aula-12

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IFBA
Processos Estoca´sticos
Versa˜o 1
Allan de Sousa Soares
Graduac¸a˜o: Licenciatura em Matema´tica - UESB
Especilizac¸a˜o: Matema´tica Pura - UESB
Mestrado: Matema´tica Pura - UFMG
Vito´ria da Conquista - BA
2014
Aula 1
0.1 Espac¸o Amostral e Eventos
Chamaremos de experimento todo processo de observac¸a˜o. Um experimento sera´ dito aleato´rio se na˜o puder-
mos predizer seu resultado.
Exemplo 1. Sa˜o experimentos aleato´rios:
a) O lanc¸amento de uma moeda;
b) A rolagem de um dado.
O conjunto de todos os resultados poss´ıveis em um experimento aleato´rio recebe o nome de espac¸o amostral e e´
denotado por S.
Exemplo 2. Encontre o espac¸o amostral no lanc¸amento
a) de uma moeda;
b) de duas moedas.
Soluc¸a˜o:
a) S = {Ca,Co};
b) S = {CaCa,CaCo,CoCa,CoCo};
Exemplo 3. Encontre o espac¸o amostral no lanc¸amento de uma moeda tantas vezes quanto necessa´rio ate´ que aparec¸a
a primeira face cara.
Soluc¸a˜o:
S = {Ca,CoCa,CoCoCa, . . .} = {1, 2, 3, . . .} .
Desde que tenhamos identificado o espac¸o amostral S como o conjunto de todos os resultados poss´ıveis em um
experimento aleato´rio, temos:
i) Se ξ e´ um elemento de S, enta˜o escrevemos ξ ∈ S;
ii) Se ξ na˜o e´ um elemento de S, enta˜o escrevemos ξ /∈ S;
iii) Se A e´ um subconjunto de B, escrevemos A ⊂ B.
Todo subconjunto de um espac¸o amostral S e´ chamado de evento. Diremos que S e´ o conjunto de todos os eventos
poss´ıveis.
Exemplo 4. Considere o evento A consistindo de se obter um nu´mero menor que 3 no lanc¸amento de um dado. Neste
caso, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e A = {1, 2}.
Exemplo 5. Considere o experimento aleato´rio de se lanc¸ar uma moeda treˆs vezes.
a) Exiba o espac¸o amostral S1 consistindo de todas as observac¸o˜es das faces cara e coroa obtidas;
b) Exiba o espac¸o amostral S2 consistindo da observac¸a˜o do nu´mero de faces cara obtidas.
Soluc¸a˜o:
a) S1 = {CaCaCa,CaCaCo,CaCoCa,CoCaCa,CaCoCo,CoCaCo,CoCoCa,CoCoCo};
b) S2 = {0, 1, 2, 3}.
0.2 A´lgebra de Conjuntos
Vejamos algumas terminologias que sera˜o usadas em todo o texto:
Consideremos os conjuntos A, B e S
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i) Igualdade
A = B ⇔ A ⊂ B e B ⊂ A.
ii) Complementar
A ⊂ S, A = {ξ; ξ ∈ S e ξ /∈ A} .
iii) Unia˜o
A ∪B = {ξ, ξ ∈ A ou ξ ∈ B} .
iv) Intersecc¸a˜o
A ∩B = {ξ; ξ ∈ A e ξ ∈ B} .
v) Vazio
{ } = ∅ = S.
vi) Exclusa˜o Mutua
A ∩B = ∅.
Os conceitos acima podem ser reformulados para uma quantidade finita de conjuntos!
Agora, podemos relacionar a linguagem dos conjuntos em termos de eventos. Se A e B sa˜o eventos de S, enta˜o
i) A = o evento A na˜o ocorre;
ii) A ∪B = algum dos eventos A e B ocorre, ou ambos;
iii) A ∩B = ambos os eventos A e B ocorrem;
iv) S = evento certo;
v) ∅ = evento imposs´ıvel.
Exemplo 6. Dado o espac¸o amostral S = {1, 2, 3, 4, 5} e os eventos A = {1, 3, 4}, B = {1, 5} e C = {2, 4}, determine
os eventos:
a) A ∪B b) A ∩B c) C d) A ∩ C
Soluc¸a˜o:
a) A ∪B = {1, 3, 4, 5}
b) A ∩B = {1}
c) C = {1, 3, 5}
d) A ∩ C = {1, 3}
Identidades
S = ∅, S ∪A = S, S ∩A = A, A ∪A = S, A ∩A = ∅.
