Revisão de Sistemas Lineares

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Curso: Bacharelado em Engenharia Civil Per. Letivo: 2016.2 
Comp. Curricular: Álgebra Linear C.H: (66,67H/67HA) 
Professor: José Doval Nunes Martins 
 
 
EXERCÍCIOS SOBRE SISTEMAS LINEARES 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
01 - Decida se os vetores dados são soluções de x + 2y – 4z + 3t = 15. 
(a) u = (3, 2, 1, 4) (b) v = (1, 2, 4, 5). 
 
02 – Resolva cada um dos sistemas seguintes. 
(a) {
2𝑥 − 5𝑦 = 11
3𝑥 + 4𝑦 = 5
 (b) {
2𝑥 − 3𝑦 = 8
−6𝑥 + 9𝑦 = 6
 (c) {
2𝑥 − 3𝑦 = 8
−4𝑥 + 6𝑦 = −16
 
 
03 - Considere o sistema {
𝑥 + 𝑎𝑦 = 4
𝑎𝑥 + 9𝑦 = 𝑏
. 
(a) Para quais valores de a o sistema tem solução única? 
(b) Encontre os pares (a, b) de valores para os quais o sistema tem mais do que uma solução. 
 
04 – Resolva cada um dos sistemas: 
(a) {
𝑥 + 2𝑦 − 4𝑧 = −4
2𝑥 + 5𝑦 − 9𝑧 = −10
3𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 11
 (b) {
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = −1
−3𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = −7
5𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 = 2
 (c) {
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 1
2𝑥 + 5𝑦 − 8𝑧 = 4
3𝑥 + 8𝑦 − 13𝑧 = 7
 
 
05 - Considere o sistema {
𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 3
 𝑎𝑦 + 5𝑧 = 10
2𝑥 + 7𝑦 + 𝑎𝑧 = 𝑏
. 
(a) Encontre os valores de a que fazem com que o sistema tenha solução única. 
(b) Encontre os pares de valores (a, b) que fazem com que o sistema tenha mais do que uma solução. 
 
06 - Resolva os sistemas: 
(a) {
𝑥 − 3𝑦 − 2𝑧 = 6
2𝑥 − 4𝑦 − 3𝑧 = 8
−3𝑥 + 6𝑦 + 8𝑧 = −5
 (b) {
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 1
2𝑥 + 5𝑦 − 8𝑧 = 4
3𝑥 + 8𝑦 − 13𝑧 = 7
 (c) {
𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 + 5𝑡 = 4
2𝑥 + 8𝑦 − 𝑧 + 9𝑡 = 9
3𝑥 + 5𝑦 − 12𝑧 + 17𝑡 = 7
 
 
07 – Decida se os sistemas homogêneos dados têm ou não solução não nula. 
(a) {
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0
2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 0
𝑥 − 4𝑦 + 2𝑧 = 0
 (b){
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 0
2𝑥 + 4𝑦 − 𝑧 = 0
3𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 0
 (c) {
𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 + 4𝑡 = 0
2𝑥 − 3𝑦 + 5𝑧 − 7𝑡 = 0
5𝑥 + 6𝑦 − 9𝑧 + 8𝑡 = 0
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
01 - Classificar e resolver os seguintes sistemas lineares utilizando o método de Gauss-Jordan: 
a) {
1𝑥 + 2𝑦 = 8
6𝑥 + 11𝑦 = 50
; b) {
 𝑥 − 2𝑦 − 7𝑧 = −24
3𝑥 − 5𝑦 + 4𝑧 = 5
2𝑥 + 3𝑦 − 2 𝑧 = 2
; c) {
6𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 = 0
 −9𝑥 − 3𝑦 − 6𝑧 = 0 
; 
 
