[Resumo] - INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE - Cálculo
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[Resumo] - INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE - Cálculo


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- RESUMÃO - 
INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE 
(Cálculo) 
Formulário, Dicas e Macetes para a Prova 
 
www.respondeai.com.br 
 
 
1 
 
 
 
Integrais de Superfície \u2013 Caso Escalar 
Da mesma forma que, nas integrais duplas, nós \u201csomamos\u201d os valores de uma função 
\ud835\udc53(\ud835\udc65, \ud835\udc66, \ud835\udc67) em áreas planas \ud835\udc51\ud835\udc34 = \ud835\udc51\ud835\udc65\ud835\udc51\ud835\udc66, podemos fazer algo semelhante quando temos 
àreas não planas, superfícies no espaço. 
A integral de uma função \ud835\udc53 escalar ao longo de uma superfície \ud835\udc46 é calculada pela 
seguinte fórmula: 
\u222c\ud835\udc53\ud835\udc51\ud835\udc46
 
\ud835\udc46
= \u222c \ud835\udc53(\ud835\udf11(\ud835\udc62, \ud835\udc63)) \u2016
\ud835\udf15\ud835\udf11
\ud835\udf15\ud835\udc62
×
\ud835\udf15\ud835\udf11
\ud835\udf15\ud835\udc63
\u2016
 
\ud835\udc37
\ud835\udc51\ud835\udc62\ud835\udc51\ud835\udc63 
Onde: \ud835\udf11(\ud835\udc62, \ud835\udc63) é a parametrização de \ud835\udc46, \ud835\udc37 é o domínio dos parâmetros \ud835\udc62 e \ud835\udc63, e 
\ud835\udc53(\ud835\udf11(\ud835\udc62, \ud835\udc63)) é o campo \ud835\udc53(\ud835\udc65, \ud835\udc66, \ud835\udc67) escrito em função da parametrização de \ud835\udc46. 
OBS: Se você não se lembra muito bem de como parametrizar superfícies, dá uma 
olhada na revisão que fizemos no final do resumo! =) 
 
 
 
 
 
 
\u2018 
 
 
 
 
 
 
 
 
Passo a passo 
Integrais de superfície \u2013 caso escalar 
1. Parametrizar \ud835\udc46 como \ud835\udf11(\ud835\udc62, \ud835\udc63), encontrando \ud835\udc37; 
2. Calcular as derivadas parciais 
\ud835\udf15\ud835\udf11
\ud835\udf15\ud835\udc62
 e 
\ud835\udf15\ud835\udf11
\ud835\udf15\ud835\udc63
; 
3. Calcular a normal à superfície \ufffd\u20d7\u20d7\ufffd (\ud835\udc62, \ud835\udc63) =
\ud835\udf15\ud835\udf11
\ud835\udf15\ud835\udc62
×
\ud835\udf15\ud835\udf11
\ud835\udf15\ud835\udc63
; 
4. Tirar o módulo desse vetor: \u2016\ufffd\u20d7\u20d7\ufffd (\ud835\udc62, \ud835\udc63)\u2016 = \u2016
\ud835\udf15\ud835\udf11
\ud835\udf15\ud835\udc62
×
\ud835\udf15\ud835\udf11
\ud835\udf15\ud835\udc63
\u2016; 
5. Montar a integral usando a fórmula que demos lá em cima, 
trazendo os valores encontrados nos passos anteriores; 
6. Integrar! 
\ud835\udc34(\ud835\udc46) = \u222c\ud835\udc51\ud835\udc46
 
\ud835\udc46
= \u222c \u2016
\ud835\udf15\ud835\udf11
\ud835\udf15\ud835\udc62
×
\ud835\udf15\ud835\udf11
\ud835\udf15\ud835\udc63
\u2016
 
\ud835\udc37
\ud835\udc51\ud835\udc62\ud835\udc51\ud835\udc63 
Área de uma 
superfície 
A área de uma superfície \ud835\udc46 é: 
\ud835\udc40 = \u222c\ud835\udeff(\ud835\udc65, \ud835\udc66, \ud835\udc67)\ud835\udc51\ud835\udc46
 
