Transformações Lineares Planas e no Espaço

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Transformações Lineares Planas e no Espaço
Disciplina: Álgebra Linear e Cálculo Vetorial
Docente: Tamires dos Santos de Moura
2017
Sumário
1 Transformações Lineares Planas 1
1.1 Reflexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Refexão em torno do eixo dos x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Refexão em torno do eixo dos y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.3 Refexão na origem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.4 Refexão em torno da reta y = x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.5 Refexão em torno da reta y = −x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Dilatações e Contrações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Dilatação ou contração na direção do vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2 Dilatação ou contração na direção do eixo dos x . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.3 Dilatação ou contração na direção do eixo dos y . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Cisalhamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.1 Cisalhamento na direção do eixo dos x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.2 Cisalhamento na direção do eixo dos y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Rotação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Transformações Lineares no Espaço 8
2.1 Reflexões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.1 Refexões em relação aos planos coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.2 Refexões em relação aos eixos coordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.1.3 Refexão na origem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Rotações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Exemplos 11
4 Lista de Exercícios 17
2
Referências bibliográficas 20
Capítulo 1
Transformações Lineares Planas
1.1 Reflexões
1.1.1 Refexão em torno do eixo dos x
Essa transformação linear leva cada ponto (x, y) para sua ima-
gem (x,−y), simétrica em relação ao eixo dos x.
T: R2 → R2
(x, y) 7→ (x,−y) ou
T(x, y) = (x,−y)
sendo
[
1 0
0 −1
]
sua matriz canônica, isto é:
[
x
−y
]
=
[
1 0
0 −1
][
x
y
]
1.1.2 Refexão em torno do eixo dos y
Essa transformação linear leva cada ponto (x, y) para sua ima-
gem (−x, y), simétrica em relação ao eixo dos y.
T: R2 → R2
(x, y) 7→ (−x, y) ou[
x
y
]
7→
[
−x
y
]
=
[
−1 0
0 1
][
x
y
]
,
então, T(x, y) = (−x, y).
1
1.1.3 Refexão na origem
Essa transformação linear leva cada ponto (x, y) para sua ima-
gem (−x,−y), simétrica em relação à origem.
T: R2 → R2
(x, y) 7→ (−x,−y) ou[
x
y
]
7→
[
−x
−y
]
=
[
−1 0
0 −1
][
x
y
]
,
então, T(x, y) = (−x,−y).
1.1.4 Refexão em torno da reta y = x
Essa transformação linear leva cada ponto (x, y) para sua ima-
gem (y, x), simétrica em relação à reta y = x.
T: R2 → R2
(x, y) 7→ (y, x) ou[
x
y
]
7→
[
y
x
]
=
[
0 1
1 0
][
x
y
]
,
então, T(x, y) = (y, x).
1.1.5 Refexão em torno da reta y = −x
Essa transformação linear leva cada ponto (x, y) para sua ima-
gem (−y,−x), simétrica em relação à reta y = −x.
T: R2 → R2
(x, y) 7→ (−y,−x) ou[
x
y
]
7→
[
−y
−x
]
=
[
0 −1
−1 0
][
x
y
]
,
então, T(x, y) = (−y,−x).
1.2 Dilatações e Contrações
1.2.1 Dilatação ou contração na direção do vetor
T: R2 → R2
2
(x, y) 7→ α(x, y), α ∈ R ou[
x
y
]
7→ α
[
x
y
]
=
[
αx
αy
]
=
[
α 0
0 α
][
x
y
]
,
então, T(x, y) = (αx, αy).
Observações:
a) se |α| > 1, T dilata o vetor;
