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Func¸o˜es de Va´rias Varia´veis
Primeira Avaliac¸a˜o - 10 de junho de 2013
Nome:
1) Seja a func¸a˜o f : S ⊂ R2 → R2, x = (x1, x2) 7→ x
3
1x2
2x61 + x
2
2
eˆ1.
a) Defina formalmente o conceito de limite de uma func¸a˜o;
b) Determine o dominio ma´ximo de f;
c) Detemine lim
x→0
f (x) pelo caminho C : x1 = t, x2 = t
3;
d) Defina formalmente o conceito de continuidade de uma func¸a˜o;
e) Existe uma extensa˜o contı´nua para f na origem?
2) Seja a func¸a˜o f : S ⊂ Rn → R, x 7→ e‖x‖2 .
a) Defina formalmente o conceito de diferenciabilidade;
b) Determine f ′ (a;y) , y ∈ Rn, a ∈ S;
c) Determine a transformac¸a˜o linear Ta;
d) Determine a derivada direcional em a = 4eˆ7 − 3eˆ2 na direc¸a˜o
de y = 12eˆ6 − 5eˆ23;
e) Determine o valor ma´ximo da derivada direcional em a e a
direc¸a˜o de ma´xima variac¸a˜o.
3) Mostre que se f : S ⊂ Rn → Rm e´ diferencia´vel em a ∈ S, a
expressa˜o de Taylor de primeira ordem e´ u´nica.
Questa˜o Bonus: Seja f : S ⊂ Rn → R, x 7→ ‖T(x)‖
‖x‖
tal que T : Rn →
R
m e´ linear. Tal func¸a˜o assume seus extremos? Justifique sua res-
posta.
Formula´rio: Seja f : S ⊂ Rn → Rm
f ′ (x;y) = d
dt
∣
∣
t=0
f (x + ty);
f (x + y) = f (x) + Tx (y) +
1
2!
Bx (y,y) + r (x,y) : lim
y→0
r (x,y)
‖y‖2 = 0, Tx
1
e´ linear e Bx e´ bilinear;
‖u‖ = √u · u;
Dx (f ◦ g) (x) = Dyf
∣
∣
y=g(x)
Dxg (x)
2