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Apostila de F´ısica Mecaˆnica Newtoniana Versa˜o 0.0 1a Formulac¸a˜o Eder Terceiro 13 de marc¸o de 2013 2 Suma´rio 1 Introduc¸a˜o 9 1.1 Mecaˆnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Sistema Internacional de Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1 Sistema de Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Exemplo: Transformac¸a˜o de unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Sistema cartesiano 15 2.1 Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Componentes de um vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3 Composic¸a˜o de vetores 25 3.1 Me´todo da Poligonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.1.1 Ca´lculo das componentes dos vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3 4 SUMA´RIO 3.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4 A´lgebra Vetorial 35 4.1 Vetores EM Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.2 Operac¸a˜o com Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.2.1 Adic¸a˜o de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.2.2 Multiplicac¸a˜o por escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.3 Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.3.1 Propriedades Do Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.3.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.3.3 Significado geome´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.4 Vetor Unita´rio numa direc¸a˜o dada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.6 Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.6.1 Propriedades do Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.6.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.6.3 Significado geome´trico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5 Esta´tica 55 5.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 6 Movimento unidimensional de ponto material 69 6.1 Sistema De Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 6.2 Definic¸o˜es Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 6.3 Deslocamento, velocidade me´dia e acelerac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 SUMA´RIO 5 6.4 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 7 Cinema´tica 77 7.1 Movimento Retil´ıneo Uniforme MRU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 7.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 8 Movimento Retil´ıneo Uniformemente Variado 83 8.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 9 Exerc´ıcios de Cinema´tica 91 10 Introduc¸a˜o a dinaˆmica 99 10.1 As leis de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 10.1.1 Primeira Lei de Newton - Lei de Ine´rcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 10.1.2 Segunda Lei de Newton - A resultante das forc¸as . . . . . . . . . . . . . . . . 100 10.1.3 Terceira Lei de Newton Princ´ıpio de Ac¸a˜o e Reac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . 102 10.1.4 Discussa˜o das treˆs leis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 10.2 Noc¸o˜es de forc¸a, peso e queda livre. As Leis de Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . 106 10.3 Casos especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 10.3.1 Forc¸a Peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 10.3.2 Forc¸a de Atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 10.4 Sistemas de Mu´ltiplos Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 10.5 Plano Inclinado sem atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 10.6 Plano Inclinado com atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 6 SUMA´RIO 11 Lista de Dinaˆmica 129 11.0.1 Dinaˆmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 12 Energia 145 12.1 Trabalho de uma forc¸a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 12.1.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 12.2 Unidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 12.3 Gra´fico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 12.4 Me´todo de Ana´lise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 12.5 Aplicac¸a˜o 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 12.6 Aplicac¸a˜o 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 12.7 Casos t´ıpicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 12.7.1 Forc¸a Peso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 12.7.2 Forc¸a da mola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 12.7.3 Forc¸a de atrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 12.8 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 12.9 Energia Cine´tica de um ponto material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 12.9.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 12.9.2 Unidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 12.9.3 Princ´ıpio do trabalho e energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 12.10Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 12.11Poteˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 12.11.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 12.11.2 Unidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 12.12Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Cap´ıtulo 1 Introduc¸a˜o A F´ısica estuda as relac¸o˜es fundamentais entre os constituintes da mate´ria. Na Mecaˆnica, o objetivo e´ determinar as relac¸o˜es do movimento com suas causas e efeitos. A f´ısica busca as propriedades ou grandezas associadas aos corpos pertinentes ao fenoˆmeno. Aplica se o me´todo cient´ıfico que e´ composto basicamente das etapas 1. (a) observac¸a˜o (b) abstrac¸a˜o (c) experimentac¸a˜o 7 8 CAPI´TULO 1. INTRODUC¸A˜O 1.1 Mecaˆnica Toda grandeza f´ısica e´ uma caracter´ıstica que pode ser definida e medida para obter as relac¸o˜es das varia´veis de interesse no problema tratado. Medir significa comparar com um padra˜o previamente estabelecido. Va´riossistemas foram estabele- cidos durante a histo´ria. Imposic¸o˜es te´cnicas e histo´ricas obrigam nos dias atuais a utilizac¸a˜o de um sistema originado junto com a Revoluc¸a˜o Francesa e baseado nos mu´ltiplos e submu´ltiplos decimais das unidades originais. 1.2 Sistema Internacional de Unidades O Sistema Internacional de Unidades estabelece sete unidades ba´sicas correspondentes as magnitudes das seguintes grandezas: massa, tempo, corrente ele´trica, temperatura, quantidade de mate´ria e intensidade luminosa. Suas unidades sa˜o conhecidas, respectivamente, por: metro, o kilograma, o segundo, o ampe`re, o kelvin, o mol e candela. Para as unidades de base adotadas pela Conferencia General de Pesos e Medidas, sa˜o estabelecidas as seguintes definic¸o˜es: Unidade de comprimento O metro e´ o comprimento da distaˆncia percorrida pela luz no va´cuo, durante um intervalo de 1/299 792 458 do segundo. Unidade de massa O quilograma e´ igual a` massa do proto´tipo internacional do quilograma. Unidade de tempo 1.2. SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES 9 O segundo e´ a durac¸a˜o de 9 192 631 770 per´ıodos da radiac¸a˜o correspondente a` transic¸a˜o entre os dois n´ıveis hiperfinos do estado fundamental do a´tomo de ce´sio 133. A tabela indica algumas unidades fundamentais e respectivos s´ımbolos: Grandeza Unidade Nome S´ımbolo Comprimento metro m Massa kilogramo kg Tempo segundo s 1.2.1 Sistema de Unidades A partir das unidades ba´sicas e suplementares pode-se derivar outras; algumas de estas tem nome pro´prio, como se mostra na tabela seguinte: Unidades derivadas que na˜o tem nome pro´prio Grandeza s´ımbolo unidades Velocidade v ms-1 Acelerac¸a˜o a ms-2 Vaza˜o m3s-1 Unidades derivadas que tem nome pro´prio 10 CAPI´TULO 1. INTRODUC¸A˜O Grandeza Sistema Interna- cional s´ımbolo unidades Forc¸a Newton N kg ms−2 Energia Joule J kg m2s−2 Poteˆncia Watt W kg m2s−3 Muitas medidas exigem subunidades que normalmente sa˜o indicadas por prefixos relativos a frac¸a˜o da unidade principal: frac¸a˜o 10−6 10−3 Unidade Funda- mental 103 106 s´ımbolo µ m k M nome Micro mili Kilo Mega 1.3 Exemplo: Transformac¸a˜o de unidades Um carro de F1 tem velocidade me´dia de 180 km/h. ou 180 1 km h = 180 1 103m 3600s = 180 · 1000 1 · 3600 m s = 50 m s . Ou seja a cada segundo o carro anda 50m. 1.4. EXERCI´CIOS 11 1.4 Exerc´ıcios 1. Fac¸a as seguintes transformac¸o˜es (a) 50 km para cm (b) 5 cm para m (c) 50 cm para km 2. Fac¸a as seguintes transformac¸o˜es (a) 72 km/h para m/s (b) 25 m/s para km/h (c) 300.000km/s para km/h 3. Fac¸a as seguintes transformac¸o˜es (a) 100 kg para g (b) 25 Tonelada para kg (c) 250 g para kg 12 CAPI´TULO 1. INTRODUC¸A˜O Cap´ıtulo 2 Sistema cartesiano A necessidade de localizar objetos para a descric¸a˜o de certa situac¸a˜o impo˜e o surgimento de va´rios tipos de sistema. O mais conhecido e´ o Sistema Cartesiano. E´ um procedimento matema´tico simples e´ para um ponto gene´rico P = (x, y, z) O sistema tridimensional e´ o conjunto de todos os ternos ordenados (x,y,z), com esta ordem devendo ser obedecida para na˜o haver confusa˜o, fig. 1. Reduc¸o˜es para sistema bidimensionais e unidimensionais sa˜o o´bvias, com a simples retirada da coordenada desconsiderada. com x indicando o deslocamento na direc¸a˜o do eixo OX y indicando o deslocamento na direc¸a˜o do eixo OY z indicando o deslocamento na direc¸a˜o do eixo OZ 13 14 CAPI´TULO 2. SISTEMA CARTESIANO Figura 2.1: Sistema cartesiano iˆ, jˆ, kˆ 2.1 Vetores Uma grandeza f´ısica e´ vetorial quando necessitarmos de 3 informac¸o˜es para caracteriza´-la: mo´dulo ou intensidade, direc¸a˜o e sentido. A representac¸a˜o gra´fica de um vetor e´ dada por, fig. 1b : Uma grandeza vetorial t´ıpica e´ o deslocamento, pois e´ necessa´rio determina quanto deslocou-se para que direc¸a˜o e em que sentido (indo ou vindo) Assim o problema inicial de vetores e´ como obter sua combinac¸a˜o ou adic¸a˜o para visualizar o valor resultante de cada um dos componentes. Va´rios casos podem ficar relacionados em grupos bem definidos. E algumas das caracter´ısticas dos vetores devem ser melhor exploradas para o completo entendimento. 