P1 2017.1 Solucao

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#ConhecimentoLiberta 
MAT.1260 
Álgebra Linear 1 
(P1 2017.1) 
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01 
Considere as retas em ℝ𝟑: 
 𝒓𝟏 = 𝟏, 𝟎, 𝟎 + 𝒕 𝟏, 𝟏, 𝟎 	
  𝒕 ∈ ℝ} 𝒓𝟐 = 𝟎,−𝟐, 𝟏 + 𝒕 𝟏, 𝟎, 𝟐 	
  𝒕 ∈ ℝ} 
 
A)   Encontre a equação cartesiana do plano 𝚷 que contém a reta 𝒓𝟏 
e o ponto 𝑷 = 𝟐,−𝟏, 𝟏 . 
 
Para encontrar a equação cartesiana de um plano são necessários: a normal do plano e um 
ponto pertencente ao plano. 
O ponto pertencente ao plano é facilmente encontrado, ele será o próprio ponto 𝑃 dado na 
questão. O desafio da questão é encontrar um jeito prático para encontrar a reta normal ao 
plano. Para isso, o melhor modo é desenhar os planos e retas envolvidos. 
 
 
DICA LIBER: Em problemas de retas e planos em que não se vê uma saída clara, o melhor modo 
é desenhar a situação e analisar com calma 
 
No desenho acima podemos ver que a reta vermelha representa a reta 𝒓𝟏, sendo o ponto 𝑨 = (𝟏, 𝟎, 𝟎) e 𝒖 = (𝟏, 𝟏, 𝟎) o vetor diretor da reta. 
No desenho também se vê o ponto 𝑷, que, como pedido, pertence ao plano. E além disso 
foi marcado o vetor 𝒗 = (𝟏, −𝟏, 𝟏) que liga os pontos 𝑨 e 𝑷. 
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Com isso temos dois vetores pertencentes ao plano, se fizermos o produto vetorial entre 
eles encontraremos a normal do plano. 
 
DICA LIBER: O produto vetorial sempre dá como resultado outro vetor, e este vetor é 
perpendicular aos dois primeiros. 
 𝑢	
  𝐱	
  𝑣	
   = 𝑑𝑒𝑡 𝑖 𝑗 𝑘1 1 01 −1 1 = (1, −1, −2) 
 
Com isso temos que a equação do plano é: 
 𝛱 = 𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = 𝑑 
 
Para encontrar o valor de d, basta substituir o ponto 𝑃 na equação 
 2 − −1 − 2 ∗ 1 = 𝑑 = 1 
 
Com isso temos como resposta final: 
 𝚷 = 𝐱 − 𝐲 − 𝟐𝐳 = 𝟏 
 
 
 
 
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B)   Calcule a distância entre as retas 𝒓𝟏 e 𝒓𝟐. 
 
Para o cálculo de distância entre retas, o primeiro passo é determinar um ponto genérico 
em ambas as retas e calcular o vetor que os conecta. Os pontos utilizados foram: 
 𝑃J = 1 + 𝑡, 𝑡, 0 	
  𝑃K = (𝑠, −2,1 + 2𝑠)	
  
O vetor que conecta esses pontos é obtido subtraindo P1 de P2: 
 𝑃K − 𝑃J = 𝑣 = (𝑠 − 1 − 𝑡, −2 − 𝑡, 1 + 2𝑠)	
  
 
Para esse caso, o modulo do vetor v seria igual a distância entre os pontos P2 e P1. Mas 
falta determinar os valores de 𝒔 e de 𝒕 para que a distância entre esses pontos seja a 
mesma distância entre as retas, para isso acontecer o vetor 𝒗 tem que ser perpendicular a 
ambas as retas (ou aos seus vetores diretores), ou seja: 
 𝑣	
  . 1,1,0 = 0	
  𝑣	
  . 1,0,2 = 0 
 
DICA LIBER: O produto escalar entre dois vetores sempre tem como resultado um número, e se 
ele for 0 os vetores são perpendiculares. 
 
