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Primeira Lista de Exerc´ıcios c© MATEMA´TICA/UFC 2013.2
UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARA´
CENTRO DE CIEˆNCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
Lista de Exerc´ıcios
Departamento de Matema´tica
16 de Janeiro de 2014
Aluno:
1
Questa˜o 1. Determine os valores de a , de modo que o sistema
x1 + x2 − x3 = 1
2x1 + 3x2 + ax3 = 3
x1 + ax2 + 3x3 = 2
tenha nenhuma soluc¸a˜o, mais de uma soluc¸a˜o ou u´nica soluc¸a˜o.
Questa˜o 2. Que condic¸o˜es devemos ter a a, b e c para que o sistema
x1 + 2x2 − 3x3 = a
2x1 + 6x2 − 11x3 = b
x1 − 2x2 + 7x3 = c
admita soluc¸a˜o?
Questa˜o 3. Considere as seguintes matrizes
A =
 3 0−1 2
1 1
 , B = ( 4 −1
0 2
)
, C =
(
1 4 2
3 1 5
)
, D =
 1 5 2−1 0 1
3 2 4
 , E =
 6 1 3−1 1 2
4 1 3

Calcule os seguintes (quando poss´ıvel).
(a)D + E (b)D − E (c) 5A (d) − 3(D + 2E) (e) tr(D − 3E) (f) 4 · tr(7B) (g) 2AT + C
(h)DT −ET (i) (D−E)T (j)BT + 5CT (k) 1
2
CT − 1
4
A (l) (2ET − 3DT )T (m) 2ET − 3DT
(n)CCT (o) (DA)T (p) tr(DDT ) (q) tr(CTAT+2ET ) (r) (BAT−2CT )T (s)BT (CCT−ATA)
Questa˜o 4. Encontre a inversa das seguintes matrizes:
a) A =
(
cos(θ) sen(θ)
−sen(θ) cos(θ)
)
b) A =
(
ex+e−x
2
ex−e−x
2
ex−e−x
2
ex+e−x
2
)
c) A =

a11 0 · · · 0
0 a22 · · · 0
...
...
. . .
...
0 0 · · · ann
 onde a11 · a22 · . . . · ann 6= 0.
Questa˜o 5. Uma matriz quadrada A e´ chamada sime´trica se AT = A e anti-sime´trica
se AT = −A. Mostre que se B e´ uma matriz quadrada, enta˜o BBT e B + BT sa˜o sime´trica
e B − BT e´ anti-sime´trica. Conclua que toda matriz quadrada se escreve, de modo u´nico,
como soma de uma matriz sime´trica com uma anti-sime´trica.
2
Questa˜o 6. Sejam A e B matrizes quadradas n × n tais que AB = BA. Demonstre que
(A+B)2 = A2 + 2AB +B2 e (A+B)(A−B) = A2 −B2.
Questa˜o 7. Encontre todos os valores de a, b e c para os quais A e´ sime´trica
A =
 2 a− 2b+ 2c 2a+ b+ c3 5 a+ c
0 −2 7

Questa˜o 8. Sejam
A =
(
2 1
1 −5
)
e B =
(
a b
b d
)
Mostre que se a− d = 7b enta˜o AB = BA
Questa˜o 9. Encontre uma matriz diagonal A tal que
A−2 =
 9 0 00 4 0
0 0 1

Questa˜o 10. Seja
A =

−2 8 1 4
3 2 5 1
1 10 6 5
4 −6 4 −3

Por inspec¸a˜o (sem calcular o determinante), explique por que det(A) = 0.
Questa˜o 11. Seja
A =
 a b cd e f
g h i

Supondo que det(A) = 10, obtenha
(a) det(5A) (b) det(2A−1) (c) det(2A−2) (d) det
 d g ae h b
f i c

Questa˜o 12. Seja  3 2 −11 6 3
2 −4 0

Encontre a matriz Adj(A) (adjunta de A) e ache A−1 = 1
det(A)
· Adj(A).
Questa˜o 13. Usando a Regra de Cramer para resolver o seguinte sistema:
4x1 + x2 + x3 + x4 = 6
3x1 + 7x2 − x3 + x4 = 1
7x1 + 3x2 − 5x3 + 8x4 = −3
x1 + x2 + x3 + 2x4 = 3
3