2.2. COMPONENTES DE UM VETOR 15 Figura 2.2: Representac¸a˜o gra´fica de um vetor 2.2 Componentes de um vetor Notac¸a˜o vetorial ~X, ~Y dois vetores quaisquer∣∣∣ ~X∣∣∣ intensidade ou mo´dulo do vetor Caso 1 Vetores na mesma direc¸a˜o A adic¸a˜o de vetores que tenham mesma direc¸a˜o pode ser realizada facilmente, fig. 2, pois: 1. Vetores tem mesmo sentido ~Z = ~X + ~Y = X + Y , os mo´dulos sa˜o somados. 16 CAPI´TULO 2. SISTEMA CARTESIANO Figura 2.3: Vetores alinhados 2. os vetores tem sentido contra´rio ~Z = ~X + ~Y = X − Y , os mo´dulos sa˜o subtraidos. Caso 2 Vetores em direc¸a˜o distinta Considere a situac¸a˜o da figura 12.3. Obviamente na˜o podemos fazer a composic¸a˜o dos dois vetores, pois apresentam-se em direc¸o˜es distintas. A ide´ia e´ realizar transformac¸o˜es para obter componentes na mesma situac¸a˜o. Para isso considere a situac¸a˜o com apenas um vetor como indicado na figura 3. Considerando o sistema cartesiano, poder´ıamos representar a parte do vetor projetada no eixo X e a outra projec¸a˜o no eixo Y, fig. 3. Atrave´s das definic¸o˜es trigonome´tricas podemos estabelecer. As componentes verticais e horizontais do vetor v sa˜o dadas por: vx = v cos θ na horizontal vy = vsinθ na vertical 2.2. COMPONENTES DE UM VETOR 17 Figura 2.4: Vetores na˜o alinhados E realizando este processo para cada um dos vetores, obter´ıamos vetores em duas direc¸o˜es pref- erenciais: a horizontal e vertical. Com esses vetores parciais poder´ıamos realizar a soma de vetores como no caso de vetores de mesma direc¸a˜o. Exemplo Representar graficamente os vetores: 1. v1: mo´dulo 9 cm; direc¸a˜o de 45◦ em relac¸a˜o a horizontal 2. v2: mo´dulo 5 cm ; direc¸a˜o de 90◦ em relac¸a˜o a horizontal 18 CAPI´TULO 2. SISTEMA CARTESIANO Figura 2.5: Componentes de um vetor 3. v3: mo´dulo 2 cm; direc¸a˜o de 0◦ em relac¸a˜o a horizontal. O sentido fica determinado pois todos os vetores tem comec¸o na origem do sistema cartesiano. Soluc¸a˜o: Primeiro estabelece-se o sistema cartesiano 2.3 Exerc´ıcios 1. Representar graficamente os vetores: (a) v1: mo´dulo 5 cm; direc¸a˜o de 60◦ em relac¸a˜o a horizontal (em sentido anti hora´rio) 2.3. EXERCI´CIOS 19 Figura 2.6: Representac¸a˜o cartesiana 20 CAPI´TULO 2. SISTEMA CARTESIANO (b) v2: mo´dulo 9 cm ; direc¸a˜o de 45◦ em relac¸a˜o a horizontal (em sentido anti hora´rio) (c) v3: mo´dulo 3 cm; direc¸a˜o de 30◦ em relac¸a˜o a horizontal. (em sentido anti hora´rio) 2. Representar graficamente os vetores (a) v1: mo´dulo 3 cm; direc¸a˜o de 120◦ em relac¸a˜o a horizontal (em sentido anti hora´rio) (b) v2: mo´dulo 5 cm ; direc¸a˜o de 90◦ em relac¸a˜o a horizontal (em sentido anti hora´rio) (c) v3: mo´dulo 3 cm; direc¸a˜o de 30◦ em relac¸a˜o a horizontal. (em sentido anti hora´rio) 3. Representar graficamente os vetores (a) v1: mo´dulo 2 cm; direc¸a˜o de 250◦ em relac¸a˜o a horizontal (em sentido anti hora´rio) (b) v2: mo´dulo 4 cm ; direc¸a˜o de 120◦ em relac¸a˜o a horizontal (em sentido anti hora´rio) (c) v3: mo´dulo 6 cm; direc¸a˜o de 60◦ em relac¸a˜o a horizontal. (em sentido anti hora´rio) 4. Representar graficamente os vetores (a) v1: mo´dulo 6 cm; direc¸a˜o de 330◦ em relac¸a˜o a horizontal (em sentido anti hora´rio) (b) v2: mo´dulo 4 cm ; direc¸a˜o de 270◦ em relac¸a˜o a horizontal (em sentido anti hora´rio) (c) v3: mo´dulo 2 cm; direc¸a˜o de 170◦ em relac¸a˜o a horizontal. (em sentido anti hora´rio) Cap´ıtulo 3 Composic¸a˜o de vetores Significa que a partir de uma se´rie de vetores queremosobter um vetor que fac¸a a representac¸a˜o de todos os vetores envolvidos. Pense como va´rias pessoas puxando um objeto para distintas direc¸o˜es. Queremos determinar que forc¸a (mo´dulo, direc¸a˜o e sentido) uma u´nica pessoa deveria realizar para substituir todas as pessoas iniciais. Para entender o processo uma ana´lise gra´fica e´ u´til: 3.1 Me´todo da Poligonal Quando houver mais de dois vetores, podemos determinar graficamente a resultante atrave´s do seguinte me´todo: Escolhemos um vetor qualquer. Deslocamos os outros vetores de tal modo que o in´ıcio do vetor se encaixara´ no final do u´ltimo 21 22 CAPI´TULO 3. COMPOSIC¸A˜O DE VETORES vetor deslocado. Veja a ilustrac¸a˜o 1: 3.1.1 Ca´lculo das componentes dos vetores Para obter a resultante dois vetores quaisquer faremos uma combinac¸a˜o das duas ide´ias: a obtenc¸a˜o das componentes horizontal e vertical e a adic¸a˜o de vetores de mesma direc¸a˜o. Como exemplo considere a situac¸a˜o abaixo, figura 1b: Componentes horizontais. v1x = v1 cos θ v2x = v2 cos β Componentes verticais. v1y = v1sinθ v2y = v2sinβ Adicionamos vetorialmente as componentes encontradas, encontrando as resultantes horizontais e verticais. vx = v1x + v2x = v1 cos θ + v2 cos β, pois tem o mesmo sentido. vy = v1y − v2y = v1sinθ − v2sinβ, pois tem sentido contra´rio. Determinac¸a˜o do vetor resultante 3.1. ME´TODO DA POLIGONAL 23 Figura 3.1: Me´todo da Poligonal 24 CAPI´TULO 3. COMPOSIC¸A˜O DE VETORES Figura 3.2: Ca´lculo das componentes dos vetores 3.2. EXERCI´CIOS 25 Figura 3.3: Determinac¸a˜o do vetor resultante Usamos as relac¸o˜es me´tricas (Pita´goras) e trigonome´tricas (tangente) para determinar o finalmente o vetor resultante, figura 2. vr = √ v2x + v 2 y θ = arctan ( vy vx ) Obs.:O aˆngulo e´ determinado a partir da horizontal e no sentido contra´rio ao movimento dos ponteiros de um relo´gio. Assim o sentido sera´ implicitamente indicado. 3.2 Exerc´ıcios 1. Calcule graficamente a resultante dos vetores: (a) Figura 12.3 26 CAPI´TULO 3. COMPOSIC¸A˜O DE VETORES Figura 3.4: Exerc´ıcio 12.3 3.2. EXERCI´CIOS 27 (b) Figura 3 Figura 3.5: Exerc´ıcio 3 2. As projec¸o˜es de um vetor sobre os eixos 0x e 0y valem respectivamente 3cm e 4cm. Achar o mo´dulo desse vetor e sua direc¸a˜o, determinando o aˆngulo que forma com Ox. 3. Qual o mo´dulo de um vetor cujas projec¸o˜es sobre 0x e 0y valem 6 e 15 respectivamente? 28 CAPI´TULO 3. COMPOSIC¸A˜O DE VETORES 4. Dados os vetores abaixo, caracterizados pelo mo´dulo e pelo aˆngulo que formam com Ox, de- terminar a resultante dos vetores. Verificar graficamente a soluc¸a˜o, fig. 4. (a) v1: mo´dulo 5 cm; direc¸a˜o de 60◦ em relac¸a˜o a horizontal (em sentido anti hora´rio) (b) v2: mo´dulo 9 cm ; direc¸a˜o de 45◦ em relac¸a˜o a horizontal (em sentido anti hora´rio) (c) v3: mo´dulo 3 cm; direc¸a˜o de 30◦ em relac¸a˜o a horizontal. (em sentido anti hora´rio) Figura 3.6: Exerc´ıcio 4 3.2. EXERCI´CIOS 29 5. Dados os vetores abaixo, caracterizados pelo mo´dulo e pelo aˆngulo que formam com Ox, de- terminar a resultante dos vetores. Verificar graficamente a soluc¸a˜o. Representar graficamente os vetores, fig. 5 (a) v1: mo´dulo 3 cm; direc¸a˜o de 120◦ em relac¸a˜o a horizontal (em sentido anti hora´rio) (b) v2: mo´dulo 5 cm ; direc¸a˜o de 90◦ em relac¸a˜o a horizontal (em sentido anti hora´rio) (c) v3: mo´dulo 3 cm; direc¸a˜o de 30◦ em relac¸a˜o a horizontal. (em sentido anti hora´rio) 30 CAPI´TULO 3. COMPOSIC¸A˜O DE VETORES Figura 3.7: Exerc´ıcio 5 Cap´ıtulo 4 A´lgebra Vetorial 4.1 Vetores EM Rn Ha´ uma extensa˜o natural dos conceitos, notac¸o˜es e operac¸o˜es definidas para o espac¸o Rn. 4.2 Operac¸a˜o com Vetores 31 32 CAPI´TULO 4. A´LGEBRA VETORIAL 4.2.1 Adic¸a˜o de Vetores Dados u = (u1, u2, u3, · · · , un) e ~v = (v1, v2, v3, · · · , vn), de Rn, a soma s = u+ v, tal que s = (u1 + v1, u2 + v2, u3 + v3, · · · , un + vn) A adic¸a˜o de vetores goza das seguintes propriedades: 1. ~u+ ~v = ~v + ~u 2. (~u+ ~v) + ~w = ~u+ (~v + ~w) 3. ~0 = (0, 0, 0, · · · , 0), tal que ~0 + ~v = ~v +~0 = ~v. 4. ~v +−~v = −~v + ~v = ~0. 4.2.2 Multiplicac¸a˜o por escalar Dados ~v = (v1, v2, v3, · · · , vn) ∈ Rn e o escalar r ∈ R . O produto do escalar r pelo vetor v, e´ o resultado r~v = (rv1, rv2, rv3, · · · , rvn) A multiplicac¸a˜o de um escalar por um vetor goza das propriedades: 1. r~v = ~vr 2. r(~u+ ~v) = r~u+ r~v 3. (r + s)~v = r~v + s~v . 4.3. PRODUTO ESCALAR 33 4. (rs)~v = r(s~v) 5. 