b) se |α| < 1, T contrai o vetor;
c) se α = 1, T é a identidade I;
d) se α < 0, T troca o sentido do vetor.
1.2.2 Dilatação ou contração na direção do eixo dos x
T: R2 → R2
(x, y) 7→ (αx, y), α > 0 ou[
x
y
]
7→
[
αx
y
]
=
[
α 0
0 1
][
x
y
]
, então, T(x, y) = (αx, y).
Observações:
a) se α > 1, T dilata o vetor;
b) se 0 < α < 1, T contrai o vetor;
c) se fizéssemos α = 0, teríamos (x, y) 7→ (0, y) e T seria a projeção ortogonal do plano sobre o eixo
dos y;
d) essa transformação é também chamada dilatação ou contração na direção Ox (ou horizontal) de
um fator α.
A figura abaixo sugere uma dilatação de fator α = 2 e uma contração de fator α = 1/2.
3
1.2.3 Dilatação ou contração na direção do eixo dos y
T: R2 → R2
(x, y) 7→ (x, αy), α > 0 ou[
x
y
]
7→
[
x
αy
]
=
[
1 0
0 α
][
x
y
]
, então, T(x, y) = (x, αy).
Observações:
a) se α > 1, T dilata o vetor;
b) se 0 < α < 1, T contrai o vetor;
c) se fizéssemos α = 0, teríamos (x, y) 7→ (x, 0) e T seria a projeção ortogonal do plano sobre o eixo
dos x;
d) essa transformação é também chamada dilatação ou contração na direção Oy (ou vertical) de um
fator α.
A figura abaixo sugere uma dilatação de fator α = 2 e uma contração de fator α = 1/2.
4
1.3 Cisalhamentos
1.3.1 Cisalhamento na direção do eixo dos x
T: R2 → R2
(x, y) 7→ (x+ αy, y) ou[
x
y
]
7→
[
x+ αy
y
]
=
[
1 α
0 1
][
x
y
]
, então, T(x, y) = (x+ αy, y).
O efeito do cisalhamento é transformar o retângulo OAPB no paralelogramo OAP’B’, de mesma
base e mesma altura. Cada ponto (x, y) se desloca paralelamente ao eixo dos x por uma quantia αy
até chegar na nova posição (x+αy, y), com exceção dos pontos do próprio eixo dos x, que permanecem
em sua posição, pois para eles y = 0. Com isso está explicado por que o retângulo e o paralelogramo
da figura têm a mesma base OA.
Esse cisalhamento é também chamado cisalhamento horizontal de fator α.
1.3.2 Cisalhamento na direção do eixo dos y
T: R2 → R2
5
(x, y) 7→ (x, y + αx) ou[
x
y
]
7→
[
x
y + αx
]
=
[
1 0
α 1
][
x
y
]
, então, T(x, y) = (x, y + αx).
Aqui, cada ponto (x, y) se desloca paralelamente ao eixo dos y por uma quantia αx até chegar
na nova posição (x, y+αx), com exceção dos pontos do próprio eixo dos y, que permanecem em sua
posição, pois para eles x = 0.
Esse cisalhamento é também chamado cisalhamento vertical de fator α.
1.4 Rotação
A rotação do plano em torno da origem (Figura a), que faz cada ponto descrever um ângulo θ,
determina uma transformação linear Tθ: R2 → R2 conforme as figuras abaixo:
(a) (b)
As imagens dos vetores ~e1 = (1, 0) e ~e2 = (0, 1) (Figura b) são:
T(~e1) = (cos θ, senθ)
T(~e2) = (− senθ, cos θ)
isto é:
T(~e1) = (cos θ)~e1 + ( senθ)~e2
T(~e2) = (− senθ)~e1 + (cos θ)~e2
Portanto, a matriz canônica da transformação Tθ é: [Tθ] =
[
cos θ − senθ
senθ cos θ
]
.
Essa matriz chama-se matriz de rotação de um ângulo θ, 0 6 θ 6 2pi, e é a matriz da transfor-
mação linear Tθ: R2 → R2, Tθ(x, y) = (x cos θ − y senθ, x senθ + y cos θ).
Se, por exemplo, desejarmos a imagem do vetor ~v = (4, 2) pela rotação de θ = pi/2, basta fazer:
[T (4, 2)] =
[
cospi/2 − senpi/2
senpi/2 cos pi/2
][
4
2
]
6
[T (4, 2)] =
[
0 −1
1 0
][
4
2
]
ou [T (4, 2)] =
[
−2
4
]
7
Capítulo 2
Transformações Lineares no Espaço
2.1 Reflexões
2.1.1 Refexões em relação aos planos coordenados
A reflexão em relação ao plano xOy é a transfor-
mação linear que leva cada ponto (x, y, z) na sua imagem
(x, y,−z), simétrica em relação ao plano xOy. Essa trans-
formação é definida por:
T: R3 → R3
(x, y, z) 7→ (x, y,−z) ou
x
y
z
 7→

