângulos, que é igual a 4 * 1/2 * x * (L - x), resultando em L^2 - 2x(L - x) = L^2 - 2Lx + 2x^2. A derivada da área em relação a x é -2L + 4x, que se anula quando x = L/2. Portanto, o ponto crítico é alcançado no ponto médio do quadrado inicial, e é um mínimo, pois a segunda derivada é positiva (vale 4). Dessa forma, podemos concluir que o quadrado inscrito com vértices nos pontos médios do quadrado inicial possui a menor área.