0~v = ~0 6. −1~v = −~v 7. r~v e´ paralelo a ~v 4.3 Produto Escalar Dados ~u = (x1, y1, z1) e ~v = (x2, y2, z2) dois vetores, com um aˆngulo θ entre si. Figura 4.1: Produto Escalar O produto escalar de ~u por ~v, simbolizado por ~u · ~v, e´ definido por: ~u · ~v = |~u| · |~v|.cosθ 34 CAPI´TULO 4. A´LGEBRA VETORIAL Na forma de coordenadas ~u · ~v = x1 · x2 + y1 · y2 + z1 · z2 E´ usado em muitas situac¸o˜es f´ısicas, como por exemplo o trabalho, definido como o produto da forc¸a pelo deslocamento. Forc¸a e deslocamento sa˜o duas grandezas vetoriais e levam a noc¸a˜o de trabalho, uma grandeza escalar. Exemplo Calcule o produto escalar para 1. ~u = (2, 3, 4) ~v = (−1, 3, 5) 2. ~u = (2,−1, 1) e ~v = (5, 2,−1) 4.3. PRODUTO ESCALAR 35 4.3.1 Propriedades Do Produto Escalar Para o produto escalar valem as propriedades: 1. ~u · ~v = ~v · ~u 2. ~u · (~v + ~w) = ~u · ~v + ~u · ~w 3. ~u · ~v = 0⇔ ~u⊥~v 4. s(~u · ~v) = (s~u) · ~u 4.3.2 Exerc´ıcios 1. Dado os vetores ~u = 3ˆi− 2jˆ + 5kˆ , ~v = −5ˆi+ 6jˆ − 3kˆ e ~w = −1ˆi+ 2jˆ − 3kˆ, calcule: (a) ~u · ~v (b) ~w · ~u (c) 3~u · 2~w (d) (2~u− 1~v) · (5~w) (e) (~u+ ~v) · (~w + 5~u) (f) ~u · (~v − (~u · ~v )~w) 36 CAPI´TULO 4. A´LGEBRA VETORIAL Figura 4.2: Interpretac¸a˜o do Produto Escalar 4.3.3 Significado geome´trico Pode ser dada uma interpretac¸a˜o geome´trica para o produto escalar, ~u ·~v| , atrave´s da figura. Os vetores ~u,~v manteˆm entre si um aˆngulo θ indicada pela pro´pria definic¸a˜o de produto escalar ~u · ~v = |~u||~v| cos(θ) A interpretac¸a˜o fica claro quando observa-se: ~u · ~u = |~u| |~u| cos(θ)︸ ︷︷ ︸ ~u · ~v = |~v|proj~v~u Assim o produto escalar determina o tamanho da projec¸a˜o de um vetor sobre outro. 4.4. VETOR UNITA´RIO NUMA DIREC¸A˜O DADA 37 4.4 Vetor Unita´rio numa direc¸a˜o dada Um vetor unita´rio e´ dado por ~w = |w|.wˆ, ou seja, wˆ = ~w |w| Exemplo: Para ~w = (3, 4,−12) , calcular wˆ Vetores unita´rios coincidem suas direc¸o˜es com as direc¸o˜es positivas dos eixos cartesianos para formar uma base. 4.5 Exerc´ıcios 1. Escreva o vetor unita´rio na direc¸a˜o de: (a) (3, 4, 5) (b) (-8, 6, 0) (c) (1, 2, 3) (d) (-3, 2, -4) 2. Determine o vetor ~w e seu correspondente unita´rio tal que ~w = ~3u+ ~2v, se ~u = 3ˆi− 2jˆ + 5kˆ e ~v = −5ˆi+ 6jˆ − 3kˆ 3. Calcule o mo´dulo de ~u+ ~v , se: 38 CAPI´TULO 4. A´LGEBRA VETORIAL (a) se ~u = 3ˆi− 2jˆ + 5kˆ e ~v = −5ˆi+ 6jˆ − 3kˆ (b) se ~u = 1ˆi− 4jˆ + 3kˆ e ~v = −3ˆi+ 2jˆ − kˆ (c) se ~u = 1ˆi− 1jˆ + kˆ e ~v = −3ˆi+ 2jˆ − kˆ 4. Calcule o vetor unita´rio do exerc´ıcio anterior. 4.6 Produto Vetorial Produto vetorial e´ a multiplicac¸a˜o de dois vetores, com um vetor como resultado. O produto vetorial de u por v e´ indicado por ~u× ~v Figura 4.3: Produto Vetorial 4.6. PRODUTO VETORIAL 39 O produto vetorial e´ definido por: ~u× ~v = |u|.|v|.senθ Matricialmente pode ser calculado pelo por: ~u× ~v = ∣∣∣∣∣∣∣ iˆ jˆ kˆ x1 y1 z1 x2 y2 z2 ∣∣∣∣∣∣∣ Desenvolvendo ~u× ~v = (y1 · z2 − y2 · z1)ˆi− (x1 · z2 − y2 · z1)jˆ + (x1 · y2 − y2 · z1)kˆ Assim o resultado do produto vetorial e´ caracterizado por: 1. MO´DULO: |u|.|v|.senθ, onde θ e´ o aˆngulo formado pelos dois vetores. 2. DIREC¸A˜O:- perpendicularao plano formado por u e v. 3. SENTIDO:- determinado pela regra da ma˜o direita, formando um plano, aponta-se o primeiro vetor com o polegar. Os demais dedos apontam o segundo vetor. A palma da ma˜o indicara´ o sentido do produto. conforme figura: 40 CAPI´TULO 4. A´LGEBRA VETORIAL Figura 4.4: Regra da Ma˜o Direita 4.6.1 Propriedades do Produto Vetorial Para o produto vetorial valem as propriedades: 1. ~u× ~v = −~v × ~u 2. ~u× ~v = 0⇔ ~u = r~v ⇔ ~u ‖ ~v 3. s(~u× ~v) = (s~u)× ~u 4. (~u× ~v)× ~w = −~u× (~v × ~w) 4.6.2 Exerc´ıcios 1. Prove com um exemplo que o produto vetorial na˜o e´ comutativo e nem associativo 4.6. PRODUTO VETORIAL 41 2. Dado os vetores ~u = 3ˆi− 2jˆ + 5kˆ , ~v = −5ˆi+ 6jˆ − 3kˆ e ~w = −1ˆi+ 2jˆ − 3kˆ, calcule: (a) ~u× ~w (b) ~w × ~v (c) ~u× (~v + ~w) (d) (~u× ~v). ~w (e) (2~u+ ~v)× 3~w (f) (~u+ 2~w) × (~u− 4~v) (g) ~u× (~w × ~v) (h) (~u× ~v)× ~w (i) (~w × ~u)× ~v 3. Determine um vetor que seja perpendicular ao plano formado pelos vetores: (a) ~u× ~w e (~w × ~u)× ~v (b) ~w × ~v e (~u+ 2~w) × (~u− 4~v) (c) ~u× (~v + ~w) e (~u× ~v)× ~w (d) (~u× ~v). ~w e ~w × ~v (e) (2~u+ ~v)× 3~w e ~u× ~w 42 CAPI´TULO 4. A´LGEBRA VETORIAL 4.6.3 Significado geome´trico Pode ser dada uma interpretac¸a˜o geome´trica para o comprimento do produto vetorial, |~a×~b|, atrave´s da figura. Figura 4.5: Interpretac¸a˜o do produto vetorial Como |~u× ~v| = |~u||~v|senθ |~u× ~v| = |~u|h Assim o mo´dulo do produto vetorial da´ a a´rea do paralelogramo definido pelos vetores ~u e ~v. Exerc´ıcios Extras 1. Prove que ~u · ~v = ~v · ~u e (~u · ~v) · ~w = ~u · (~v · ~w) 2. Prove, mediante um exemplo que o produto vetorial na˜o e´ comutativo e nem associativo 4.6. PRODUTO VETORIAL 43 3. Sejam ~u = (1, 2, 3), ~v = (−4, 2,−1)e ~w = (1,−2,−1). Calcule: (a) ~u · ~v (b) ~u× ~w (c) (~u · ~v) · ~w (d) ~u× (~v · ~w) (e) (~u× ~v) · ~w (f) 2~u× 3~w (g) ~u · 2w + 3~u · 4~v (h) ~u× (~w × ~v) (i) (~u× ~w)× ~v (j) 2~u · 3~w (k) ~u · (~v · ~w) (l) ~u× (~v · ~w) 4. Determine um vetor que seja perpendicular ao plano formado pelos vetores ~v = (3,−4,−6) e ~w = (8, 5, 0) 5. Calcule o mo´dulo de (3,−4,−6)× (8, 5, 0) 6. Sabe-se que o vetor (3, 6, -7) e´ paralelo ao vetor (3x, y + 2, 21). Calcule os valores de x e y 44 CAPI´TULO 4. A´LGEBRA VETORIAL VETORES 7. Determine x para que se tenha A¯ ~B = C¯ ~D, sendo A (x,1), B(4,x+3), C(x,x+2) e D(2x,x+6). 8. Escreva o vetor (7,-1), como a soma de dois vetores, um paralelo ao vetor (1,-1) e outro paralelo ao vetor (1,1). 9. Dados A(-1,-1) e B(3,5), determinar C, tal que (a) ~AC = 1 2 ~AB (b) ~AC = 2 3 ~AB. 10. Dados os vetores ~a = (2,−1) e ~b = (1, 3) , determinar um vetor ~c, tal que: (a) 2 3 ~c+ 1 2 [ 2(~c+ ~a)−~b ] = ~a+~c 2 (b) 4~a− 2~c = 1 3 ~b− ~c+~a 2 11. Dados os vetores ~a = (−1, 1, 2) e ~b = (2, 0, 4), determine ~v, tal que: (a) 2~v 3 − [ 2 (~v + ~a)−~b ] = ~a−~v 2 (b) 2 3 ~v − [ 2 (~v + ~a)−~b ] = ~b 4 − ~v−~a 2 12. Sejam os pontos M(1,−2,−2) e P (0,−1, 2) , determine um vetor ~v colinear a` ~PM e tal que |~v| = √3. 4.6. PRODUTO VETORIAL 45 13. Achar um vetor ~x de mo´dulo igual a 8 e de mesmo sentido que o vetor ~v = 6ˆi− 2jˆ + kˆ. 14. Dados ~a = iˆ+ 2jˆ − 3kˆ e ~b = 2ˆi+ jˆ − kˆ. Determine um versor dos vetores abaixo: (a) ~a+~b (b) 2~a− 3~b (c) 5~a+ 4~b PRODUTO ESCALAR 15. Sendo ~u = (2, 3, 1) e ~v = (1, 4, 5) . Calcular: (a) ~u · ~v (b) (~u− ~v) (c) (~u+ ~v)2 (d) (3~u− 2~v)2 (e) (2~u− 3~v) · (~u+ 2~v) 16. Sendo ~a = (2,−1, 1) , ~b = (1, 2,−2) e ~c = (1,−1, 1). Calcular um vetor ~v = (x, y, z) , tal que ~v· ~a= 4, ~v· ~b= –9 e ~v· ~c= 5. 17. Sejam os vetores ~a=(2,–m,–3),~b=(m+3,4–m,1)e ~c=(m,–2,7).Determinar m para que ~a·~b=(~a+~b)·~c. 18. Determinar o valor de x para que os vetores ~v1= x~i–2~j+3~k e ~v2=2~i–~j+2~k, sejam ortogonais. 46 CAPI´TULO 4. A´LGEBRA VETORIAL 19. Determine um vetor unita´rio ortogonal aos vetores ~a=(2,6,–1) e ~b=(0,–2,1). 20. O vetor −→v = (−1,−1,−2) forma um aˆngulo de 600 com o vetor A¯ ~B, onde A (0,3,4) e B(m, −1,2). Calcular o valor de m. 21. Decomponha o vetor ~v=(–1,2,–3) em dois vetores ~ae ~b, tais que ~a//~w e ~b⊥~w, com ~w=(2,1,–1). PRODUTO VETORIAL 22. Dados os vetores ~u=( –1,3,2),~v=(1,5,–2) e ~w=(-7,3,1). Calcule as coordenadas dos vetores: (a) ~u× ~v (b) ~v × ~w (c) ~v × (~u× ~w) (d) (~v × ~u)× ~w (e) (~u+ ~v)× (vecu+ ~w) (f) (~u− ~w)× ~w 23. Determinar o vetor ~v, sabendo que ele e´ ortogonal ao vetor −→a =(2,−3,1) e ao vetor −→b =(1,−2,3) e que satisfaz a seguinte condic¸a˜o; −→v • (−→i + 2−→j − 7−→k ) = 10. 24. Determine um vetor unita´rio ortogonal aos vetores ~v1=(–1,–1,0) e~v2=(0,–1–1). 25. Ache ~u tal que ||~u||=3√3e ~u e´ ortogonal a ~v=(2,3,−1) e a ~w=(2,−4,6). Dos ~u encontrados, qual forma aˆngulo agudo com o vetor (1,0,0). 4.6. PRODUTO VETORIAL 47 26. Sendo ~v1=(–2,1,–1) e ~v2=(0,y,z), calcule y e z de modo que ||~v1×~v2||= 4 √ 3 e que o vetor ~v=~v1×~v2 fac¸a aˆngulos congruentes com os eixos OX e OY. 27. Dados os vetores ~u=(1,−1,1) e ~v=(2,−3,4), calcular: (a) A a´rea do paralelogramo de determinado por ~u e ~v; (b) a altura do paralelogramo relativa a` base definida pelo vetor ~u 28. Dados os vetores ~u=(2,1,−1) e ~v=(1,−1,α), calcular o valor de α para que a a´rea do paralelo- gramo determinado por ~u e ~v seja igual a √ 62 48 CAPI´TULO 4. A´LGEBRA VETORIAL Cap´ıtulo 5 Esta´tica Um ponto material esta´ em equil´ıbrio, quando for nula a resultante do sistema de forc¸as a ele aplicado. Isso significa geometricamente que os vetores devem fechar um pol´ıgono Desse modo, para o estudo do equil´ıbrio do ponto material, e´ necessa´rio: 1. Reconhecimento das forc¸as atuantes 2. estabelecer um sistema cartesiano ortogonal, com origem no ponto material 3. Decomposic¸a˜o dos vetores representativos da forc¸a 4. Impor a condic¸a˜o de equilibrio: ∑ Fx = 0∑ Fy = 0 49 50 CAPI´TULO 5. ESTA´TICA Figura 5.1: Condic¸a˜o de equilibrio 51 Figura 5.2: Condic¸a˜o de equilibrio 52 CAPI´TULO 5. ESTA´TICA ∑ Fz = 0 Para o caso da figura 5.1, adotando como referencial um sistema cartesiano ∑ Fx = F1cos(θ)− F3 = 0∑ Fy = F1sen(θ)− F2 = 0 Portanto F1sen(θ) = F2 F1cos(θ) = F3 Dividindo uma equac¸a˜o pela outra: tan(θ) = F2 F3 ou Usando Pita´goras: F1 2 = F2 2 + F3 2 5.1. EXERCI´CIOS 53 5.1 Exerc´ıcios 1. Determine a resultante das forc¸as: (a) Figura 1 Figura 5.3: 1 (b) Figura 1b (c) Figura 2 (d) Figura 12.3 2. Uma forc¸a F de intensidade de 500N e´ decomposta em componentes cartesianas. Se sua com- ponente horizontal vale 285N. Calcule a componente vertical e o aˆngulo de inclinac¸a˜o da forc¸a dada. 54 CAPI´TULO 5. ESTA´TICA Figura 5.4: 1b Figura 5.5: 2 5.1. EXERCI´CIOS 55 Figura 5.6: 12.3 3. Uma estaca e´ arrancada do solo, figura 3: (a) Para α = 30o e P = 60N, calcule a resultante, fig. 3. (b) Para α = 30o calcule P para que a resultante horizontal seja nula 4. Calcule a resultante : 5. Calcule as trac¸o˜es das treˆs cordas na situac¸a˜o para um P de 150 N. 6. O esquema representa um sistema em equil´ıbrio, fig. 19. Dado um peso de 30N para o corpo A, calcule o peso do corpo B. 7. No sistema em equil´ıbrio, fig. 7 , o peso de A e´ 55 N. Calcule 56 CAPI´TULO 5. ESTA´TICA Figura 5.7: Problema 3 Figura 5.8: Problema 4 5.1. EXERCI´CIOS 57 Figura 5.9: Problema 5 Figura 5.10: Problema 19 58 CAPI´TULO 5. ESTA´TICA (a) peso de B (b) A intensidade da forc¸a de trac¸a˜o no trecho 1 Figura 5.11: Problema 7 8. A esfera de raio R e peso 80N esta´ pendurada na parede em equil´ıbrio, 12.10. Determinar (a) A intensidade da trac¸a˜o na corda. (b) A intensidade da forc¸a aplicada a parede.9. Calcule a trac¸a˜o em cada trecho da corda,fig. 9: 10. O sistema esta´ em equil´ıbrio, 10. Calcule a relac¸a˜o entre as massas. 