\ud835\udc46
= \u222c \ud835\udeff(\ud835\udf11(\ud835\udc62, \ud835\udc63)) \u2016
\ud835\udf15\ud835\udf11
\ud835\udf15\ud835\udc62
×
\ud835\udf15\ud835\udf11
\ud835\udf15\ud835\udc63
\u2016
 
\ud835\udc37
\ud835\udc51\ud835\udc62\ud835\udc51\ud835\udc63 
Massa de uma superfície 
Sendo \ud835\udeff a densidade de \ud835\udc46, sua massa é: 
 
2 
 
 
 
Integrais de Superfície \u2013 Caso Vetorial 
Para calcular a integral de superfície de um campo vetorial \ud835\udc39 ao longo de uma 
superfície \ud835\udc46, usamos a seguinte fórmula: 
\u222c\ud835\udc39 . n\u20d7 
 
\ud835\udc46
\ud835\udc51\ud835\udc46 = \u222c\ud835\udc39 (\ud835\udf11(\ud835\udc62, \ud835\udc63))
 
\ud835\udc37
. (
\ud835\udf15\ud835\udf11
\ud835\udf15\ud835\udc62
×
\ud835\udf15\ud835\udf11
\ud835\udf15\ud835\udc63
)\ud835\udc51\ud835\udc62\ud835\udc51\ud835\udc63 
Basicamente, a diferença com o que acabamos de ver é que não tiramos o módulo da 
normal à superfície. 
Por esse motivo, a orientação dada à superfície importa agora. Temos que lembrar que 
existem dois campo de vetores normais à \ud835\udc46: 
\ufffd\u20d7\u20d7\ufffd (\ud835\udc62, \ud835\udc63) =
\ud835\udf15\ud835\udf11
\ud835\udf15\ud835\udc62
×
\ud835\udf15\ud835\udf11
\ud835\udf15\ud835\udc63
 \ud835\udc52 \ufffd\u20d7\u20d7\ufffd (\ud835\udc62, \ud835\udc63) =
\ud835\udf15\ud835\udf11
\ud835\udf15\ud835\udc63
×
\ud835\udf15\ud835\udf11
\ud835\udf15\ud835\udc62
 
Em geral, o problema vai nos dizer a orientação que devemos tomar. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Passo a passo 
Integrais de superfície \u2013 caso vetorial 
1. Parametrizar \ud835\udc46 como \ud835\udf11(\ud835\udc62, \ud835\udc63), encontrando \ud835\udc37; 
2. Calcular as derivadas parciais 
\ud835\udf15\ud835\udf11
\ud835\udf15\ud835\udc62
 e 
\ud835\udf15\ud835\udf11
\ud835\udf15\ud835\udc63
; 
3. Calcular a normal à superfície \ufffd\u20d7\u20d7\ufffd (\ud835\udc62, \ud835\udc63) =
\ud835\udf15\ud835\udf11
\ud835\udf15\ud835\udc62
×
\ud835\udf15\ud835\udf11
\ud835\udf15\ud835\udc63
 e verificar 
a orientação pedida pelo problema; caso seja a contrária, 
escolher como normal o vetor oposto, trocando o sinal de 
\ufffd\u20d7\u20d7\ufffd (\ud835\udc62, \ud835\udc63); 
4. Montar a integral usando a fórmula que demos lá em cima, 
trazendo os valores encontrados nos passos anteriores; 
5. Fazer o produto escalar \ud835\udc39 (\ud835\udf11(\ud835\udc62, \ud835\udc63)). \ufffd\u20d7\u20d7\ufffd (\ud835\udc62, \ud835\udc63); 
6. Integrar! 
\u3a6 = \u222c\ud835\udc39 . n\u20d7 
 
\ud835\udc46
\ud835\udc51\ud835\udc46 
Fluxo 
O fluxo de um campo \ud835\udc39 sobre uma superfície \ud835\udc46 é: 
 
3 
 
 
 