Resolvendo o sistema: 
 𝑠 − 3 − 2𝑡 = 0	
  5𝑠 + 1 − 𝑡 = 0 
 
Temos como resultados: 
 𝑡 = −169 	
  𝑠 = −59	
  𝑃J = 79 , − 169 , 0 	
  𝑃K = −59 , −2, − 19 	
  𝑣 = 29 , − 29 , − 19 	
  
𝒗 = 𝟒𝟖𝟏 + 𝟒𝟖𝟏 + 𝟏𝟖𝟏 = 𝟏𝟑	
  
 
 
 
 
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C)   Determine a posição relativa entre as retas 𝒓𝟏 e 𝒓𝟐. 
 
A posição relativa entre duas retas pode ser uma entre quatro opções: 
Retas coincidentes: Nesse caso as duas tem o mesmo vetor diretor e tem um ponto em 
comum (as retas são iguais). 
Retas paralelas: Nesse caso elas tem o mesmo vetor diretor, mas nenhum ponto em 
comum. 
Retas concorrentes: Nesse caso elas tem vetores diretores diferentes, mas possuem um 
ponto em comum (as retas se cruzam). 
Retas reversas: Nesse caso elas tem vetores diretores diferentes e não possuem nenhum 
ponto em comum. 
 
Como vimos no item anterior, a distância entre as duas retas é maior do que zero. Então não 
existem nenhum ponto em comum entre elas, basta analisar os vetores diretores das retas 
para notar que eles não são paralelos, com isso podemos afirmar que; 
 
As retas são reversas 
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D)   Determine uma equação paramétrica da reta 𝒔 que liga os dois 
pontos mais próximos de 𝒓𝟏 e 𝒓𝟐, ou seja, a reta 𝒔 com as 
seguintes propriedades: 
 
(i)   𝒔 ⊥ 𝒓𝟏 
(ii)   𝒔 ⊥ 𝒓𝟐 
(iii)   𝒔 e 𝒓𝟏 são concorrentes 
(iv)   𝒔	
  e 𝒓𝟐 são concorrentes 
 
Todas as informações necessárias para resolver esta questão já foram calculadas no item B 
basta organizar os dados obtidos. O vetor diretor da reta em questão já foi calculado, é o 
próprio vetor 𝒗 = (𝟐, 𝟐, −𝟏), e para o ponto que passa pela reta basta escolher ou 𝑃J ou 𝑃K, 
no caso, escolhemos 𝑷𝟏 = (𝟕𝟗 , − 𝟏𝟔𝟗 , 𝟎), com isso temos: 
 𝒔 = 𝟕𝟗 ,−𝟏𝟔𝟗 , 𝟎 + 𝒕 𝟐, 𝟐, −𝟏 	
  𝒕 ∈ ℝ} 
 
 
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02 
Considere as retas de ℝ𝟐: 
 𝒓 → 𝒚 = 𝟏𝟒𝒙 − 𝟏	
  𝒔 → 𝒚 = −𝟏𝟑𝒙 + 𝟔 
 
A)  Determine um vetor ortogonal a reta 𝒓. 
 
O modo mais prático para calcular vetores ortogonais a retas no ℝ𝟐 é olhando para a 
equação cartesiana dela, no caso: 
 14 𝑥 − 𝑦 = 1 
 
DICA LIBER: Em ℝ𝒏 você sempre pode olhar para a equação cartesiana de um espaço de 
dimensão n-1 para chegar no vetor normal. Por exemplo, em ℝ𝟐isso serve para retas, em ℝ𝟑para 
planos. 
 
Com isso em mente, podemos afirmar que o vetor 𝒏 ortogonal a reta é : 
 𝒏 = 𝟏𝟒 ,−𝟏 	
  	
   	
  
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B)  Determine 𝒓	
   ∩ 	
  𝒔. 
 