x
y
−z
 =

1 0 0
0 1 0
0 0 −1


x
y
z,
então, T(x, y, z) = (x, y,−z).
As reflexões em relação aos planos xOz e yOz são trans-
formações lineares definidas por T(x, y, z) = (x,−y, z) e
T(x, y, z) = (−x, y, z), respectivamente. Portanto, suas matrizes canônicas são:
1 0 0
0 −1 0
0 0 1
 e

−1 0 0
0 1 0
0 0 1
, respectivamente.
2.1.2 Refexões em relação aos eixos coordenados
A reflexão em torno do eixo dos x é o operador linear que leva cada ponto (x, y, z) na sua
imagem (x,−y,−z), definido por:
8
T: R3 → R3
(x, y, z) 7→ (x,−y,−z) ou
x
y
z
 7→

x
−y
−z
 =

1 0 0
0 −1 0
0 0 −1


x
y
z
, então, T(x, y, z) = (x,−y,−z).
De forma análoga, T(x, y, z) = (−x, y,−z) e T(x, y, z) = (−x,−y, z) definem as reflexões em
relação aos eixos Oy e Oz, respectivamente. Portanto, suas matrizes canônicas são:
−1 0 0
0 1 0
0 0 −1
 e

−1 0 0
0 −1 0
0 0 1
, respectivamente.
2.1.3 Refexão na origem
A reflexão na origem é o operador linear que leva
cada ponto (x, y, z) na sua imagem (−x,−y,−z), definido
por:
T: R3 → R3
(x, y, z) 7→ (−x,−y,−z) ou
x
y
z
 7→

−x
−y
−z
 =

−1 0 0
0 −1 0
0 0 −1


x
y
z
,
então, T(x, y, z) = (−x,−y,−z).
9
2.2 Rotações
Dentre as rotações do espaço analisaremos a rotação
do espaço em torno do eixo dos z (conforme figura abaixo), que faz cada ponto descrever um ângulo
θ. Esse operador linear T: R3 → R3 é definido por: T(x, y, z) = (x cos θ − y senθ, x senθ + y cos θ, z)
e sua matriz canônica é:
[T ] =

