Exercicios da Calculo I

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Universidade de Aveiro - Departamento de Matema´tica
Matema´ticas Gerais I
Ano letivo 2017–2018
Exerc´ıcios pra´ticos
Ricardo Almeida
1
1 Func¸o˜es reais de uma varia´vel real
1. Em cada uma das al´ıneas que se seguem determine o domı´nio da func¸a˜o definida por
(a) f(x) =
√
x+ 1
x2 − 4 ;
(b) f(x) =
x2 − 1
x3 − 3x2 − 2x ;
(c) f(x) =
√−x
x2 + x+ 1
.
2. Considere as func¸o˜es f e g definidas, respectivamente, por f(x) =
√
2x− 4
−x2 + 3x e g(x) = 3−
√
x+ 1.
(a) Determine os domı´nios das func¸o˜es f e g.
(b) Determine os zeros das func¸o˜es f e g.
(c) Indique o contradomı´nio de g.
(d) Defina as func¸o˜es f + g e
f
g
.
3. Sendo f , g e h definidas, respectivamente, por f(x) =
√
x, g(x) = x2 e h(x) =
1
x− 1, determine os
domı´nios e as expresso˜es anal´ıticas de de g ◦ f , f ◦ g, h ◦ f e f ◦ h.
4. Sendo f a func¸a˜o definida por f(x) = |x2 − 3x+ 2| determine o conjunto A = {x ∈ R : f(x) < 1}.
5. Em cada uma das al´ıneas que se seguem determine, para a func¸a˜o considerada, o domı´nio, o contradomı´nio
e averigue se sa˜o bijetivas.
(a) f definida por f(x) =
√
x2 − 1;
(b) f definida por f(x) =
1
x+ 1
;
(c) f definida por f(x) = x2 + x.
6. Resolva as equac¸o˜es e inequac¸o˜es seguintes:
(a) ex = e−x;
(b) 2x ≤ 1
2
;
(c) 4x − 3 · 2x + 2 ≥ 0;
(d) x2ex+1 − x ex−1 < 0;
(e)
1− 23x−1
3x2−2 − 9 ≤ 0;
7. Em cada uma das al´ıneas que se seguem, caracterize a inversa da func¸a˜o considerada.
(a) f definida por f(x) =
1
x+ 1
;
(b) f definida por f(x) = 2 + ex+1;
(c) f definida por f(x) = log3(2 − x);
(d) f definida por f(x) = 3
√
x+ 1.
8. Mostre que e3 ln 2−ln x =
8
x
e indique o maior subconjunto de R em que esta simplificac¸a˜o e´ va´lida.
9. Resolva as equac¸o˜es e inequac¸o˜es seguintes:
2
(a) 2 lnx− ln(x− 1) = 2 ln 2;
(b) x log3 x− x ≤ 0;
(c) x log2(x + 1) > x;
(d) (x2 − 1) log 1
4
x ≥ 0.
10. Em cada uma das al´ıneas seguintes defina a func¸a˜o inversa de f . Nos casos que envolvem func¸o˜es trigo-
nome´tricas, considere as correspondentes restric¸o˜es principais.
(a) f(x) =
1
2
sin
(
x+
pi
2
)
(b) f(x) =
pi
2
− 2 arcsin(1− x)
3
(c) f(x) = tan
(
pi
2− x
)
(d) f(x) =
5 ln(x − 3)− 1
4
(e) f(x) = e1− 2x
(f) f(x) =
(
1
3
)x+2
11. A lei de Weber-Fechner (se´culo XIX) estabelece uma relac¸a˜o entre a intensidade f´ısica dum est´ımulo e a
intensidade da sensac¸a˜o percebida, e e´ dada pela expressa˜o
p = K ln
(
I
I0
)
,
onde p e´ a intensidade da sensac¸a˜o percebida, I e´ a intensidade f´ısica do est´ımulo e K, I0 sa˜o constantes
positivas.