02 - Para os sistemas a seguir, calcular 𝑝𝑎 e 𝑝𝐶. Quando 𝑝𝑎 = 𝑝𝐶, calcule também o grau de liberdade do sistema. 
Classificar os sistemas utilizando as informações obtidas, e quando possível, determinar uma solução. 
(a) 𝑆1: {
 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 3
 2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 0
− 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 1
; b) 𝑆2: {
6𝑥 + 3𝑦 + 9𝑧 = 0
 𝑦 + 5𝑧 = 0
2𝑥 + 𝑦 + 3𝑧 = 0
 ; c) 𝑆3 : {
2𝑥 + 6𝑦 = 1
4𝑥 + 12𝑦 = 0
; 
 
03 - Qual o valor de 𝑎 para que o sistema linear homogêneo {
 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 0
 𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 0
2𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑧 = 0
 admita solução não trivial? 
 
04 - Determinar uma função polinomial 𝑓 de grau dois, tal que 𝑓(1) = 2, 𝑓(2) = 3 e 𝑓(5) = 18. 
 
05 - Considere o sistema 𝑆: {
 −2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 𝑏1
 𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 𝑏2
−𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 𝑏3
 e a matriz 𝐶 = (
−1 −1 0
0 −1 −1
1 −1 −3
). 
(a) Mostre que 𝐶 é a inversa da matriz A dos coeficientes do sistema S; 
(b) Utilizando o item (a), resolva o sistema 𝐴𝑋 = 𝐵 para 𝑏1 = 1; 𝑏2 = 6; 𝑏3 = 0; 
(c) O mesmo para 𝑏1 = 2; 𝑏2 = 5; 𝑏3 = 7. 
 
06 - Discuta o seguinte sistema 𝑆: {
7𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 = 10
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 6
4𝑥 + 𝑦 + 𝑝𝑧 = 𝑞
. 
 
07 - Para que valor de ∆ o sistema {
2𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 1
𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 0
− 𝑥 − 𝑦 + 𝛽𝑧 = 0
 tem solução única (x, y, z) dada por: 
x = det (
1 −1 −1
0 2 3
0 −1 𝛽
) ; y = det (
2 1 −1
1 0 3
−1 0 𝛽
) ; z = det (
2 −1 1
1 2 0
−1 −1 0
) ? 
 
08 - Para que valor de 𝑎 o sistema {
𝑥 + 𝑦 = 1
𝑥 + 𝑎2𝑦 = 𝑎
 é impossível? 
 
 
 
09 - Determine os valores reais de 𝑚 e 𝑛 para os quais o sistema linear: {
 2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 1
 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 4
3𝑥 + 𝑦 + 𝑚𝑧 = 𝑛
 
a) não tenha solução; 
b) tenha infinitas soluções; 
c) tenha uma solução. 
 
10 - Suponha que numa construção foram utilizados quatro tipos de concreto preparados, misturando-se as matérias 
primas em volumes cujas proporções são dadas pela tabela: 
 Concreto I Concreto II Concreto III Concreto IV 
Cimento 1 1 1 1 
Brita 2 2 1 2 
Areia 3 4 5 6 
Água 2 2 3 3 
 
Determinar a proporção em que cada tipo de concreto foi aplicado, se foram utilizados 7 𝑚3 de cimento, 11 𝑚3 de 
brita, 32 𝑚3 de areia e 18 𝑚3 de água. 
 
GABARITO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
01. (a) (12,-2) (b) (1, 2, 3) (c) (
−𝑦−2𝑧
3
, 𝑦, 𝑧) 
02. (a) (1, 0, 2) (b) S.P.I (c) S.I 
03. a = 1 
04. (1, -2, 3) 
05. (b) (-7, -6, -5) (c) (-7, -12, -24) 
06. (Para SPD 𝑝 ≠ -1, para SPI 𝑝 = -1 e 𝑞 = 8, para SI 𝑝 = -1 e 𝑞 ≠ 8) 
07. (𝛽 = −7/5) 
08. a = -1 
09. a) (𝑚 = 2, 𝑛 ≠ 5) b) (𝑚 = 2, 𝑛 = 5) c) (𝑚 ≠ 2) 
10. S = {(1, 2, 3, 1)}