Lista 1 de Cálculo 2

Prévia do material em texto

Ca´lculo II - 2017
Lista de Exerc´ıcios I
1) A figura abaixo representa o mapa topogra´fico de uma regia˜o montanhosa do munic´ıpio de Me-
adville, no estado da Pensilvaˆnia. Descreva e justifique, em termos gerais, qual e´ o melhor trajeto a pe´
para conectar o ponto A ao ponto B (ganho de elevac¸a˜o de 1200 pe´s, aprox. 400 metros).
2) A Torre do Diabo, localizada no estado do Wyoming, e´ um laco´lito colunar (massa de rochas ı´gneas
em forma de coluna) com 275 metros de altura. Fac¸a uma pesquisa de imagens sobre ela no Google e
compare com o mapa topogra´fico abaixo: voceˆ consegue perceber alguma relac¸a˜o?
3) Para cada uma das func¸o˜es abaixo, determine o conjunto de seu domı´nio D e esboce esse conjunto
no plano cartesiano:
a) f(x, y) = ln(x + y − 1) b) g(x, y) = 2x
y − x2 c) h(x, y) =
√
2y − x2 − y2
d) f(x, y) =
√
x− y ln(x + y) e) g(x, y) = √y +
√
25− x2 − y f) h(x, y) =
√
y − x
1− x2
4) Esboce as curvas de n´ıvel para os valores dados de k e, posteriormente, o gra´fico das seguintes
func¸o˜es (utilize, se julgar necessa´rio, algum software online):
a) f(x, y) =
1
x2 + y2
, k =
1
4
, 1, 9 b) m(x, y) = x + y2, k = −1, 0, 1 c) p(x, y) = y ex, k = −1, 0, 1
d) f(x, y) = (y − x)2, k = 0, 1, 4 e) f(x, y) = y + x, k = −2, 0, 2 f) f(x, y) =
√
y2 − x2, k = 0, 14 , 1
5) Utilize um software online para visualizar o gra´fico das func¸o˜es abaixo. Voceˆ saberia explicar o
porqueˆ do nome desses gra´ficos?
a) f(x, y) = x2 − y2 (sela)
b) f(x, y) = xy2 − x3 (sela do macaco)
c) f(x, y) = xy3 − x3y (sela do cachorro)
6) Justifique, em termos gerais, se as func¸o˜es de cada item abaixo seriam cont´ınuas ou descont´ınuas:
a) a temperatura T (h, v) em func¸a˜o da hora h do dia e da velocidade v do vento.
b) o consumo C(v, p) de combust´ıvel de um oˆnibus em func¸a˜o da velocidade instantaˆnea v e da
quantidade p de passageiros.
c) o custo da tarifa B(d, t) de um ta´xi em func¸a˜o da distaˆncia d percorrida e do tempo t gasto.
7) Em cada item abaixo, se o limite existir, determine-o; caso contra´rio, justifique por que ele na˜o
existe:
a) lim
(x,y)→(1,0)
ln
(
1 + y2
x2 + xy
)
b) lim
(x,y)→(0,0)
6x3y
2x4 + y4
c) lim
(x,y)→(0,0)
x4 − y4
x2 + y2
d) lim
(x,y)→(0,0)
xy√
x2 + y2
e) lim
(x,y)→(0,0)
x2yey
x4 + 2y2
f) lim
(x,y)→(0,0)
xy4
x2 + y8
8) Verifique se as func¸o˜es abaixo sa˜o cont´ınuas ou descont´ınuas:
a) f(x, y) =

6x3y
2x4 + y4
se (x, y) 6= (0, 0)
2 se (x, y) = (0, 0)
b) f(x, y) =

x4 − y4
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
c) f(x, y) =
{ xy
|x|+ |y| se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
d) f(x, y) =
{ xy
|x|+ |y| se (x, y) 6= (0, 0)
1 se (x, y) = (0, 0)