(a) Escreva I em func¸a˜o de p.
(b) Supondo I = e3p+1, encontre K e I0.
12. A Lei de Stevens preveˆ uma relac¸a˜o entre est´ımulo e sensac¸a˜o dada por uma poteˆncia, cujo expoente a
depende do tipo de est´ımulo, e e´ dada por
p = KIa.
A partir do gra´fico, onde e´ apresentada a relac¸a˜o entre ln(p) e ln(I), determine as constantes K e a,
justificando que
p =
√
I
e
.
3
13. Uma certa substaˆncia se decompo˜e aproximadamente segundo a lei
Q(t) = K × 2− t2 ,
em que K e´ uma constante, t indica o tempo em minutos e Q(t) indica a quantidade da substaˆncia, em
gramas, no instante t. Considerando os dados desse processo de decomposic¸a˜o representados no gra´fico,
256
32
T
Q
t
(a) Determine os valores de K e de T .
(b) Escreva o tempo t em func¸a˜o da quantidade da substaˆncia Q.
(c) O que pode afirmar quanto a` quantidade da substaˆncia, a` medida que o tempo passa. Justifique.
14. O Biorritmo e´ o conjunto de processos bioqu´ımicos, fisiolo´gicos e do comportamento que se verificam em
todos os organismos vivos, com uma constante e inaltera´vel periodicidade. Wilhem Fliess notou repetic¸o˜es
ideˆnticas nas histo´rias cl´ınicas de seus pacientes, e que a curva emocional tinha um ciclo de 28 dias. Quando
a curva se encontra acima da linha me´dia horizontal, experimentamos uma fase positiva: bom humor e
vossas relac¸o˜es pessoais sera˜o melhores. Se esta´ abaixo, triste e irritado. A curva e´ dada por
y = sin
(
2pit
28
)
onde t representa o nu´mero de dias apo´s o nascimento.
(a) Qual e´ o per´ıodo da func¸a˜o?
(b) Esboce o gra´fico da func¸a˜o.
(c) Em que instantes a pessoa esta´ de bom humor?
(d) Quando atinge o ma´ximo?
15. A Lei do Decaimento Radioativo afirma que N = N0e
−λt onde N e´ o nu´mero actual de nu´cleos radioativos,
N0 o nu´mero original, λ a taxa de decaimento e t o tempo (em anos).
(a) Apo´s quanto tempo o nu´mero de nu´cleos radioativos e´ metade do inicial?
(b) Partindo de uma amostra com 106 nu´cleos radioativos, mediu-se o nu´mero de nu´cleos apo´s 5 anos e
obtinham 5, 2× 104. Calcule λ.
(c) Sabendo que λ > 0, esboce o gra´fico de N(t).
16. Em 1980, num certo pa´ıs, o nu´mero de automo´veis era de 170 milho˜es e o nu´mero de habitantes era de
227 milho˜es. Supondo que o nu´mero de automo´veis e o nu´mero de habitantes cresce a uma taxa de 4% e
1% ao ano, respectivamente, em que ano havera´, em me´dia, um automo´vel por habitante?
4
Soluc¸o˜es
1. (a) [−1,+∞[\{2};
(b) R \
{
0,
3 +
√
17
2
,
3−√17
2
}
;
(c) R−0 .
2. (a) Df =]−∞, 0[∪[2, 3[; Dg = [−1,+∞[.
(b) x = 2 e´ zero de f e x = 8 e´ zero de g.
(c) ]−∞, 3].
(d) Df + g = [−1, 0[∪[2, 3[ e (f + g)(x) =
√
2x− 4
−x2 + 3x + 3 −
√
x+ 1; D f
g
= [−1, 0[∪[2, 3[ e
(
f
g
)
(x) =√
2x− 4
−x2 + 3x
3−√x+ 1
3. Dg◦f = R+0 e (g ◦ f)(x) = x; Df◦g = R e (f ◦ g)(x) = |x|; Dh◦f = R+0 \ {1} e (h ◦ f)(x) =
1√
x− 1; e
Df◦h =]1,+∞[ e (f ◦ h)(x) = 1√
x− 1.
