Continuidade de Funções - Cálculo Diferencial e Integral

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Continuidade de funções
Cálculo Diferencial e Integral - Continuidade
y
4
3
2
1
 0 3 6 7 x

Interpretação Gráfica
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Definição
Dizemos que uma função f é contínua em um ponto x = a, se e somente se:
Se f não é contínua então é descontínua em a
Cálculo Diferencial e Integral 1 variável - Continuidade
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Tipos de Descontinuidade 
Descontinuidade Infinita
	Uma função tem descontinuidade infinita em x = a, se f(x) tende para infinito (positivo ou negativo) quando x tende para o ponto a.
Descontinuidade de Salto ocorre quando
	f(x) varia abruptamente em um ponto x = a.
Descontinuidade Removível 
	É quando existe e é finito o , mas f(x) não está definida em a ou f(a) ≠
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 Exemplo: Descontinuidade Infinita
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f é descontínua em x = 0
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Exemplo: Descontinuidade Removível
Cálculo Diferencial e Integral - Continuidade
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f é descontínua em x = -3
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Exemplo: Descontinuidade de Salto
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f é descontínua em x = 3
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Propriedades
Se f e g são duas funções contínuas em x = a, então:
f + g é contínua em a
f - g é contínua em a
 é contínua em a
 é contínua em a, desde que 
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Continuidade em um Intervalo
Uma função é contínua em um intervalo aberto, se e somente se ela for contínua em todo ponto do intervalo aberto.
Em um intervalo fechado ou semi-aberto, devemos estender o conceito de continuidade para incluir os extremos:
Continuidade à direita
Continuidade à esquerda 
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Continuidade à Direita
Uma função f é contínua à direita de x = a, se e somente se:
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Continuidade à Esquerda
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Continuidade num Intervalo Fechado
Uma função é contínua em [a,b] se e somente se:
 for contínua no intervalo aberto (a,b)
 for contínua à direita em a
 for contínua à esquerda em b
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Assíntota Horizontal
Dizemos que a reta y = b (b constante) é uma assíntota horizontal do gráfico de uma função f, se pelo menos uma das afirmações for verdadeira:
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Exemplo: Assíntota Horizontal 
A função f(x) = 7ex tem assíntota horizontal dada pela função f(x) = 0, pois
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 Exemplo: Assíntota Horizontal
A função f(x) = 7ex tem assíntota horizontal dada pela função f(x) = 0, pois
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Assíntota Vertical
Dizemos que a reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico de uma função f, se pelo menos uma das afirmações for verdadeira.
Cálculo Diferencial e Integral - Continuidade
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Exemplo 1
A função tem assíntota vertical em 2, pois não existe f(2) (divisão por zero) e os limites laterais quando x tende a 2 são ambos infinitos. 
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Exemplo 2
A função 1/x3 tem assíntota vertical em zero, pois não existe f(0) e os limites laterais quando x tende a zero são infinitos.
Cálculo Diferencial e Integral - Continuidade
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Exemplos Continuidade e Descontinuidade
Determine para quais valores de x a função 
é descontínua, classificando o tipo de descon-tinuidade, esboçando seu gráfico e deter-minando a equação de possíveis assíntotas.
Cálculo Diferencial e Integral - Continuidade
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Determinação dos pontos de descontinuidade
Logo, a função tem descontinuidade em 1.
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Determinação do tipo de descontinuidade e possível assíntota vertical: 
 
A função tem descontinuidade infinita em 1.
Logo a reta x = 1 é uma assíntota vertical.
 ( x = 1 é a equação da assíntota vertical) 
 
Cálculo Diferencial e Integral - Continuidade
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 Determinação da assíntota horizontal
 
A reta y = 0 (eixo x) é uma assíntota horizontal. 
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Gráfico da função
Cálculo Diferencial e Integral - Continuidade
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Exercício Proposto
Considere a função . 
Determine:
a) os pontos de descontinuidade de f; 
b) o tipo de descontinuidade em cada ponto; 
c) o gráfico de f;
d) a equação de possíveis assíntotas.
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Determinação dos pontos de descontinuidade
							 
 
Logo, a função tem descontinuidade em -3.
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Determinação do tipo de descontinuidade e possível assíntota vertical.
 
Nesse caso, a função tem descontinuidade removível em −3, pois 		existe e é finito.
Logo, não existe assíntota vertical em -3. 
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Acabaríamos com a descontinuidade, redefinindo a função para
A função não tem assíntota horizontal, já que
 e
	
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Gráfico da função
Cálculo Diferencial e Integral - Continuidade
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Determine para quais valores de x a função
	
	
	é descontínua; classifique os tipos de possíveis descontinuidades; esboce o gráfico de f e determine a equação de possíveis assíntotas.
Exemplo
Cálculo Diferencial e Integral - Continuidade
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Determinação dos pontos de descontinuidade: 
 Como f(x) = x − 2 e f(x) = 3 são contínuas para todo x , e é contínua para todo x > 3, então, devemos verificar a descontinuidade nos pontos x = −2 e x = 3.
Condição de continuidade em x = −2:
 (i) existência de f(-2). Ok pois
            
 (ii) existência de 
 (iii)
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Como
	
	O limite não existe e a função tem descontinuidade de salto em x = -2.
Cálculo Diferencial e Integral - Continuidade
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Condição de continuidade em x = 3:
 (i) existência de f(3). Ok, pois 
 (ii) existência de 
	 
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Como					 
	
	O limite não existe e a função tem descontinuidade de salto em x = 3.
Cálculo Diferencial e Integral - Continuidade
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Essa função não possui assíntota vertical, pois
	e
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Determinação da assíntota horizontal
A reta f(x) = 0 é uma assíntota horizontal.
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Gráfico da função:
Cálculo Diferencial e Integral - Continuidade
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Exercícios: Consideres a funções: 
a) f(x) = —————
 b) f(x) = —————
Cálculo Diferencial e Integral - Continuidade
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x -1
 x2 - 5x + 6
x - 3
-x2 + 6x - 8
Determine:
a) os pontos de descontinuidade de f; 
b) o tipo de descontinuidade em cada ponto; 
c) o gráfico de f;
d) a equação de possíveis assíntotas.