cos θ − senθ 0
senθ cos θ 0
0 0 1
.
O ângulo θ corresponde ao ângulo central cujos lados
interceptam, na circunferência de centro em O’, um arco
de medida θ. Esse ângulo θ não é o ângulo α formado pelos
vetores ~v e T(~v).
10
Capítulo 3
Exemplos
1) Determinar a matriz da transformação linear de R2 → R2 que representa um cisalhamento por
um fator 2 na direção horizontal seguida de uma reflexão em torno do eixo dos y.
Solução:
O cisalhamento é da forma
[
x
y
]
7→
[
x+ αy
y
]
=
[
1 α
0 1
][
x
y
]
.
A reflexão é da forma
[
x
y
]
7→
[
−x
y
]
=
[
−1 0
0 1
][
x
y
]
.
Logo, o cisalhamento transforma o vetor (x, y) no vetor (x′, y′) dado por[
x′
y′
]
=
[
1 2
0 1
][
x
y
]
(1)
Em seguida o vetor (x′, y′) sofre uma reflexão em torno do eixo dos y se transformando no vetor
(x′′, y′′) dado por[
x′′
y′′
]
=
[
−1 0
0 1
][
x′
y′
]
(2)
Substituindo (1) em (2), temos:[
x′′
y′′
]
=
[
−1 0
0 1
][
1 2
0 1
][
x
y
]
ou
[
x′′
y′′
]
=
[
−1 −2
0 1
][
x
y
]
Portanto, a matriz
[
−1 −2
0 1
]
representa a transformação composta do cisalhamento com a re-
flexão.
Observemos que a matriz resultante é obtida pelo produto das matrizes que repre-
sentam as transformações, porém tomadas em ordem inversa. Esse fato continua válido
no caso de termos mais de duas transformações.
2) O plano sofre uma rotação de um ângulo θ. A seguir experimenta uma dilatação de fator 4
11
na direção Ox e, posteriormente, uma reflexão em torno da reta y = x. Qual a matriz que representa
a única transformação linear e que tem o mesmo efeito do conjunto das três transformações citadas?
Dê a expressão que considera essas três transformações.
Solução:
A matriz da rotação é da forma
[
cos θ − senθ
senθ cos θ
]
.
A matriz da dilatação por um fator α na direção Ox é da forma
[
α 0
0 1
]
.
A matriz da reflexão em torno da reta y = x é da forma
[
0 1
1 0
]
.
Logo, as matrizes
[
cos θ − senθ
senθ cos θ
]
,
[
4 0
0 1
]
e
[
0 1
1 0
]
representam, respectivamente, a rota-
ção, a dilatação e a reflexão dadas no exercício.
Portanto, a matriz que representa a composta das transformações dadas é:[
0 1
1 0
][
4 0
0 1
][
cos θ − senθ
senθ cos θ
]
=
[
senθ cos θ
4 cos θ −4 senθ
]
Logo, o vetor (x, y) se transforma no vetor (x′, y′) após as transformações acima. Então:[
x
y
]
7→
[
x′
y′
]
=
[
senθ cos θ
4 cos θ −4 senθ
][
x
y
]
ou T(x, y) = (x senθ + y cos θ, 4x cos θ − 4y senθ).
3) Os pontos A(2,−1), B(6, 1) e C(x, y) são vértices de um triângulo eqüilátero. Determinar o
vértice C, utilizando a matriz de rotação.
Solução:
A matriz da rotação é da forma
[
cos θ − senθ
senθ cos θ
]
.
Vamos observar a figura abaixo:
12
Pela figura vemos que se pode considerar o vetor
−→
AC como imagem do vetor
−→
AB pela rotação de 60◦
em torno de A (o triângulo sendo eqüilátero implica
−→
AB e
−→
AC terem comprimentos iguais):[−→
AC
]
= [T60◦ ]
[−→
AB
]
Mas:
−→
AC = C − A = (x− 2, y + 1) e −→AB = B − A = (4, 2)
[T60◦ ] =
[
cos 60◦ − sen60◦
sen60◦ cos 60◦
]
=
[
1
2
−
√
3
2√
3
2
1
2
]
Logo:[
x− 2
y + 1
]
=
[
1
2
−
√
3
2√
3
2
1
2
][
4
2
]
ou
[
x− 2
y + 1
]
=
[
2−√3
2
√
3 + 1
]
Pela condição de igualdade de matrizes, resulta:{
x− 2 = 2−√3
y + 1 = 2
√
3 + 1
ou
{
x = 4−√3
y = 2
√
3
Portanto, C(4−√3, 2√3).
O problema tem outra solução que seria obitda fazendo θ = −60◦ (a cargo do leitor).
4) Considere a transformação linear T: R2 → R2, definida por T(x, y) = (kx, y), ∀k ∈ R.
a) Escreva a transformação linear dada, usando a notação matricial.
Solução:[
x
y
]
7→
[
kx
y
]
=
[
k 0
0 1
][
x
y
]
b) Represente geometricamente o vetor ~u = (3, 2) e T(~u) para k = 2, k = 3 e k = 4. Descreva
o efeito geométrico.
Solução:
Para k = 2 temos T(3, 2) = (2(3), 2) = (6, 2)
Para k = 3 temos T(3, 2) = (3(3), 2) = (9, 2)