Leis
A∪B = B∪A, A∩B = B∩A, (A∪B)∪C = A∪(B∪C), (A∩B)∩C = A∩(B∩C), A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C),
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C), A ∪B = A ∩B, A ∩B = A ∪B.
Exemplo 7. Considerando os conjuntos do Exemplo 6, determine:
a) A ∩A b) A ∩ (B ∪ C) c) A ∪ (C ∩ (A ∪B))
Soluc¸a˜o:
a) A ∩A = ∅
b) A ∩ (B ∪ C) = {3}
c) A ∪ (C ∩ (A ∪B)) = {2}
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0.3 Exerc´ıcios
Exerc´ıcio 1. • Considere um experimento de retirar dois carto˜es aleatoriamente de um saco contendo quatro carto˜es
marcados com os nu´meros inteiros de 1 a 4.
a) Encontre o espac¸o amostral S, do experimento se o primeiro carta˜o e´ devolvido ao saco antes que o segundo seja
retirado.
b) Encontre o espac¸o amostral S, do experimento se o primeiro carta na˜o e´ devolvido ao saco.
Respostas: a) S1 = {(1, 1), (1, 2), . . . , (4, 4)}, b) S2 = {(1, 2), (1, 3), . . . , (4, 3)}.
Exerc´ıcio 2. • Um experimento consiste em rolar um dado ate´ que um 6 seja obtido.
a) Encontre o espac¸o amostral S, se estamos interessados em todas as possibilidades.
b) Encontre o espac¸o amostral S, se estamos interessados no nu´mero de lanc¸amentos necessa´rios para obter um 6.
Respostas: a) S1 = {6, 16, 26, . . . , 116, 126, . . .}, b) S2 = {1, 2, 3, . . .}.
Exerc´ıcio 3. • Encontre o espac¸o amostral para o experimento que consiste em medir a sa´ıda v de tensa˜o de um
transdutor, sendo o ma´ximo e o mı´nimo +5 e −5 volts, respectivamente.
Resposta: a) S = {v;−5 ≤ v ≤ 5}.
Exerc´ıcio 4. • Um experimento consiste em lanc¸ar dois dados.
a) Determine o espac¸o amostral S.
b) Encontre o evento A, que a soma dos pontos sobre os dados seja igual a 7.
c) Encontre o evento B, que a soma dos pontos sobre os dados seja maior do que 10.
d) Encontre o evento C, que a soma dos pontos sobre os dados seja maior do que 12.
Respostas: a) S1 = {(1, 1), (1, 2), . . . , (6, 6)}, b) A = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)}, c) B = {(5, 6), (6, 5), (6, 6)},
d) C = ∅.
Exerc´ıcio 5. • Uma concessiona´ria de automo´veis oferece ve´ıculos com as seguintes opc¸o˜es:
1. Com ou sem transmissa˜o automa´tica;
2. Com ou sem ar condicionado;
3. Com uma das duas opc¸o˜es de um aparelho de som;
4. Com uma das treˆs opc¸o˜es de cores exteriores.
Se o espac¸o de amostra consiste no conjunto de todos os tipos de ve´ıculos poss´ıveis, qual e´ o nu´mero de resultados no
espac¸o amostral?
Resposta: 24
Exerc´ıcio 6. • Exiba cada evento poss´ıvel do espac¸o amostral S = {a, b, c, d}.
Resposta: ∅, {a}, {a, b}, . . ., {a, b, c, d}.
Exerc´ıcio 7. • Quantos eventos existem em um espac¸o amostral contendo n elementos.
Resposta: 2n
Exerc´ıcio 8. • Considere o experimento do Exemplo 3. Definimos os eventos
A = {k; k e impar}
B = {k; 4 ≤ k ≤ 7}
C = {k; 1 ≤ k ≤ 10}
onde k e´ o nu´mero de lanc¸amantos ate´ que ocorra a primeira face cara. Determine os eventos
A, B, C, A ∪B, B ∪ C, A ∩B, A ∩ C, B ∩ C, A ∩B.
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Respostas: A = {2, 4, 6, . . .}, B = {1, 2, 3} ∪ {8, 9, 10, 11, . . .}, C = {11, 12, 13, . . .}, A ∪ B = {1, 3, 5, 7, . . .} ∪ {4, 6},
B ∪ C = {1, 2, . . . , 10}, A ∩B = {5, 7}, A ∩ C = {1, 3, 5, 7, 9}, B ∩ C = {4, 5, 6, 7}, A ∩B = {4, 6}.
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