4. A =
]
3−√5
2
,
3 +
√
5
2
[
.
5. (a) Df =]−∞,−1] ∪ [1,+∞[, CDf = R+0 , na˜o e´ injectiva, logo na˜o e´ bijectiva;
(b) Df = R \ {−1}, CDf = R \ {0}, na˜o e´ sobrejectiva, logo na˜o e´ bijectiva;
(c) Df = R, CDf = [−1/4,+∞[, na˜o e´ injectiva, logo na˜o e´ bijectiva.
6. (a) x = 0;
(b) x ∈]−∞,−1];
(c) x ∈ [−∞, 0] ∪ [1,+∞];
(d) x ∈]0, e−2[;
(e) x ∈
]
−2, 1
3
]
∪]2,+∞[;
7. (a) f−1 : R \ {0} −→ R
x 7−→ 1
x
− 1
de contradomı´nio R \ {−1};
(b) f−1 : ]2,+∞[ −→ R
x 7−→ −1 + ln(x− 2)
de contradomı´nio R;
(c) f−1 : R −→ R
x 7−→ 2− 3x
de contradomı´nio ]−∞, 2[.
(d) f−1 : R −→ R
x 7−→ x3 − 1
de contradomı´nio R.
8. A simplificac¸a˜o e´ va´lida em R+.
9. (a) x = 2;
(b) x ∈]0, 3];
(c) x ∈]− 1, 0[∪]1,+∞[
(d) x = 1.
5
10. (a) f−1 : [−1/2, 1/2] −→ R
x 7−→ arcsin(2x)− pi/2
de contradomı´nio [−pi, 0];
(b) f−1 : [pi/6, 5pi/6] −→ R
x 7−→ 1− sin(3pi/4− 3x/2)
de contradomı´nio [0, 2];
(c) f−1 : R \ {0} −→ R
x 7−→ 2− pi
arctanx
de contradomı´nio ]−∞, 0[∪]4,+∞[;
(d) f−1 : R −→ R
x 7−→ 3 + e 4x+15
de contradomı´nio ]3,+∞[;
(e) f−1 : R+ −→ R
x 7−→ 1
2
− ln√x
de contradomı´nio R;
(f) f−1 : R+ −→ R
x 7−→ −2 + log1/3x
de contradomı´nio R.
11. (a) I = I0e
p/K .
(b) K = 1/3 e I0 = e.
12. K = 1/
√
e e a = 1/2.
13. (a) K = 256 e T = 6.
(b) t = −2 log2
Q
256
.
(c) Tende a desaparecer.
14. (a) 28
(b) —
(c) t ∈ [28k, 14 + 28k], com k ∈ Z.
(d) t = 7 + 28k, com k ∈ Z.
15. (a) t = ln(2)λ .
(b) 0, 59
(c) —
16. 1990
6
2 Limites e continuidade
1. Calcule, caso existam, os limites seguintes:
(a) lim
x→+∞
1
x2 − 1;
(b) lim
x→1+
1
x2 − 1 ;
(c) lim
x→−1
1
x2 − 1 ;
(d) lim
x→+∞
3x2 + 2x− 1
5x2 − x ;
(e) lim
x→+∞
(
√
x+ 2−√x+ 1);
(f) lim
x→1
√
x− 1
x− 1 ;
(g) lim
x→−∞
x− 1
x3 − 2x− 1;
(h) lim
x→−∞
x2 + 1
1− x ;
(i) lim
x→2
(2x−√x+ 2);
(j) lim
x→2
x− 2√
(2 − x)2 ;
(k) lim
x→0
(x − a)4 − a4
x
, onde a e´ um paraˆmetro real.