Para k = 4 temos T(3, 2) = (4(3), 2) = (12, 2)
Geometricamente:
13
Nos três casos (para k = 2, k = 3 e k = 4) ocorreu uma dilatação na direção do eixo dos x.
5) Considere a transformação linear T: R2 → R2, definida por T(x, y) = (x+ ky, y), ∀k ∈ R.
a) Escreva a transformação linear dada, usando a notação matricial.
Solução:[
x
y
]
7→
[
x+ ky
y
]
=
[
1 k
0 1
][
x
y
]
b) Represente geometricamente o vetor (3, 2) e T(3, 2) para k = 2. Descreva o efeito geométrico.
Solução:
Para k = 2 temos T(3, 2) = (3 + 2(2), 2) = (7, 2)
Geometricamente:
Nesse caso ocorreu um cisalhamento na direção do eixo dos x ou cisalhamento horizontal de fator 2.
O efeito do cisalhamento é transformar o retângulo OAPB no paralelogramo OAP’B’, de mesma base
e mesma altura. Cada ponto (x, y) se desloca paralelamente ao eixo dos x por uma quantia ky, nesse
caso 2y, até chegar na nova posição (x + ky, y), com exceção dos pontos do próprio eixo dos x, que
permanecem em sua posição, pois para eles y = 0. Com isso está explicado por que o retângulo e o
paralelogramo da figura têm a mesma base OA.
6) Considere a transformação linear T: R2 → R2, definida por T(x, y) = (x,−y).
a) Escreva a transformação linear dada, usando a notação matricial.
Solução:[
x
y
]
7→
[
x
−y
]
=
[
1 0
0 −1
][
x
y
]
b) Represente geometricamente o vetor (3, 2) e T(3, 2). Descreva o efeito geométrico.
Solução:
Temos T(3, 2) = (3,−2)
Geometricamente:
14
Nesse caso ocorreu uma reflexão em torno do eixo dos x.
7) O retângulo de vértices (1, 1), (3, 1), (3, 2) e (1, 2) sofre uma dilatação por um fator α = 3
na direção y.
a) Determine a matriz dessa transformação linear e dê a expressão de T: R2 → R2.
Solução:
Uma dilatação na direção y é do tipo
(x, y) 7→ (x, αy), α > 0 ou[
x
y
]
7→
[
x
αy
]
=
[
1 0
0 α
][
x
y
]
Nesse caso,[
x
y
]
7→
[
x
3y
]
=
[
1 0
0 3
][
x
y
]
então, T(x, y) = (x, 3y).
b) Esboce geometricamenteo retângulo dado e sua imagem após a transformação.
Solução:
Temos T(1, 1) = (1, 3(1)) = (1, 3)
Temos T(3, 1) = (3, 3(1)) = (3, 3)
15
Temos T(3, 2) = (3, 3(2)) = (3, 6)
Temos T(1, 2) = (1, 3(2)) = (1, 6)
Geometricamente:
8) Considere a transformação linear T: R2 → R2, definida por T(x, y) = (y, x).
a) Escreva a transformação linear dada, usando a notação matricial.
Solução:[
x
y
]
7→
[
y
x
]
=
[
0 1
1 0
][
x
y
]
b) Represente geometricamente o vetor (5, 3) e T(3, 5). Descreva o efeito geométrico.
Solução:
Temos T(5, 3) = (3, 5)
Geometricamente:
Nesse caso ocorreu uma reflexão em torno da reta y = x.
16
Capítulo 4
Lista de Exercícios
1) Use a matriz canônica da transformação linear T: R2 → R2 que leva um ponto (x, y) na sua
a) refexão em torno do eixo dos x
b) refexão em torno do eixo dos y
c) reflexão pela origem
d) reflexão em torno da reta y = x
e) reflexão em torno da reta y = −x
para em cada caso acima calcular T(4, 3). Confira suas respostas geometricamente esboçando os
vetores (4, 3) e T(4, 3) em cada caso.
2) Use a matriz canônica da transformação linear T: R2 → R2 que leva um ponto (x, y) na sua
a) dilatação por α = 2 na direção do vetor
b) dilatação por α = −2 na direção do vetor, com inversão do sentido
c) contração por α = 0.5 na direção do vetor
d) dilatação por α = 2 na direção x
e) contração por α = 0, 25 na direção x
f) projeção ortogonal sobre o eixo y
g) dilatação por α = 3 na direção y
h) contração por α = 0, 2 na direção y
i) projeção ortogonal sobre o eixo x
para em cada caso acima calcular T(5, 2). Confira suas respostas geometricamente esboçando os
vetores (5, 2) e T(5, 2) em cada caso.
3) Use a matriz canônica da transformação linear T: R2 → R2 que leva um ponto (x, y) na sua
a) cisalhamento por α = 5 na direção x
b) cisalhamento por α = 3 na direção y