5.1. EXERCI´CIOS 59 Figura 5.12: Problema 12.10 Figura 5.13: Problema 9 60 CAPI´TULO 5. ESTA´TICA Figura 5.14: Problema 10 Cap´ıtulo 6 Movimento unidimensional de ponto material A cinema´tica trata do movimento unidimensional de uma part´ıcula ou ponto material. A proposic¸a˜o e´ uma simplificac¸a˜o eficiente de va´rias situac¸o˜es cotidianas. Como part´ıcula ou ponto material, na˜o se pretende reduzir o tamanho dos corpos para diminutas dimenso˜es. Neste caso na˜o estamos interessados na extensa˜o do corpo nem em poss´ıveis rotac¸o˜es. Pode-se considerar um carro como um ponto material se deslocando... A condic¸a˜o de movimento unidimensional e´ apenas uma facilidade para a interpretac¸a˜o de conceitos que sera˜o desenvolvidos e generalizados para um movimento no espac¸o. Grandezas como desloca- mento, velocidade e acelerac¸a˜o sa˜o grandezas vetoriais que descrevem os problemas tratados. 61 62 CAPI´TULO 6. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL DE PONTO MATERIAL 6.1 Sistema De Coordenadas Para o estudo do movimento de um corpo e´ necessa´rio o estabelecimento de um sistema de coorde- nadas no qual e´ poss´ıvel obter medidas das grandezas envolvidas. E´ comum adotar um sistema cartesiano. Arbitra-se um ponto como origem e qualquer outro ponto indica a medida da distaˆncia em relac¸a˜o a essa origem. 6.2 Definic¸o˜es Elementares Considere a situac¸a˜o abaixo onde a bolinha desloca se pela linha. Para cada instante dado e´ poss´ıvel determinar a posic¸a˜o da bolinha em relac¸a˜o a uma referencia inicial. Figura 6.1: Trajeto´ria de um objeto E´ poss´ıvel estabelecer a seguinte relac¸a˜o: 6.2. DEFINIC¸O˜ES ELEMENTARES 63 Instante Posic¸a˜o Descric¸a˜o t = 0 origem Posic¸a˜o da bola no instante inicial da observac¸a˜o t = tA dA Posic¸a˜o, dA, da bola no instante, tA. t = tB dB Posic¸a˜o, dB, da bola no instante tB,. t = tC dC Posic¸a˜o, dC, da bola no instante, tC. t = tD dD Posic¸a˜o, dD, da bola no instante, tD. Como e´ bastante comum tambe´m pode ser usada a seguinte notac¸a˜o Instante Posic¸a˜o t0 = 0 d = x0 t1 = tA dA = x1 t2= tB dB = x2 t3 = tC dC = x3 t4 =tD dD = x4 64 CAPI´TULO 6. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL DE PONTO MATERIAL 6.3 Deslocamento, velocidade me´dia e acelerac¸a˜o Para discutir os conceitos, consideremos a situac¸a˜o do corpo em que foi determinada sua posic¸a˜o em va´rios instantes. Deslocamento E´ a diferenc¸a entre as posic¸o˜es respectivas entre os instantes ou em relac¸a˜o ao instante inicial. Genericamente ∆x = x2 − x1 ou ∆x = x2 − x0 A unidade no SI: metro. Mu´ltiplos mais comuns: cent´ımetro, quilometro. Velocidade me´dia E´ a raza˜o do deslocamento efetuado pelo intervalo de tempo requerido, ou seja: vm = ∆x ∆t = x2 − x1 t2 − t1 A unidade no SI: metro/segundo (m/s). Mu´ltiplos mais comuns: km/h, km/s. 6.3. DESLOCAMENTO, VELOCIDADE ME´DIA E ACELERAC¸A˜O 65 Acelerac¸a˜o Mede a variac¸a˜o da velocidade no tempo observado: a = ∆v ∆t = v2 − v1 t2 − t1 A unidade no SI: metro/segundo2 (m/s2). Mu´ltiplos mais comuns: cm/s2. Exemplo: Numa corrida de fo´rmula 1, a volta mais ra´pida foi feita em 1min e 20 s, a uma velocidade me´dia de 180 km/h. Qual o comprimento da pista? Soluc¸a˜o: Dados do problema Intervalo de tempo: 1min e 20 s = 60s+20s = 80s velocidade me´dia: 180 km h = 180 1000 m 3600s = 180 · 1000 1 · 3600 m s = 50 m s A conversa˜o foi necessa´ria para manter a consisteˆncia das unidades. Como vm = ∆x ∆t ⇒ ∆x = vm∆t = 50m s · 80s = 4000m = 4km Assim a pista tem 4km de extensa˜o. 66 CAPI´TULO 6. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL DE PONTO MATERIAL 6.4 Exerc´ıcios 1. As 15h00min um caminha˜o inicia uma viagem no marco 120 km de uma estrada. As 16h15min o caminha˜o passa pelo marco 250 km. Determine: (a) O deslocamento do caminha˜o (b) O tempo percorrido (c) A velocidade me´dia 2. Um nadador percorre a extensa˜o de uma piscina de 50m em 25s. Determine a velocidade me´dia do nadador. 3. Um passageiro observou que o oˆnibus percorreu 10 km nos dez primeiros minutos e mais 9 km nos 10 minutos seguintes. Qual a velocidade me´dia do oˆnibus? 4. Uma part´ıcula parte do repouso, e em 10 s, sua velocidade aumenta para 15m/s. Qual a acelerac¸a˜o me´dia da part´ıcula? 5. Um motorista aumenta a velocidade de um oˆnibus de 60 km/h para 78 km/h em 10 s. qual e´ a acelerac¸a˜o me´dia do oˆnibus? Cap´ıtulo 7 Cinema´tica Estudo das trajeto´rias dos objetos do sistema. O objetivo e´ responder a basicamente duas questo˜es: Qual a posic¸a˜o de uma part´ıcula em um instante qualquer? Qual a velocidade respectiva neste instante? Escrever as equac¸o˜es hora´rias do movimento e´ responder estas duas questo˜es de forma plena. O movimento pode ser caracterizado de diversas formas. Em cinema´tica, caracterizar a velocidade e´ suficiente, lembrando que v = ∆s/∆te´ poss´ıvel determinar a posic¸a˜o da part´ıcula com uma simples transposic¸a˜o. A grandeza que mede a variac¸a˜o da velocidade e´ a acelerac¸a˜o a = ∆v/∆t. Assim e´ a partir da observac¸a˜o da acelerac¸a˜o que pode-se definir o tipo de movimento. O resultado sa˜o equac¸o˜es que envolve a posic¸a˜o, a velocidade e a acelerac¸a˜o da part´ıcula em instantes particulares. Os tipos mais comuns de movimento sa˜o: 67 68 CAPI´TULO 7. CINEMA´TICA 1. O movimento retil´ıneo uniforme, quando a acelerac¸a˜o do movimento e´ nula 2. O movimento retil´ıneo uniformemente variado, quando a acelerac¸a˜o do movimento e´ constante Todas as definic¸o˜es dadas se referem ao movimento em apenas uma dimensa˜o, quando as carac- ter´ısticas vetoriais das grandezas envolvidas na˜o se apresentam. 7.1 Movimento Retil´ıneo Uniforme MRU Neste tipo de movimento, a acelerac¸a˜o e´ nula. Pela definic¸a˜o, tem-se: ∆v ∆t = 0 = a⇒ ∆v = 0 ou seja a velocidade na˜o varia, portanto v = v0 que e´ a velocidade inicial da part´ıcula. Ainda pela definic¸a˜o v = ∆s/∆t ∆s = v∆t s− s0 = v (t− t0) s = s0 + vt pois normalmente o instante inicial e´ dado como zero. Assim as equac¸o˜es hora´rias do Movimento Retil´ıneo Uniforme sa˜o: 7.1. MOVIMENTO RETILI´NEO UNIFORME MRU 69 a = 0 (7.1) v = v0 s = s0 + vt Exemplo 1. Dois pedestres partem de diferentes pontos. Percorrem a mesma trajeto´ria, obedecendo as seguintes func¸o˜es, no SI: s1(t) = 10 + 4t e s2(t)= 20 +2t. (a) Determine a posic¸a˜o dos dois ciclistas em t = 4s. (b) Determine o instante de encontro. (c) Determine a posic¸a˜o de encontro. Soluc¸a˜o Da func¸o˜es hora´rias dadas, basta obter a posic¸a˜o para t = 4s. s1(t) = 10 + 4t s1(t= 4s) = 10 + 4*4=10 + 16 = 26 m. A posic¸a˜o do primeiro ciclista. s2(t)= 20 +2t s2 (t= 4s) = 20 + 2*4=10 + 8 = 28 m. A posic¸a˜o do primeiro ciclista. O instante de encontro e´ dado quando: 70 CAPI´TULO 7. CINEMA´TICA s1(t) = s2(t) 10 + 4t = 20 +2t 4t-2t = 20 – 10 2t = 10 t = 5s que e´ o instante de encontro dos dois ciclistas. A posic¸a˜o de encontro e´ obtida aplicando a uma das duas equac¸o˜es dadas o instante t = 5s. Assim s1(t) = 10 + 4t s1(5) = 10 + 4*5 s1(5) = 30 m So´ confirmando s2(t)= 20 +2t s2(5)= 20 +2*5 s2(5)= 30 m 7.2 Exerc´ıcios 1. Dois pedestres partem de diferentes pontos. Percorrem a mesma trajeto´ria, obedecendo as seguintes func¸o˜es, no SI: s1(t) = 20 + 4t e s2(t)= 100 +2t. (a) Determine a posic¸a˜o dos dois pedestres em t = 5s (b) Determine o instante de encontro (c) Determine a posic¸a˜o de encontro. (d) Determine a distaˆncia inicial entre os dois 7.2. EXERCI´CIOS 71 2. Durante um nevoeiro, um navegador recebe dois sinais transmitidos simultaneamente por um posto na costa: um atrave´s do ar eoutro atrave´s da a´gua. Entre as recepc¸o˜es decorre um intervalo de tempo t = 5s. Nas condic¸o˜es da experieˆncia, a velocidade do som e´ de 340 m/s no ar e de 1504 m/s na a´gua. (a) Escreva a equac¸a˜o hora´ria para os dois movimentos (b) Determine a distaˆncia entre o barco e o posto emissor 3. Num dado instante, dois ciclistas esta˜o distanciados 60m. Eles percorrem a mesma trajeto´ria, obedecendo as seguintes func¸o˜es: s1 = 20 + 2t e s2 = -40 +3t. (a) Determine o instante de encontro. (b) Determine a posic¸a˜o de encontro em relac¸a˜o a` origem (c) Determine o instante em que o mais ra´pido estara´ 60m a frente 4. Uma part´ıcula esta´ em x = 5m, quando t = 0s; em x = -7m quando t = 6s, e em x = 2m, quando t = 10s. Determinar a velocidade me´dia nos intervalos (a) De 0s a 6s (b) De 6s a 10s (c) De 0s a 10s 5. Um automo´vel roda em linha reta com a velocidade me´dia de 96,5 km/h durante duas horas e meia, e depois com a velocidade