Para encontrar a interseção entre as duas retas basta encontrar valores para x e y que 
satisfaçam ambas as equações das retas, para isso basta resolver o sistema abaixo: 
 14 𝑥 − 𝑦 = 1−13 𝑥 − 𝑦 = −6	
  𝑥 = 12	
  𝑦 = 2	
  𝒓 ∩ 𝒔 = {(𝟏𝟐, 𝟐)}	
  
 
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C)  O cosseno do ângulo entre as retas 𝒓 e	
  𝒔. 
 
Encontrar o ângulo entre duas retas é o mesmo que encontrar o ângulo entre os seus vetores 
diretores, e para isso usaremos uma propriedade do produto escalar entre dois vetores: 
 𝑢	
  . 𝑣 = 	
   𝑢 ∗ 𝑣 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝜃) 
 
DICA LIBER: É pela propriedade acima que o produto escalar entre dois vetores ortogonais da 
zero, pois o 𝒄𝒐𝒔 𝝅𝟐 = 𝟎. 
 
Basta encontrar os vetores diretores agora, para isso olharemos novamente as equações 
cartesianas das retas, pois se girarmos em 90º os vetores normais, obteremos os diretores: 
 14 𝑥 − 𝑦 = 1 𝑛J = 14 , −1 	
  𝑣J = 1, 14 	
  − 13 𝑥 − 𝑦 = −6	
  𝑛K = −13 , −1 	
  𝑣K = 1, − 13 	
  
 
DICA LIBER: Em ℝ𝟐 para rodar um vetor em 90º basta trocar as coordenadas de lugar e inverter 
o valor de ums delas! Por exemplo (𝒙, 𝒚) ⊥ (−𝒚, 𝒙) 
 
Agora basta resolver a equação inicial: 
 𝑣J. 𝑣K = 1 − 112 = 1112 
𝑣J = 1 + 116 = 1716 
𝑣K = 1 + 19 = 109 
𝒄𝒐𝒔 𝜽 = 𝟏𝟏𝟏𝟐𝟏𝟕𝟏𝟔 ∗ 𝟏𝟎𝟗 = 𝟏𝟏𝟏𝟐 ∗ 𝟏𝟐𝟏𝟕𝟎 = 𝟏𝟏𝟏𝟕𝟎 
 
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D)  Determine uma equação paramétrica da reta 𝒔’ que é a reflexão 
da reta 𝒔 com relação à reta 𝒓 
 
Para esse caso podemos utilizar a formula para reflexão de um vetor 𝒖 na direção 𝒗. A formula é 
a abaixo: 
 𝑅𝑒𝑓 𝑢 l = 2 ∗ 𝑃𝑟𝑜𝑗 𝑢 l − 𝑢 
 
Sendo 
 𝑃𝑟𝑜𝑗 𝑢 l = 𝑢. 𝑣𝑣. 𝑣 𝑣	
   
 
Para isso os vetores utilizados vão ser os diretores das retas que encontramos no item anterior. 
 𝑅𝑒𝑓 𝑣K ln = 2 ∗ 𝑣K. 𝑣J𝑣J. 𝑣J 𝑣K − 𝑣J = 2 ∗ 11121716 ∗ 1, 14 − 1, − 13 = 3751 , 3951 	
   
 
DICA LIBER: Não se assuste com valores grandes ou estranhos, eles são comuns na álgebra, 
principalmente em questões de espelhamentos e projeções 
 
Essa será a direção da reflexão da reta 𝑠 com relação a reta	
  𝑟, e como apenas estamos lidando com 
direções podemos multiplicar o vetor por 51 apenasdeixar o resultado visualmente mais 
agradável. Para finalizar falta apenas encontrar um ponto que pertença a reta, mas como sabemos 
que um ponto que não muda na reflexão é um ponto que pertence a reta pela qual estamos 
refletindo podemos afirmar que a interseção de	
  𝑟 e 𝑠	
  também pertence a 𝑠’, e esse ponto já foi 
calculado anteriormente então temos como resposta: 
 𝒔′ = 𝟏𝟐, 𝟐 + 𝒕 𝟑𝟕, 𝟑𝟗 	
  𝒕 ∈ ℝ} 
 
 
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03 
Decida se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Se a 
afirmação for verdadeira, apresente uma demonstração. Se a 
afirmação for falsa, exiba explicitamente um contraexemplo. 
 