para em cada caso acima calcular T(2, 1). Confira suas respostas geometricamente esboçando os
vetores (2, 1) e T(2, 1) em cada caso.
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4) Use a matriz canônica da transformação linear T: R3 → R3 que leva um ponto (x, y, z) na
sua
a) reflexão em torno do plano xy
b) reflexão em torno do plano xz
c) reflexão em torno do plano yz
d) reflexão em relação ao eixo dos x
e) reflexão em relação ao eixo dos y
f) reflexão em relação ao eixo dos z
g) reflexão na origem
para em cada caso acima calcular T(1, 1, 1). Confira suas respostas geometricamente esboçando os
vetores (1, 1, 1) e T(1, 1, 1) em cada caso.
5) Esboce a imagem do retângulo de vértices (0, 0), (1, 0), (1, 2) e (0, 2)
a) pela reflexão em torno do eixo x
b) pela reflexão em torno do eixo y
c) pela contração por α = 0, 25 na direção y
d) pela dilatação por α = 2 na direção x
e) pelo cisalhamento por α = 3 na direção x
f) pelo cisalhamento por α = 2 na direção y
Confira suas respostas geometricamente esboçando o retângulo inicial e os novos retângulos formados
em cada caso acima.
6) Encontre a matriz que gira um ponto (x, y) em torno da origem por
a) 45◦
b) 90◦
c) 180◦
d) 270◦
e) -30◦
E em cada caso acima calcule T(2, 4). Confira suas respostas geometricamente esboçando os vetores
(2, 4) e T(2, 4) em cada caso.
7) Encontre a matriz que efetua um cisalhamento
a) por α = 4 na direção y
b) por α = −2 na direção x
8) Encontre a matriz que contrai ou dilata
a) por um fator 6 na direção x
b) por um fator 1
3
na direção y
9) Dada a matriz de uma transformação linear no plano e o vetor (1, 4), descreva o efeito geométrico
da multiplicação pela matriz dada em cada caso. Esboce geometricamente esse efeito.
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a)
[
3 0
0 1
]
b)
[
1 0
0 −5
] c)
[
1 4
0 1
]
d)
[
−1 0
0 1
]
10) Os pontos A(2,−1) e B(−1, 4) são vértices consecutivos de um quadrado. Calcular os outros
dois vértices, utilizando a matriz-rotação.
11) Os pontos A(−1,−1), B(4, 1) e C(a, b) são vértices de um triângulo retângulo isósceles, reto
em A. Determinar o vértice C fazendo uso da matriz-rotação.
12) Em um triângulo ABC, os ângulos B e C medem 75◦ cada. Sendo A(1, 1) e B(−1, 5), de-
terminar o vértice C.
13) Determinar, em cada caso, a matriz da transformação linear de R2 → R2 que representa a
seqüencia de transformações dadas:
a) Reflexão em torno do eixo dos y, seguida de um cisalhamento de fator 5 na direção horizontal.
b) Rotação de 30◦ no sentido horário, seguida de uma duplicação dos módulos e inversão dos sentidos.
c) Rotação de 60◦, seguida de uma reflexão em relação ao eixo dos y.
d) Rotação de um ângulo θ, seguida de uma reflexão na origem.
e) Reflexão em torno da reta y = −x, seguida de uma dilatação de fator 2 na direção Ox e, final-
mente, um cisalhamento de fator 3 na direção vertical.
14) O vetor ~v = (3, 2) experimenta seqüencialmente:
1) Uma reflexão em torno da reta y = x;
2) Um cisalhamento horizontal de fator 2;
3) Uma contração na direção Oy de fator 1
3
;
4) Uma rotação de 90◦ no sentido anti-horário.
a) Calcular o vetor resultante dessa seqüencia de operações.
b) Determinar a matriz canônica da composta das quatro operações.
c) Encontrar a expressão da transformação linear T: R2 → R2 que representa a composta das quatro
operações.
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Referências bibliográficas
BOLDRINI, J.L. et al. Álgebra linear. São Paulo: Harper & Row do Brasil, 1980.
HOWARD, A. Álgebra linear com aplicações. Porto Alegre: Bookman, 2001.
STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P. Álgebra linear. São Paulo: Pearson Makron Books,
1987.
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