me´dia de 49,3 km/h durante uma hora e meia. 72 CAPI´TULO 7. CINEMA´TICA (a) Qual o deslocamento total durante as quatro horas. (b) Qual a velocidade me´dia durante toda a viagem. Cap´ıtulo 8 Movimento Retil´ıneo Uniformemente Variado Outro tipo de movimento bem caracterizado e´ o movimento retil´ıneo uniformemente variado MRUV. Neste caso a part´ıcula observa uma variac¸a˜o de velocidade constante, o que quer dizer uma acelerac¸a˜o constante. Da mesma forma que no MRU, o objetivo e´ determinar a posic¸a˜o e velocidade da part´ıcula em qualquer instante, especificando a sua equac¸a˜o hora´ria. Da definic¸a˜o de acelerac¸a˜o 73 74 CAPI´TULO 8. MOVIMENTO RETILI´NEO UNIFORMEMENTE VARIADO a = ∆v ∆t ∆v = a∆t v − v0 = a (t− t0) v = v0 + at Esta e´ a equac¸a˜o hora´ria para a velocidade, com a considerac¸a˜o que t0 = 0, o instante inicial de observac¸a˜o. A obtenc¸a˜o da equac¸a˜o da posic¸a˜o na part´ıcula envolve uma manipulac¸a˜o alge´brica que na˜o sera´ mostrada. A fo´rmula resultante e´: s = s0 + v0t+ at2 2 Assim a equac¸a˜o hora´ria para o MRUV e´ dada pelas seguintes fo´rmulas: a = constante v = v0 + at s = s0 + v0t+ at2 2 com s0 posic¸a˜o inicial v0 velocidade inicial a acelerac¸a˜o do sistema t tempo Para completar essas equac¸o˜es, uma fo´rmula bastante usada e´ a equac¸a˜o de Torricelli, que rela- ciona as grandezas: posic¸a˜o, velocidade e acelerac¸a˜o entre si desconsiderando o tempo: 75 v2 = v20 + 2a∆s Exemplo 1. Um objeto realiza um MUV com equac¸a˜o hora´ria s = 18− 9t+ t2. (a) Qual o espac¸o inicial, a velocidade inicial e a acelerac¸a˜o do movimento? (b) Qual a equac¸a˜o hora´ria da velocidade? (c) Qual o instante em que o mo´vel muda de sentido? (d) O mo´vel passa pela origem da trajeto´ria? (e) Construa o gra´fico sxt e vxt Soluc¸a˜o 1. (a) Espac¸o inicial, a velocidade inicial e a acelerac¸a˜o do movimento Da equac¸a˜o hora´ria dada, tem-se: s = s0 + v0t+ at2 2 s = 18− 9t+ 1t2 s = 18− 9t+ 2t2 2 Assim s0 = 18m v0 = −9m/s a = 2m/s2 76 CAPI´TULO 8. MOVIMENTO RETILI´NEO UNIFORMEMENTE VARIADO (b) A equac¸a˜o hora´ria da velocidade e´ v = v0 + at Assim v = −9 + 2t e´ a equac¸a˜o hora´ria da velocidade (c) Para mo´vel mudar de sentido ele deve parar e retornar pela mesma trajeto´ria. Parar significa ter velocidade zero. Usando assim a equac¸a˜o da velocidade v = −9 + 2t 0 = −9 + 2t 2t = 9 E este t = 9 2 = 4, 5s e´ o instante que o mo´vel comec¸a o retorno. (d) O mo´vel passa pela origem da trajeto´ria quando s = 0. usando a equac¸a˜o de posic¸a˜o, tem-se: s = 18− 9t+ 1t2 0 = 18− 9t+ 1t2 Usando a fo´rmula de Baskara para resolver esta equac¸a˜o, tem-se: Logo t = 3s ou t = 6s sa˜o os instantes em que a part´ıcula passa pela origem. (e) Os gra´ficos 8.1. EXERCI´CIOS 77 8.1 Exerc´ıcios 1. Um objeto realiza um MUV com equac¸a˜o hora´ria s = 20− 10t+ 2t2. (a) Qual o espac¸o inicial, a velocidade inicial e a acelerac¸a˜o do movimento? (b) Qual a equac¸a˜o hora´ria da velocidade? (c) Qual o instante em que o mo´vel muda de sentido? (d) O mo´vel passa pela origem da trajeto´ria? (e) Construa o gra´fico sxt e vxt 2. Um automo´vel partindo do repouso acelera a 3 m/s2 constantemente. (a) Escreva a equac¸a˜o da posic¸a˜o do automo´vel (b) Escreva a equac¸a˜o da velocidade do automo´vel (c) Determine o instante em que a velocidade do automo´vel e´ de 72 km/h (d) O mo´vel passa pela origem da trajeto´ria? (e) Construa o gra´fico sxt e vxt 3. Um automo´vel esta´ parado num sinal luminoso. Quando o sinal abre, ele comec¸a a se movimen- tar com acelerac¸a˜o constante de 4 m/s2. No mesmo instante passa por ele outro com velocidade constante de 10m/s. Determine: (a) Em quanto tempo, apo´s a abertura do sinal, o primeiro carro alcanc¸a o segundo. 78 CAPI´TULO 8. MOVIMENTO RETILI´NEO UNIFORMEMENTE VARIADO (b) Qual a distaˆncia percorrida ate´ o encontro. (c) A velocidade do primeiro carro no instante do encontro. 4. Um automo´vel desloca-se com a velocidade de 20 m/s. A partir do instante t = 0, seu motorista aplica os freios ate´ o carro parar. Admitindo que a acelerac¸a˜o tenha mo´dulo igual a 4 m/s2 e e´ constante, determine a distaˆncia percorrida pelo carro desde a aplicac¸a˜o dos freios ate´ sua parada. Cap´ıtulo 9 Exerc´ıcios de Cinema´tica 1. Um corpo, caindo da nas proximidades da Terra, fica sujeito a uma acelerac¸a˜o de 10 m/s2. A cada segundo acontece que: (a) A velocidade do corpo aumenta 36 km/h (b) O corpo percorre 100m (c) A velocidade do corpo aumentou em 10m/s (d) O corpo cai com a mesma velocidade (e) A velocidade do corpo diminui 5m/s 2. Um automo´vel de competic¸a˜o e´ acelerado de forma tal que sua velocidade em func¸a˜o do tempo (t) e´ dada pela tabela. 79 80 CAPI´TULO 9. EXERCI´CIOS DE CINEMA´TICA t(s) 5 10 15 v(m/s) 20 50 60 (a) Calcule a acelerac¸a˜o me´dia no intervalo de 5 a 10 s (b) Calcule a acelerac¸a˜o me´dia no intervalo de 10 a 15 s (c) Calcule a acelerac¸a˜o me´dia no intervalo de 5 a 15 s 3. Escreva a func¸a˜o hora´ria da velocidade do MUV e esboce o gra´fico de velocidade por tempo, de um mo´vel com tabela hora´ria dada por: v(m/s) -5 -3 -1 1 3 5 7 t(s) 0 1 2 3 4 5 6 4. Um carro acelera, a partir do repouso, a 8m/s2. (a) Qual a sua velocidade no instante t = 10s? (b) Que distaˆncia percorreu depois de 10s? (c) Qual a velocidade me´dia nesse intervalo de tempo? 5. Uma part´ıcula esta´ em x = 5m, quando t = 0s; em x = -7m quando t = 6s, e em x = 2m, quando t = 10s. Determinar a velocidade me´dia nos intervalos (a) De 0s a 6s (b) De 6s a 10s (c) De 0s a 10s 81 6. Um automo´vel roda em linha reta com a velocidade me´dia de 100 km/h durante treˆs horas, e depois com a velocidade me´dia de 50 km/h durante uma hora e meia. (a) Qual o deslocamento total durante as quatro horas. (b) Qual a velocidade me´dia durante toda a viagem. 7. A partir dado instante, dois ciclistas percorrem a mesma trajeto´ria, obedecendo as seguintes func¸o˜es: s1 = 40 + 4t e s2 = −40 + 5t (a) Determine o instante de encontro. (b) Determine a posic¸a˜o de encontro em relac¸a˜o a` origem. (c) Calcule a velocidade me´dia de ambos do instante inicial ate´ o instante de encontro. (d) Esboce o gra´fico da distaˆncia entre os dois do instante inicial ate´ o instante de encontro. 8. Um automo´vel esta´ a 30 km/h no instante t = 0 s. Ele e´ acelerado a raza˜o de 180 km/h.s (a) Qual a velocidade em t = 1 s? (b) Qual a velocidade em t = 2 s? (c) Qual a velocidade,em m/s, num instante qualquer? 9. A velocidade de uma part´ıcula e´ dada na tabela abaixo: t(s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 v(m/s)0 5 10 15 45 65 70 60 -30 -50 -55 -55 (a) Fac¸a o gra´fico de velocidade por tempo ligando os pontos com uma linha suave 82 CAPI´TULO 9. EXERCI´CIOSDE CINEMA´TICA (b) Indique os instantes em que a velocidade e´ ma´xima (c) Indique os instantes em que a velocidade e´ mı´nima (d) Indique os instantes em que a velocidade e´ nula (e) Indique os instantes em que a velocidade e´ constante (f) Indique os instantes em que a acelerac¸a˜o e´ positiva (g) Indique os instantes em que a acelerac¸a˜o e´ negativa. 10. Um carro, partindo do repouso, num movimento com acelerac¸a˜o constante de 1m/s2, durante 5 segundos. Desliga-se enta˜o o motor e, devido ao atrito, o carro volta ao repouso com retar- damento constante de 0,5 m/s2. Calcule: (a) o percurso total do movimento (b) o tempo total do movimento 11. Um objeto realiza um MUV com equac¸a˜o hora´ria s = 18− 9t+ t2 (a) Qual o espac¸o inicial, a velocidade inicial e a acelerac¸a˜o do movimento? (b) Qual a equac¸a˜o hora´ria da velocidade? (c) Qual o instante em que o mo´vel muda de sentido? (d) O mo´vel passa pela origem da trajeto´ria? (e) Esboce o gra´fico de espac¸o e velocidade. 83 12. Um mo´vel realiza um movimento uniformemente variado cuja func¸a˜o hora´ria e´ dada por: s = 3− 4t+ 2t2 (a) Qual a velocidade e a acelerac¸a˜o me´dia no instante t = 2s (b) Qual o deslocamento no instante t = 2s. (c) Qual a equac¸a˜o hora´ria da velocidade? (d) Quando o mo´vel passa pela origem? (e) Qual o instante em que o mo´vel muda de sentido? (f) Esboce o gra´fico de espac¸o e velocidade. 13. Um automo´vel esta´ parado num sinal luminoso. Quando o sinal abre, ele comec¸a a se movimen- tar com acelerac¸a˜o constante de 5 m/s2. No mesmo instante passa por ele outro com velocidade constante de 15m/s.Determine: (a) Em quanto tempo, apo´s a abertura do sinal, o primeiro carro alcanc¸a o segundo. (b) Qual a distaˆncia percorrida ate´ o encontro. (c) A velocidade do primeiro carro no instante do encontro. (d) A velocidade me´dia de ambos, da abertura do sinal ate´ o encontro. 14. Um mo´vel parte do repouso com acelerac¸a˜o de 2 m/s2 no mesmo sentido de outro mo´vel de velocidade constante de 6 m/s e distante do primeiro 8 m do primeiro. Determine: (a) Qual tempo gasto ate´ o encontro. 84 CAPI´TULO 9. EXERCI´CIOS DE CINEMA´TICA (b) Qual a distaˆncia percorrida ate´ o encontro. (c) A velocidade do primeiro mo´vel no instante do encontro. (d) A velocidade me´dia de ambos ate´ o encontro. 