Teorema de Stokes 
O Teorema de Stokes vai nos dar uma relação entre a integral de superfície sobre 
uma superfície \ud835\udc46 com a integral de linha sobre a sua fronteira, que é uma curva no 
espaço. 
Para aplicar Stokes, precisamos de uma curva orientada positivamente. Com base 
na orientação de \ud835\udc46, podemos orientar sua fronteira usando a Regra da Mão Direita. 
Fica atento a isso porque se você orientar ao errado vai dar treta. 
O conceito é o seguinte: quando seu polegar direito apontar no sentido da curva C, 
seus outros dedos, que vão \u201cfurar\u201d a superfície S devem estar no sentido de n\u20d7 . Dessa 
forma, a curva estará orientada positivamente. Por exemplo: 
 
 
Então, sendo \ud835\udc46 uma superfície orientada, se \ud835\udc39 = (\ud835\udc391, \ud835\udc392, \ud835\udc393) é um campo vetorial de 
classe \ud835\udc361 (sua primeira derivada é contínua) e se a fronteira de \ud835\udc46, \ud835\udf15\ud835\udc46 está orientada 
positivamente, pelo Teorema de Stokes: 
\u222c(\ud835\udc5f\ud835\udc5c\ud835\udc61(\ud835\udc39 ). \ufffd\u20d7\ufffd )\ud835\udc51\ud835\udc46
 
\ud835\udc46
= \u222e \ud835\udc39 . \ud835\udc51\ud835\udc5f
 
\ud835\udf15\ud835\udc46
 
Isso quer dizer que a integral de superfície do rotacional de \ud835\udc39 em \ud835\udc46 é igual à integral 
de linha de \ud835\udc39 na sua fronteira. 
Onde o rotacional de \ud835\udc39 é dado pelo produto vetorial: 
 
4 
 
 
 
\ud835\udc5f\ud835\udc5c\ud835\udc61(\ud835\udc39 ) = \u2207 × \ud835\udc39 = ||
\ud835\udc56 \ud835\udc57 \ud835\udc58
\ud835\udf15
\ud835\udf15\ud835\udc65
\ud835\udf15
\ud835\udf15\ud835\udc66
\ud835\udf15
\ud835\udf15\ud835\udc67
\ud835\udc391 \ud835\udc392 \ud835\udc393
|| = (
\ud835\udf15\ud835\udc393
\ud835\udf15\ud835\udc66
\u2212
\ud835\udf15\ud835\udc392
\ud835\udf15\ud835\udc67
,
\ud835\udf15\ud835\udc391
\ud835\udf15\ud835\udc67
\u2212
\ud835\udf15\ud835\udc393
\ud835\udf15\ud835\udc65
,
\ud835\udf15\ud835\udc392
\ud835\udf15\ud835\udc65
\u2212
\ud835\udf15\ud835\udc391
\ud835\udf15\ud835\udc66
) 
Lendo o teorema da direita para a esquerda: a integral de linha de \ud835\udc39 sobre uma curva 
\ud835\udf15\ud835\udc46 é igual à integral de superfície do rotacional de \ud835\udc39 sobre uma superfície que tenha 
\ud835\udf15\ud835\udc46 como fronteira. Isso quer dizer que podemo escolher \ud835\udc46 dada uma curva! Claro, a 
boa é escolher \ud835\udc46 de uma forma que simplifique o problema! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
\u222c(\ud835\udc5f\ud835\udc5c\ud835\udc61(\ud835\udc39 ). \ufffd\u20d7\ufffd )\ud835\udc51\ud835\udc60
 
\ud835\udc46
= \u222c \ud835\udc5f\ud835\udc5c\ud835\udc61 (\ud835\udc39 (\ud835\udf11(\ud835\udc62, \ud835\udc63))) . \ufffd\u20d7\u20d7\ufffd (\ud835\udc62, \ud835\udc63)
 
