Matriz Inversa usando determinante

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Matriz Inversa
(Cálculo pelo Determinante)
Profª Dra. Verônica Fagundes Araújo
Matriz inversa
Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Se detA ≠ 0, então existe uma matriz B, que é a inversa da matriz A, dada por:
Onde:
cof A matriz dos co-fatores de A.
(cof A)t matriz transposta da matriz dos co-fatores, também chamada de matriz adjunta de A.
Exemplo 1:
Dada a matriz ,
determine a sua inversa, se existir:
Calculamos det A
	det A = 0 + 6 = 6 0 
	Logo existe a matriz inversa de A.
Determinamos a matriz dos co-fatores de A:
	A11 = (–1)1 + 1 · (0) = (–1)2 – 0 = 0
	A12 = (–1)1 + 2 · 3 = (–1) (3) = –3
	A21 = (–1)2 + 1· (–2) = (–1)(–2) = 2
	A22 = (–1)2 + 2 · (1) = (1)(1) = 1
Exemplo
Portanto, a matriz dos cofatores é:
Determinamos a transposta de cof A, isto é, sua adjunta:
Exemplo
Finalmente, determinamos a matriz inversa da matriz A:
Fazendo a verificação:
 
 A. A-1 = A-1 . A = I2 
 
Exemplo 2:
Determinar a inversa da matriz
G = :
 
G-1 = 
Determinante da Matriz Inversa
Se A-1 é a matriz inversa de A , então :
			A . A-1 = A-1 . A = In , 
	onde In é a matriz identidade de ordem n . 
Nestas condições , podemos afirmar que: 			det(A.A-1) = det(In) 
			 det(A.A-1) = 1
Logo , podemos também escrever que
			det(A) . det(A-1) = 1 ; 
Portanto , concluímos que: 
			det(A-1) = 1 / det(A). 
RESOLVENDO EQUAÇÕES MATRICIAIS ENVOLVENDO MATRIZ INVERSA
Dada uma matriz quadrada A podemos, como já foi visto, definir as matrizes 
	-A e A-1, tais que A + (-A) = 0 (matriz nula) e A . A-1 = I (matriz identidade). 
A matriz identidade goza da propriedade: 
A.I = I.A = A.
A partir destas observações podemos resolver qualquer equação matricial do tipo 
A + B.X = C.
RESOLVENDO EQUAÇÕES MATRICIAIS ENVOLVENDO MATRIZ INVERSA
Teremos:
	 A + B.X = C
	 B.X = C + (-A) 
	 B-1.B.X = B-1.(C - A) 
	 X = B-1.(C - A).
Para equação do tipo A + X.B = C, devemos fazer:
		 	X.B.B-1 = (C - A).B-1 
	pois a multiplicação de matrizes não é comutativa.
Exemplo:
Sendo
A = , B = e C =
a)Determinar a matriz X, tal que A + B.X = C.
b)Determinar a matriz X tal que XA + 2B = C.