15. Um trem de 150 m de comprimento atinge a boca de um tu´nel e depois de 40 s o atravessa completamente. Sabendo que a velocidade do trem e´ de 72 km/h, calcule a extensa˜o do tu´nel. 16. Dois pontos A e B, esta˜o numa mesma reta e separados por uma distaˆncia d. Dois mo´veis passam pelo ponto A, rumo a B, com velocidades constantes de 3m/s e 7m/s. O mo´vel mais ra´pido leva dois segundos a menos que o mais lento para percorrer a distancia AB. Determine a distaˆncia d. 17. Um trem sai da estac¸a˜o com velocidade constante de 50 km/h num percurso ret´ılineo. Quanto tempo depois de sua partida devera´ sair, outro trem na mesma estac¸a˜o, com velocidade de 75 km/h para alcanc¸a´-lo a 120 km da estac¸a˜o? 18. Um ve´ıculo entra num tu´nel com velocidade de 54 km/h, deslocando num movimento uniforme- mente variado. Passados 10 s, o ve´ıculo sai com velocidade de 72 km/h. Qual o tamanho do tu´nel? 19. Um trem de 100 m de comprimento, atravessa um tu´nel de 200m de comprimento, com MUV. O trem entra com velocidade escalar de 14 m/s e sai completamente dele com velocidade escalar de 26m/s. Qual o tempo de travessia do tu´nel? Cap´ıtulo 10 Introduc¸a˜o a dinaˆmica O estudo das causas do movimento e´ feito atrave´s das Leis de Newton. Tais leis relacionam as grandezas deslocamento, velocidade e acelerac¸a˜o para a descric¸a˜o da trajeto´ria de uma part´ıcula. 10.1 As leis de Newton Estabelecida em treˆs leis, com a primeira determinando um referencial em que sa˜o aplica´veis as consequentes. 10.1.1 Primeira Lei de Newton - Lei de Ine´rcia Uma particula livre da ac¸a˜o de forc¸as se move com velocidade constante 85 86 CAPI´TULO 10. INTRODUC¸A˜O A DINAˆMICA Figura 10.1: Galileo e seus alunos, cientista foi um dos precursores da Cieˆncia e discutiu muitas das ide´ias aristote´licas Figura 10.2: Ilustrac¸a˜o da Primeira Lei. 10.1. AS LEIS DE NEWTON 87 Exemplo - Um peˆndulo no oˆnibus Figura 10.3: Efeitos da inercia. 10.1.2 Segunda Lei de Newton - A resultante das forc¸as Uma particula sobre a ac¸a˜o de diversas forc¸as se movimenta regida pela expressa˜o ~R = ∑ ~Fi = m~a Relaciona as forc¸as envolvidas e o resultado l´ıquido para o movimento da part´ıcula. A resultante das forc¸as sobre uma part´ıcula e´ igual a massa da part´ıcula multiplicada pela acel- erac¸a˜o proveniente do sistema de forc¸as. 88 CAPI´TULO 10. INTRODUC¸A˜O A DINAˆMICA Figura 10.4: Ilustrac¸a˜o da Segunda Lei 10.1.3 Terceira Lei de Newton Princ´ıpio de Ac¸a˜o e Reac¸a˜o A toda ac¸a˜o corresponde uma reac¸a˜o de mesma intensidade e direc¸a˜o, mas de sen- tido contra´rio Figura 10.5: Ilustrac¸a˜o da Terceira Lei 10.1. AS LEIS DE NEWTON 89 10.1.4 Discussa˜o das treˆs leis Para aplicar tais leis, cada um dos sistemas deve ser isolado e tratado separadamente. A forc¸a F e´ aplicada sobre os dois blocos, na˜o ha´ atrito com o plano horizontal. Calcule a acelerac¸a˜o para o sistema Figura 10.6: Sistema sob ac¸a˜o de um aforc¸a externa Isolando o sistema, implementac¸a˜o do diagrama de corpo livre Devido a forc¸a F o corpo 2 devera´ se deslocar para a esquerda. Isso so´ e´ poss´ıvel se o corpo 1 tambe´m se deslocar, assim o corpo 2 aplica uma ac¸a˜o F21 sobre o bloco 1. Pelo princ´ıpio de ine´rcia, o corpo 1 oferece uma reac¸a˜o ao corpo 2, F12. Considerando a orientac¸a˜o positiva como no desenho, quando forc¸as que concordam com a direc¸a˜o indicada tem sinal positiva e forc¸as que discordam tem sinal negativa. Pode se estabelecer as seguintes equac¸o˜es: Para o corpo 1 F21 = m1a Para o corpo 2 F − F12 = m2a O pro´ximo passo e´ somar as duas igualdades, obtendo: F21 + F − F12 = m2a+m1a 90 CAPI´TULO 10. INTRODUC¸A˜O A DINAˆMICA Figura 10.7: Diagrama de corpo livre F + F21 − F12 = (m1 +m2) a Como F21 e F12 formam um par ac¸a˜o e reac¸a˜o, isso significa que tem intensidades iguais e podem ser cancelados. Assim: F = (m1 +m2) a E a acelerac¸a˜o do sistema esta´ estabelecida. a = F (m1 +m2) 10.2. NOC¸O˜ES DE FORC¸A, PESO E QUEDA LIVRE. AS LEIS DE NEWTON. 91 10.2 Noc¸o˜es de forc¸a, peso e queda livre. As Leis de New- ton. Quando levantamos ou movimentamos alguma objeto dizemos que estamos fazendo forc¸a sobre uma objeto. Essa ide´ia sobre a ac¸a˜o que fazemos ou sofremos sobre os objetos que esta˜o a nossa volta tambe´m esta´ presente no estudo de dinaˆmica que pretende estabelecer a relac¸a˜o de causa e efeito entre os objetos de um sistema f´ısico. Adiante os objetivos da cinema´tica que pretende apenas estabelecer a trajeto´ria de um objeto em movimento, a dinaˆmica quer determinar a causa desse movimento para permitir prever a trajeto´ria em func¸a˜o dessa relac¸a˜o de causa e efeito. E´ ate´ parte do folclore a histo´ria da mac¸a caindo na cabec¸a de Isaac Newton. Reza a lenda que Newton descansava embaixo de um macieira pensando em como determinar as leis que governavam o movimento no universo, quando uma pequena mac¸a caiu sobre sua cabec¸a. Acordado dos seus sonhos Newton percebeu que a mac¸a caia porque a Terra atraia a mac¸a˜ para o seu centro e mais ainda a mac¸a˜ tambe´m atraia a Terra na mesma intensidade. Estava descoberta a forc¸a de atrac¸a˜o entre os objetos, mais conhecida como forc¸a de gravidade. Deve ficar claro que essa forc¸a e´ em particular a atrac¸a˜o da Terra sobre todos os objetos ao seu redor, e e´ apenas uma situac¸a˜o bastante familiar pois vivemos aqui. Mas essa forc¸a tambe´m aparece entre o Sol e a Terra, com o Sol mantendoo seu domı´nio sobre a o´rbita da Terra devido ao seu imenso tamanho. Assim a Terra esta´ para a mac¸a˜ que cai, assim como o Sol esta´ para a Terra. Ha´ uma clara distinc¸a˜o entre a massa que o corpo possui, pois esta´ lhe e´ inerente. E a atrac¸a˜o gravitacional existente entre dois objetos. Essa atrac¸a˜o e´ uma forc¸a e no caso da Terra, para todos os corpos ao seu redor, dizemos que e´ seu peso que e´ definido como: P = mg com m a massa do objeto e g a acelerac¸a˜o da gravidade. O valor de g, para as situac¸o˜es tratadas nos problemas iniciais, pode ser considerado constante e igual a 10 m/s2. 92 CAPI´TULO 10. INTRODUC¸A˜O A DINAˆMICA Assim uma pessoa com 100 kg na Terra tera´ os mesmo 100 kg. No entanto seu peso sera´ bem diferente pois na Terra sera´ de 1000N enquanto na Lua sera´ de aproximadamente um sexto deste valor. Por isso que nas imagens da Lua os astronautas conseguem pular e saltar com tanta facilidade. A Lua exerce sobre uma atrac¸a˜o muito menor. 10.3 Casos especiais 10.3.1 Forc¸a Peso Simplesmente e´ a atrac¸ao gravitacional que a Terra exerce sobre todos os corpos. Verifica se em- piricamente que a acelerac¸a˜o da gravidade e´ uma constante, para a maioria das aplicac¸o˜es. Assim a forc¸a peso e´ vertical, no sentido para baixo e com mo´dulo dado por: ~P = m~g 10.3.2 Forc¸a de Atrito Aparece do contato entre duas superf´ıcies quaisquer, microscopicamente e´ explicada pelas irregular- idades na superf´ıcie. E´ definida como uma frac¸a˜o da reac¸a˜o sobre o corpo. fat ≡ µN 10.3. CASOS ESPECIAIS 93 Exemplo 1. O esquema representa um conjunto de dois blocos A e B de massas mA=1 kg, mB =2 kg; no plano horizontal ha´ atrito com µ = 0, 3. A forc¸a F = 15 N,fig 10.3.2. Determine: (a) A intensidade da forc¸a peso de cada bloco (b) A intensidade da forc¸a de atrito (c) A acelerac¸a˜ do sistema (d) A intensidade da forc¸a que A aplica em B (e) A intensidade da forc¸a que B aplica em A Figura 10.8: Sistema com dois corpos 1. Soluc¸a˜o (a) A intensidade da forc¸a peso de cada bloco Para cada bloco vale P = mg, portanto PA= mA g =1 10 = 10 N PB= mB g =2 10 = 20 N 94 CAPI´TULO 10. INTRODUC¸A˜O A DINAˆMICA 2. A intensidade da forc¸a de atrito FatA= mmA g =0,3 1 10 = 3 N FatB= mmB g =0,3 2 10 = 6 N 3. A acelerac¸a˜ do sistema Considere o diagrama de corpo livre Figura 10.9: Diagrama de corpo livre Aplicando a segunda lei de Newton. Corpo A Na vertical PA −NA = 0 1 Na horizontal F − fat − PA − TBA = mAa 2 Corpo B Na vertical PB −NB = 0 3 10.3. CASOS ESPECIAIS 95 Na horizontal TAB − fatB = mBa 4 Somando as equac¸o˜es 2 e 4 obte´m-se: F − fatPA + (TAB − TBA)− fatB = mAa+mBa F − fatPA − fatB = (mA +mB) a F − µNA − µNB = (mA +mB) a F − µmAg − µmBg = (mA +mB) aF − µ (mA −mB) g = (mA +mB) a Substituindo os valores 15− 0, 3 (1 + 2) 10 = (1 + 2) a 6 = 3a a = 2m/s2 96 CAPI´TULO 10. INTRODUC¸A˜O A DINAˆMICA 4. A intensidade da forc¸a que A aplica em B Como TAB = TBA, pois este e´ o par ac¸a˜o e reac¸a˜o e assim podemos fazer TAB = TBA = T 5. A intensidade da forc¸a que A aplica em B Usando a equac¸a˜o 4 TAB = mBa+ fatB TAB = mBa+ µNB TAB = 2 · 2 + 0.3 · 2 · 10 TAB = 10N 6. A intensidade da forc¸a que B aplica em A Como TAB = TBA enta˜o TBA = 10 N , mas em sentido contra´rio 10.4. SISTEMAS DE MU´LTIPLOS CORPOS 97 10.4 Sistemas de Mu´ltiplos Corpos A vantagem da aplicac¸a˜o da Lei de Newton em sistemas de mu´ltiplos corpos esta´ na construc¸a˜o do diagrama do corpo livre. Assim mesmo um sistema contendo inu´meros corpos pode ser resolvido, pro- duzindo um nu´mero de equac¸o˜es concernentes a cada corpo considerando um sistema de coordenadas em duas dimenso˜es. Considere a situac¸a˜o dada: Para os treˆs corpos A, B e C com massas 7 kg e 1 kg e 3 kg respectivamente. Considerando o fio ideal, adotando g = 10 m/s2 e admitindo um coeficiente de atrito e´ 0,5 para o corpo C e o plano horizontal. Figura 10.10: Sistema Inicial Determine: 1. (a) A acelerac¸a˜o do sistema (b) A intensidade das forc¸as de trac¸a˜o nos fios (c) A intensidade das forc¸as nos blocos 98 CAPI´TULO 10. INTRODUC¸A˜O A DINAˆMICA 1. Soluc¸a˜o Considere o diagrama de corpo livre Figura 10.11: diagrama de corpo livre