\ud835\udc37
\ud835\udc51\ud835\udc62\ud835\udc51\ud835\udc63 
Passo a passo 
Teorema de Stokes 
1. Ver que não conseguimos calcular a integral de linha pela definição 
e calcular \ud835\udc5f\ud835\udc5c\ud835\udc61(\ud835\udc39 ) (rezando para ser uma expressão tranquila); 
2. Escolher uma superfície \ud835\udc46 que tenha a curva do problema como 
fronteira (o campo \ud835\udc39 deve estar definido ao longo dela); 
3. Parametrizar \ud835\udc46 como \ud835\udf11(\ud835\udc62, \ud835\udc63), encontrando o domínio dos 
parâmetros \ud835\udc37; 
4. Calcular sua normal \ufffd\u20d7\u20d7\ufffd (\ud835\udc62, \ud835\udc63) =
\ud835\udf15\ud835\udf11
\ud835\udf15\ud835\udc62
×
\ud835\udf15\ud835\udf11
\ud835\udf15\ud835\udc63
 e usar a Regra da Mão 
Direita para ver se a orientação está de acordo com a da curva; se 
não, trocar o sinal de \ufffd\u20d7\u20d7\ufffd (\ud835\udc62, \ud835\udc63); 
5. Montar a integral de superfície pela seguinte forma: 
Trazendo o que encontramos nos passos anteriores e escrevendo 
\ud835\udc5f\ud835\udc5c\ud835\udc61(\ud835\udc39 ) em função das variáveis da parametrização; 
6. Fazer o produto escalar \ud835\udc5f\ud835\udc5c\ud835\udc61 (\ud835\udc39 (\ud835\udf11(\ud835\udc62, \ud835\udc63))) . \ufffd\u20d7\u20d7\ufffd (\ud835\udc62, \ud835\udc63); 
7. Integrar! 
Hora do Bizú 
Pensamos em usar Stokes quando: 
\uf0d8 A curva da integral de linha é difícil de parametrizar 
\uf0d8 O campo \ud835\udc39 tem uma expressão bizarra 
 
5 
 
 
 
Teorema de Gauss (Teorema do 
Divergente) 
O Teorema de Gauss relaciona uma integral tripla sobre um volume \ud835\udc4a com uma 
integral de superfície sobre a sua fronteira, que chamamos de \ud835\udf15\ud835\udc4a. 
Novamente, precisamos nos preocupar com a orientação de \ud835\udc46: para uma superfície 
que limita um sólido estar orientada positivamente, seu vetor normal deve sempre 
apontar para fora do sólido. Por exemplo, temos essa esfera com uma parte oca: 
 
Assim, sendo \ud835\udf15\ud835\udc4a uma superfície orientada positivamente, fronteira de uma região 
sólida \ud835\udc4a, e \ud835\udc39 um campo vetorial que tenha derivadas parciais contínuas em \ud835\udc4a: 
\u222c \ud835\udc39 . \ufffd\u20d7\ufffd \ud835\udc51\ud835\udc60
 
\ud835\udf15\ud835\udc4a
= \u222d \ud835\udc51\ud835\udc56\ud835\udc63(\ud835\udc39 ) \ud835\udc51\ud835\udc49
 
\ud835\udc64
 
Onde o divergente de \ud835\udc39 = (\ud835\udc391, \ud835\udc392, \ud835\udc393) é dado por: 
\ud835\udc51\ud835\udc56\ud835\udc63(\ud835\udc39 ) = \u2207. \ud835\udc39 =
\ud835\udf15\ud835\udc391
\ud835\udf15\ud835\udc65
+ 
\ud835\udf15\ud835\udc392
\ud835\udf15\ud835\udc66
+
\ud835\udf15\ud835\udc393
\ud835\udf15\ud835\udc67
 
Em outras palavras, trocamos a integral de superfície por uma integral tripla do 
divergente do campo no sólido limitado por essa superfície. 
 
 
 
 
 
Hora do Bizú 
Pensamos em usar Gauss quando: 
\uf0d8 A superfície da integral é difícil de parametrizar 
\uf0d8 O campo tem uma expressão complicada 
\uf0d8 \ud835\udc46 é formada por várias superfícies 
 
6 
 
 
 
Se liga em duas coisas importantes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Relembrando as Principais Superfícies... 
Para resolver questões de integrais de superfícies, é bom a gente saber com que