A)  Se 𝑪	
   = 	
   {𝒖𝟏, 𝒖𝟐, . . . , 𝒖𝒎} é um conjunto de vetores de ℝ𝒎 que 
contém o vetor nulo então	
  𝑪 é um conjunto linearmente 
dependente. 
 
Um conjunto linearmente dependente é aquele em que algum vetor pode ser escrito como 
combinação linear dos outros vetores do conjunto, e o vetor nulo sempre pode ser escrito 
como zero vezes a soma de qualquer vetor. Por isso o vetor nulo sempre pode ser escrito 
como a combinação linear de quaisquer outros vetores, logo a afirmação é: 
 
Verdadeira 
 
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12 
 	
  
B)  Se 𝒖, 𝒗	
  e 𝒘 são vetores não nulos e tais que 𝒖	
  . 𝒗 = 𝒖	
  . 𝒘, então 𝒗 =𝒘. 
 
Isso pode se achar facilmente um contraexemplo utilizando vetores ortogonais, já que 
sabemos que o produto escalar entre eles é sempre igual a zero, basta escolher 3 vetores 
perpendiculares entre si e diferentes, um modo fácil de se fazer isso é trabalhando com 
vetores no ℝ𝟑, por exemplo: 
 𝑢 = (1,0,0) 𝑣 = (0,1,0) 𝑤 = (0,0,1) 
 
DICA LIBER: Tente sempre achar contraexemplos em em ℝ𝟐 ou em ℝ𝟑, geralmente dimensões 
maiores podem confundir os alunos. 
 
A afirmação é: 
 
Falsa 
 
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13 
C)  Se 𝒖 e 𝒗 são vetores tais que 𝒖	
  . 𝒗	
   = 	
  𝟎, então 𝒖 = 𝟎 ou 𝒗 = 𝟎. 
 
Como foi comentado no item anterior, o produto escalar entre dois vetores ortogonais é 
igual a zero, logo como contra exemplo basta usar: 
 𝑢 = (1,0) 𝑣 = (0,1) 
 
E podemos notar que a afirmação é : 
 
Falsa 
 
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D)  Se 𝒖 = (𝟏, 𝟎, 𝟎) e 𝒗 = (𝒂, 𝟏, 𝟎), então a área do paralelogramo 
formado por 𝒖 e 𝒗 é igual a 1 seja qual for o valor de 𝒂. 
 
Utilizando uma propriedade do produto vetorial podemos calcular áreas com facilidade, o modulo 
do produto vetorial entre dois vetores é igual a área do paralelogramo formada por eles, então: 
 Á𝑟𝑒𝑎 = 1,0,0 	
  x	
  (𝑎, 1,0) = 1 
 
DICA LIBER: Se fosse pedido a área do triangulo formado, seria a mesma ideia, mas a área seria a 
metade do modulo do produto vetorial. 
 
Com isso vemos que a afirmação é: 
 
Verdadeira 
 
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15 
 
E)  Se 𝒖, 𝒗 e 𝒘 são vetores não nulos de	
  ℝ𝟑 e tais que 𝒖	
  𝒙	
  𝒗	
   = 	
  𝒖	
  𝒙	
  𝒘, 
então 𝒗 = 𝒘 
 
Como vimos no exemplo anterior, o produto vetorial entre os vetores abaixo independe do valor 
de a: 
 𝑢 = (1,0,0) 𝑣 = (𝑎, 1,0) 
 
Então basta escolher dois vetores diferentes do tipo (𝑎, 1, 𝑜) que teremos três vetores diferentes, 
onde o produto vetorial entre dois deles será igual, podemos por exemplo escolher: 
 𝑢 = (1,0,0) 𝑣 = (0,1,0) 𝑤 = (1,1,0) 𝑢	
  x	
  𝑣 = 𝑢	
  x	
  𝑤 = (0,0,1) 
 
Podemos ver que a afirmação é: 
 
Falsa 
 
 
 
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16 
 
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