Aplicando a segunda lei de Newton. Corpo A Na vertical PA − T = mAa 1 Corpo B Na vertical PB −NB = 0 2 Na horizontal T − T ′ = mBa 3 Corpo C 10.4. SISTEMAS DE MU´LTIPLOS CORPOS 99 Na vertical PC −NC = 0 4 Na horizontal T ′ − fat = mCa 5 Somando as equac¸o˜es 1, 3 e 5 obte´m-se: PA − T + T − T ′ + T ′ − fat = mAa+mBa+mCa Cancelando os pares de ac¸a˜o e reac¸a˜o: PA − fat = (mA +mB +mC) a PA − µNC = (mA +mB +mC) a (a) Obtendo finalmente para a acelerac¸a˜o do sistema a = mAg − µmCg (mA +mB +mC) Substituindo os valores a = 7 · 10− 0, 5 · 3 · 10 (7 + 1 + 3) = 55 11 = 5m/s2 a = 5m/s2 100 CAPI´TULO 10. INTRODUC¸A˜O A DINAˆMICA (b) A intensidade da forc¸a que A aplica em B Usando a equac¸a˜o 1 T = mAa+ PA T = 7 · 5 + 7 · 10 T = 105N (c) A intensidade da forc¸a que B aplica em C, usando 3 T ′ = T +mBa T ′ = 105 + 1 · 5 T ′ = 110N (d) A intensidade nos blocos, basta usar o lado direito de 1, 3 e 5. FA = mAa = 7 · 5 = 35N FB = mBa = 1 · 5 = 5N FC = mCa = 3 · 5 = 15N 10.5. PLANO INCLINADO SEM ATRITO 101 10.5 Plano Inclinado sem atrito Para os corpos A e B com massas mA = 3 kg e mB = 7 kg. Considerando o fio ideal, adotando g = 10 m/s2 e aˆngulo de inclinac¸a˜o de 30o . Determine: Figura 10.12: Sistema Inicial 1. (a) A acelerac¸a˜o do sistema (b) A intensidade das forc¸as de trac¸a˜o nos fios (c) A intensidade das forc¸as nos blocos Soluc¸a˜o Considere o diagrama de corpo livre Aplicando a segunda lei de Newton. Corpo A 102 CAPI´TULO 10. INTRODUC¸A˜O A DINAˆMICA Figura 10.13: diagrama de corpo livre Na vertical PA −NA = 0 1 Na horizontal T = mAa 2 Corpo B Perceba que o peso de B foi decomposto em duas componentes: Paralela ao plano inclinado e´ Px Perpendicular ao plano inclinado e´ Py De considerac¸o˜es geome´tricas: Px = Psenα Py = P cosα Assim Em Px Px − T = mBa 3 10.5. PLANO INCLINADO SEM ATRITO 103 Em Py Py −NB = 0 4 Somando as equac¸o˜es 2 e 3 obte´m-se: Px − T + T = mAa+mBa Cancelando os pares de ac¸a˜o e reac¸a˜o: Psenα = (mA +mB) a Obtendo finalmente a = Psenα (mA +mB) = mbsenα (mA +mB) g Substituindo os valores a = 7sen30 (3 + 7) 10 = 3, 5m/s2 104 CAPI´TULO 10. INTRODUC¸A˜O A DINAˆMICA 10.6 Plano Inclinado com atrito Para os corpos A e B e C com massas mA = 3 kg e mB = 7 kg. Considerando o fio ideal, coeficiente de atrito de m =0,5, g = 10 m/s2 e aˆngulo de inclinac¸a˜o de 30o . Determine a acelerac¸a˜o do sistema Figura 10.14: Sistema Inicial Soluc¸a˜o Considere o diagrama de corpo livre Aplicando a segunda lei de Newton. Corpo A Na vertical PA −NA = 0 1 Na horizontal T = mAa 2 Corpo B Perceba que o peso de B foi decomposto em duas componentes: Paralela ao plano inclinado e´ Px Perpendicular ao plano inclinado e´ Py 10.6. PLANO INCLINADO COM ATRITO 105 Figura 10.15: diagrama de corpo livre De considerac¸o˜es geome´tricas: Px = Psenα Py = P cosα Assim Em Px Px − T − fat = mBa 3 Em Py Py −NB = 0 4 Somando as equac¸o˜es 2 e 3 obte´m-se: Cancelando os pares de ac¸a˜o e reac¸a˜o: Psenα = (mA +mB) a Comofat = µNB = µP cosα, valor obtido pela equac¸a˜o 4, pode se escrever: 106 CAPI´TULO 10. INTRODUC¸A˜O A DINAˆMICA Psenα− µP cosα = (mA +mB) a P (senα− µ cosα) = (mA +mB) a a = P (senα− µ cosα) (mA +mB) Obtendo finalmente a = mbg (senα− µ cosα) (mA +mB) Substituindo os valores a = mbg (senα− µ cosα) (mA +mB) = 7 · 10 (sen30− 0, 5 · cos 30) (3 + 7) = 0, 46m/s210.6. PLANO INCLINADO COM ATRITO 107 Exerc´ıcios 1. O esquema representa um conjunto de dois blocos A e B de massas mA=1 kg, mB =2 kg; num plano horizontal sem atrito. O sistema tem acelerac¸a˜o de 3m/s2, fig. 1. Determine: Figura 10.16: Problema 1 (a) A intensidade da forc¸a F (b) A intensidade da forc¸a que A aplica em B (c) A intensidade da forc¸a que B aplica em A 2. O esquema representa um conjunto de dois blocos A e B de massas mA= 2 kg, mB = 4 kg; num plano horizontal sem atrito. A forc¸a F = 25N, fig. 2. Determine: Figura 10.17: Problema 2 (a) O valor da acelerac¸a˜o 108 CAPI´TULO 10. INTRODUC¸A˜O A DINAˆMICA (b) A intensidade da forc¸a que A aplica em B (c) A intensidade da forc¸a que B aplica em A 3. Um bloco de 80 kg repousa num plano horizontal, sobre ele e´ aplicado sobre ele uma forc¸a F na horizontal e para a esquerda. Considerando que o coeficiente de atrito e´ 0,25 e o bloco acelerado com acelerac¸a˜o de 2,5 m/s2. Qual a intensidade de F? Qual a intensidade da forc¸a de atrito. 4. Para os treˆs corpos A, B e C com massas 2 kg , 3 kg e 1 kg respectivamente. Desprezando todos os atritos, considerando o fio ideal e adotando g = 10 m/s2. Determine: Figura 10.18: 4 (a) A acelerac¸a˜o do sistema (b) A intensidade das forc¸as de trac¸a˜o nos fios 10.6. PLANO INCLINADO COM ATRITO 109 (c) A intesidade das forc¸as nos blocos 5. Para o sistema sem atrito, determine: Figura 10.19: 5 (a) A acelerac¸a˜o dos corpos (b) A intensidade das forc¸as de trac¸a˜o nos fios (c) A inteNsidade das forc¸as nos blocos Dados: mA=3 kg, mB = 5 kg, mC= 12 kg e F = 150N. 6. Repita o exerc´ıcio anterior considerando agora uma atrito de 0,5 entre cada bloco e o plano horizontal 7. Para os corpos A e B e C com massas mA = 5 kg e mB = 7 kg. Considerando o fio ideal, adotando g = 10 m/s2 e aˆngulo de inclinac¸a˜o de 45o . Determine: (a) A acelerac¸a˜o do sistema (b) A intensidade das forc¸as de trac¸a˜o nos fios 110 CAPI´TULO 10. INTRODUC¸A˜O A DINAˆMICA Figura 10.20: 7 8. Para os corpos A e B e C com massas mA = 4 kg e mB = 4 kg. Considerando o fio ideal, adotando g = 10 m/s2 e aˆngulo de inclinac¸a˜o de 60o . Determine: (a) A acelerac¸a˜o do sistema (b) A intensidade das forc¸as de trac¸a˜o nos fios 10.6. PLANO INCLINADO COM ATRITO 111 Figura 10.21: 8 112 CAPI´TULO 10. INTRODUC¸A˜O A DINAˆMICA Cap´ıtulo 11 Lista de Dinaˆmica 11.0.1 Dinaˆmica Blocos e Fios em superf´ıcie sem atrito 1. O esquema representa um conjunto de dois blocos A e B de massas mA=1 kg, mB =2 kg; num plano horizontal sem atrito. O sistema tem acelerac¸a˜o de 3m/s2. Determine: (a) A intensidade da forc¸a F (b) A intensidade da forc¸a que A aplica em B (c) A intensidade da forc¸a que B aplica em A 113 114 CAPI´TULO 11. LISTA DE DINAˆMICA Figura 11.1: Problema 1 2. O esquema representa um conjunto de treˆs blocos A, B e C de massas mA=1 kg, mB =2 kg, mC=3 kg; num plano horizontal sem atrito. Em A e´ aplicada uma forc¸a de intensidade 12N. Determine: Figura 11.2: Problema 2 (a) A acelerac¸a˜o do sistema (b) A intensidade da forc¸a que A aplica em B (c) A intensidade da forc¸a que C aplica em B 3. O conjunto de dois blocos A e B de massas mA=2 kg, mB =4 kg; esta˜o ligados por um fio ideal e apoiados num plano horizontal sem atrito. O sistema e´ submetido a uma forc¸a de intensidade de 12N Determine: (a) A acelerac¸a˜o do sistema 115 Figura 11.3: Problema 3 (b) A intensidade da forc¸a nos blocos (c) A intensidade da forc¸a no fio 4. Para o sistema, dados: mA=3 kg, mB = 5 kg, mC= 12 kg e F = 10N, determine: Figura 11.4: Problema 4 (a) A acelerac¸a˜o dos corpos (b) A intensidade das forc¸as de trac¸a˜o nos fios (c) A intesidade das forc¸as nos blocos 5. Para os dois corpos A e B com massas 3 kg e 7 kg respectivamente. Desprezando todos os atritos, considerando o fio ideal e adotando g = 10 m/s2. Determine: (a) A acelerac¸a˜o do sistema 116 CAPI´TULO 11. LISTA DE DINAˆMICA Figura 11.5: Problema 5 (b) A intensidade da forc¸a de trac¸a˜o no fio (c) A intesidade das forc¸as nos blocos 6. No exerc´ıcio anterior inverta os valores de massa de A e B e recalcule os itens pedidos. Aparecem diferenc¸as? Justifique. 7. Para o sistema, dados: mA=2 kg, mB = 3 kg, mC= 5 kg e g = 10m/s2., determine: (a) A acelerac¸a˜o dos corpos (b) A intensidade das forc¸as de trac¸a˜o nos fios (c) A intensidade das forc¸as nos blocos 8. Para os treˆs corpos A, B e C com massas 2 kg , 3 kg e 1 kg respectivamente. Desprezando todos os atritos, considerando o fio ideal e adotando g = 10 m/s2. Determine: 117 Figura 11.6: Problema 7 Figura 11.7: Problema 12.10 118 CAPI´TULO 11. LISTA DE DINAˆMICA (a) A acelerac¸a˜o do sistema (b) A intensidade das forc¸as de trac¸a˜o nos fios (c) A intesidade das forc¸as nos blocos 9. O bloco de 80 kg repousa num plano horizontal, sobre ele e´ aplicado sobre ele uma forc¸a F como indicado. Considerando que o coeficiente de atrito e´ 0,25 e o bloco esta´ acelerado com acelerac¸a˜o de 2,5 m/s2. Qual a intensidade de F? Figura 11.8: Problema 9 10. O esquema representa um conjunto de dois blocos A e B de massas mA = 5 kg, mB = 5 kg. O coeficiente de atrito entre os blocos e a superf´ıcie e´ 0,20. E´ aplicada uma forc¸a F de intensidade 40 N. Determine: Figura 11.9: Problema 10 119 (a) A acelerac¸a˜o do sistema (b) A intensidade da forc¸a que A aplica em B (c) A intensidade da forc¸a que B aplica em A (d) O valor da forc¸a de atrito em cada bloco Figura 11.10: Problema 10 11. Dois corpos A e B de massas 3,0 kg e 6,0 kg, respectivamente, esta˜o ligados por um fio ideal que passa por uma polia, sem atrito. Entre o corpo A e o apoio o coeficiente de atrito e´ de 0,5. Determine: (a) A acelerac¸a˜o dos corpos (b) A intensidade da forc¸a de trac¸a˜o no fio (c) A intensidade da resultante em cada bloco 12. Para os dois corpos A e B com massas 3 kg e 7 kg respectivamente. Considerando o fio ideal, adotando g = 10 m/s2 e admitindo um coeficiente de atrito e´ 0,1. Determine: (a) A acelerac¸a˜o do sistema 120 CAPI´TULO 11. LISTA DE DINAˆMICA Figura 11.11: Problema 11 Figura 11.12: Problema 12 121 (b) A intensidade das forc¸as de trac¸a˜o nos fios (c) As intesidades das forc¸as nos blocos 13. Um corpo esta´ na imineˆncia de escorregar sobre um plano inclinado de um aˆngulo b com a horizontal. Mostre, que nessas condic¸o˜es tgb = m, onde m e´ o coeficiente de atrito esta´tico entre o bloco e o plano inclinado. 14. No sistema os corpos A e B tem massa de 4,0 kg e 8,0 kg respectivamente. Considerando o atrito entre o corpo A e a superf´ıcie igual a 0,15 e a polia e o fio ideias. Calcule: Figura 11.13: Problema 14 (a) A acelerac¸a˜o do sistema (b) A intensidade da forc¸a sobre o corpo A (c) A intensidade da forc¸a sobre o corpo B 122 CAPI´TULO 11. LISTA DE DINAˆMICA Figura 11.14: Problema 15 15. No sistema a massa do corpo A e´ 5kg o coeficiente de atrito entre o corpo A e a superf´ıcie e´ 0,25. Para uma acelerac¸a˜o do sistema igual a 3 m/s2. Determine: (a) A massa do corpo B (b) A trac¸a˜o no fio (c) A reac¸a˜o do plano sobre o corpo A (d) O valor da forc¸a de atrito 16. Dois corpos A e B de massas 5,0 kg e 10,0 kg, respectivamente, esta˜o ligados por um fio ideal que passa por uma polia, sem atrito. Entre o corpo A e o apoio o coeficiente de atrito e´ de 0,5. Determine: (a) A acelerac¸a˜o dos corpos (b) A trac¸a˜o no fio 123 Figura 11.15: Problema 16 (c) A reac¸a˜o do plano sobre o corpo A 17. No sistema e´ aplicada uma forc¸a horizontal F, o coeficiente de atrito vale 0,25 e o bloco tem massa de 2kg. Calcular: Figura 11.16: Problema 17 (a) O valor de F para o bloco subir com acelerac¸a˜o igual a 1 m/s2.124 CAPI´TULO 11. LISTA DE DINAˆMICA (b) A reac¸a˜o do plano sobre o bloco (c) O valor de F para o bloco descer com acelerac¸a˜o igual a 1 m/s2. (d) A reac¸a˜o do plano sobre o bloco 18. No sistema o coeficiente de atrito vale 0,2 os fios e a polia sa˜o ideais; as massas de A e B sa˜o 7kg e 2 kg. Calcular: Figura 11.17: Problema 18 (a) O valor de F para o bloco subir com acelerac¸a˜o igual a 1 m/s2. (b) A reac¸a˜o do plano sobre o bloco (c) O valor da forc¸a de atrito (d) O valor de F para o bloco descer com acelerac¸a˜o igual a 1 m/s2. 19. Para os treˆs corpos A, B e C com massas 5 kg , 4 kg e 1 kg respectivamente. Desprezando todos os atritos, considerando o fio ideal e adotando g = 10 m/s2. Determine: 125 Figura 11.18: Problema 19 (a) A acelerac¸a˜o do sistema (b) A intensidade das forc¸as de trac¸a˜o no fio (c) A intensidade das forc¸as nos blocos 20. No sistema abaixo, calcular : (a) O valor da forc¸a de atrito para manter o bloco 1 preso atrave´s do bloco 2 (b) A trac¸a˜o no fio nesta situac¸a˜o o esforc¸o na parede na a´rea de contato 126 CAPI´TULO 11. LISTA DE DINAˆMICA Figura 11.19: Problema 20 Cap´ıtulo 12 Energia 12.1 Trabalho de uma forc¸a 12.1.1 Definic¸a˜o O trabalho e´ definido por: ∆U ≡ Fx ·∆s = F ·∆s · cos θ com ∆U o trabalho realizado F a forc¸a aplicada Fx a forc¸a aplicada no sentido do movimento 127 128 CAPI´TULO 12. ENERGIA Figura 12.1: Trabalho 12.2. UNIDADE 129 ∆s o deslocamento do corpo q aˆngulo entre a forc¸a aplicada e o deslocamento do mo´vel. A figura expo˜e a situac¸a˜o mais geral, quando uma forc¸a aplicada faz o objeto se movimentar numa determinada direc¸a˜o. A situac¸a˜o mais simples ocorre quando a forc¸a aplicada e´ paralela ao deslocamento do corpo. Assim q = 0 e tem se: ∆U ≡ F ·∆s · cos (0) ∆U = F ·∆s E´ muito importante estabelecer corretamente o sentido dessas treˆs grandezas: o sentido do deslo- camento, o sentido da forc¸a, e o aˆngulo entre a forc¸a aplicada e o deslocamento ocorrido. Uma situac¸a˜o interessante e´ quando a forc¸a e´ aplicada perpendicularmente ao deslocamento, neste caso q = 90o . Usando a definic¸a˜o: ∆U ≡ F ·∆s · cos (90) ∆U = F ·∆s · 0 ∆U = 0J Assim quando uma forc¸a e´ aplicada perpendicularmente ao deslocamento ela na˜o realiza trabalho, independente do deslocamento ou do valor da intensidade da forc¸a aplicada. 12.2 Unidade Como qualquer grandeza f´ısica, o trabalho tambe´m possui unidade. Ela e´ derivada das grandezas que esta˜o envolvidas na sua definic¸a˜o. Ou seja a unidade de trabalho e´ o produto das unidades de 130 CAPI´TULO 12. ENERGIA forc¸a e distaˆncia. Lembrar que o aˆngulo tem unidade, mas o cosseno e´ um nu´mero adimensional. Normalmente escreve se no sistema internacional: [∆[U ] = [F ].[∆s] [∆[U ] = N.m Essa nova unidade Nm foi batizada de Joule, em homenagem a James Prescout Joule. Trocando em miu´dos, quando algue´m aplica uma forc¸a de 1 Newton, paralalelamente, ao movi- mento de um corpo que por isso se desloca 1m, essa pessoa realizou um trabalho de 1 Joule. 12.3 Gra´fico E´ comum o levantamento de um gra´fico de forc¸a por deslocamento, como o indicado: Neste gra´fico esta´ indicado o que ocorre com a forc¸a aplicada durante o deslocamento de um bloco que sai da posic¸a˜o original e se desloca por 3 m. O trabalho aplicado pode ser calculado simplesmente calculando a a´rea abaixo da curva. 12.4 Me´todo de Ana´lise Etapa 1 Leia o enunciado com atenc¸a˜o Etapa 2 Entenda a situac¸a˜o exposta Etapa 3 Identifique: A forc¸a presente O deslocamento ocorrido Etapa 4 Determine o aˆngulo entre a forc¸a presente e o deslocamento ocorrido 12.5. APLICAC¸A˜O 1 131 Etapa 5 Aplique a definic¸a˜o do trabalho 12.5 Aplicac¸a˜o 1 Uma forc¸a F aplicada a uma caixa, com q sendo 60o e intensidade de 100N, desloca a por uma distaˆncia de 5m. Qual o trabalho realizado? Figura 12.2: Trabalho Esse exemplo e´ uma aplicac¸a˜o direta da definic¸a˜o de trabalho. Antes de qualquer coisa e´ necessa´rio estabelecer as treˆs grandezas envolvidas: as forc¸as aplicadas na caixa, o aˆngulo em relac¸a˜o ao deslo- camento de cada uma das forc¸as, e a distaˆncia percorrida. Estabelecendo o diagrama de corpo livre para a situac¸a˜o: Primeiro a forc¸a aplicada F foi substitu´ıda pelas suas componentes horizontais e verticais, pela trigonometria temos que: 132 CAPI´TULO 12. ENERGIA Figura 12.3: Trabalho Fx = Fcos(60o ) = 100 *.5 = 50 N Fy= Fsin(60o) = 100 *.86 = 86 N So´ com ilustrac¸a˜o vamos calcular o trabalho de cada uma dessas componentes : Trabalho de Fx A intensidade e´ igual a 50 N, Fx = 50 N O aˆngulo entre Fx e o deslocamento e´ igual a 0o , pois sa˜o paralelos. q = 0o O deslocamento e´ igual a 5m. Ds=5m Aplicando a definic¸a˜o de trabalho: ∆U ≡ Fx ·∆s · cos (0) ∆U = 50 · 5 · 1 = 250J Ou seja o trabalho realizado na horizontal e´ de 250J. 12.5. APLICAC¸A˜O 1 133 Trabalho de Fy A intensidade e´ igual a 86 N, Fx = 86N O aˆngulo entre Fy e o deslocamento e´ igual a 90o , pois sa˜o perpendiculares. q = 90o O deslocamento e´ igual a 0m, pois a caixa permanece em contato com a base. Ds=0m Aplicando a definic¸a˜o de trabalho: ∆U ≡ Fy ·∆s · cos (90) ∆U = 86 · 0 · 0 = 0J Ou seja o trabalho realizado na horizontal e´ de 250J. Assim o resultado e´ que na situac¸a˜o dada o trabalho realizado e´ de 250J. Esse resultado poderia ser obtido diretamente, sem a decomposic¸a˜o da forc¸a aplicada, neste caso, ter´ıamos: Trabalho de F A intensidade e´ igual a 100 N, Fx = 100N O aˆngulo entre Fy e o deslocamento e´ igual a 60o,conforme o esquema. q = 60o O deslocamento e´ igual a 5m, pois a caixa permanece em contato com a base. Ds=5m Aplicando a definic¸a˜o de trabalho: ∆U ≡ F ·∆s · cos (60) ∆U = 100 · 5 · 0.5 = 250J Que, obviamente, e´ o valor obtido anteriormente. Qualquer das duas formas de soluc¸a˜o e´ poss´ıvel. 134 CAPI´TULO 12. ENERGIA 12.6 Aplicac¸a˜o 2 Considere uma caixa de 10 kg e deslocando se sobre a mesa na horizontal, o coeficiente de atrito entre a mesa e o bloco vale 0,4. Devido a forc¸a F aplicada, a caixa tem uma acelerac¸a˜o de 1m/s2. Calcule : Figura 12.4: Trabalho Aplicac¸a˜o 2 1. A intensidade da forc¸a de atrito 2. A intensidade da forc¸a F 3. O trabalho da forc¸a de atrito 4. O trabalho realizado pela forc¸a F 5. O trabalho total 12.6. APLICAC¸A˜O 2 135 Figura 12.5: Trabalho Da mesma forma que na situac¸a˜o anterior devemos determinar primeiro as treˆs grandezas envolvidas: as forc¸as aplicadas na caixa, o aˆngulo em relac¸a˜o ao deslocamento de cada uma das forc¸as, e a distaˆncia percorrida. Mas para fazer isso primeiro devemos estabelecer escrever as leis de Newton para o sistema, determinando assim as forc¸as aplicadas. Estabelecendo o diagrama de corpo livre para a situac¸a˜o: Aplicando a 2a lei de Newton para as direc¸o˜es vertical e horizontal, obtemos: Na horizontal Fx − fat = ma Na vertical Fy +N − P = 0 Cada um dos termos pode ser substitu´ıdo por: 136 CAPI´TULO 12. ENERGIA Figura 12.6: Trabalho Fx = F cos (θ) Fy = Fsen (θ) fat = µN P = mg Assim as equac¸o˜es sa˜o escritas como: F cos (θ)− µN = ma Fsen (θ) +N = mg Determinac¸a˜o da forc¸a de atrito 12.6. APLICAC¸A˜O 2 137 Para determinar a forc¸a de atrito e´ necessa´rio calcular a reac¸a˜o N. As duas equac¸o˜es acima ficam: F cos (θ) sin (θ)− µNsin (θ) = masin (θ) Fsen (θ) cos (θ) +N cos (θ) = mg cos (θ) Subtraindo a primeira equac¸a˜o da segunda, teremos: F cos (θ) sin (θ)− µNsin (θ) = masin (θ) N (cos (θ) + µsin (θ)) = m (g cos (θ) + asin (θ)) N = m (g cos (θ) + asin (θ)) cos (θ) + µsin (θ) E enta˜o a forc¸a de atrito sera´ dada por: fat = µN = µ m (g cos (θ) + asin (θ)) cos (θ) + µsin (θ) fat = µ m (g cos (θ) + asin (θ)) cos
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