2. Considere a func¸a˜o f definida por
f(x) =
{ x
|x| se x 6= 0
m2 − 1 se x = 0
Existe m ∈ R por forma que f seja cont´ınuaem x = 0?
3. Considere a func¸a˜o f de domı´nio [0, 2pi] definida por
f(x) =
{
1 + ln(pi − x) se 0 ≤ x < pi
cos(2x) se pi ≤ x ≤ 2pi
(a) Estude f quanto a` continuidade.
(b) Determine os zeros de f .
4. Considere a func¸a˜o real de varia´vel real definida por
f(x) =


e−1/x
2
+ 2k − 1/2 se x > 0
k se x = 0
(2k2 + k)
1− cosx
x2
se x < 0
(a) Determine k ∈ R por forma que f seja cont´ınua em x = 0.
(b) Mostre que para todo o x < 0, e−1/x
2 ∈ ]0, 1[ .
(c) Supondo k = 1/2, defina a inversa da restric¸a˜o de f a R+.
5. Mostre que
lim
x→0
(
x sin(
1
x
)
)
= 0.
7
6. Estude a continuidade das func¸o˜es:
(a) f(x) =
{
1−x2
x−1 se x 6= 1
−2 se x = 1
(b) g(x) =


4− x se x < 3
5 se x = 3
x− 2 se x > 3
(c) h(x) =
{
x3−8
3−√2x+5 se x > 2
|x− 8| se x ≤ 2
7. Dadas as func¸o˜es f e g, reais de varia´vel real, tais que:
f(x) =
{
1
1−x , x 6= 1
1, x = 1
e g(x) =
{
x2
x−1 , x 6= 1
1, x = 1
Prove que:
(a) f e g sa˜o func¸o˜es descont´ınuas para x = 1.
(b) f + g e´ uma func¸a˜o cont´ınua nesse ponto.
8. Sendo
f(x) =
{
2 (x− 2) , x < 1
Kx, x ≥ 1
(a) Justifique que f e´ cont´ınua em ]−∞, 1[ .
(b) Determine K de modo que f seja cont´ınua em x = 1.
(c) Mostre que f na˜o e´ injetiva, supondo K obtido na al´ınea anterior.
(d) Indique uma restric¸a˜o de f que seja injetiva.
8
Soluc¸o˜es
1. (a) 0;
(b) +∞;
(c) na˜o existe;
(d)
3
5
;
(e) 0;
(f)
1
2
;
(g) 0;
(h) +∞;
(i) 2;
(j) na˜o existe;
(k) −4a3, para todo o a.
2. Para todo o m ∈ R, f e´ descont´ınua em x = 0.
3. (a) cont´ınua em [0, 2pi] \ {pi}.
(b)
5pi
4
,
7pi
4
e pi − e−1.
4. (a) k =
1
2
(b) —
(c) g :
]
1
2 ,
3
2
[ −→ R
x 7−→ 1√
− ln(x − 12 )
de contradomı´nio R+.
5. —
6. (a) Cont´ınua em R.
(b) Cont´ınua em R \ {3}.
(c) Cont´ınua em R \ {2}.
7. —
8. (a) —
(b) −2.
(c) —
(d) [1,+∞[.
9
3 Derivadas
1. Determine a derivada das expresso˜es seguintes, usando apenas a definic¸a˜o de derivada num ponto.
(a) f(x) = pi, com x ∈ R.
(b) f(x) = 3x+ 4, com x ∈ R.
(c) f(x) = −x2 + 5x− 8, com x ∈ R.
(d) f(x) = x3 + 2x, com x ∈ R.
(e) f(x) = sinx, com x ∈ R.
2. Mostre que as func¸o˜es seguintes sa˜o deriva´veis no ponto x = a.
(a) a = 1 e
f(x) =
{
2 +
√
x se x ≥ 1
(x+ 5)/2 se x < 1
.
(b) a = 0 e
f(x) =
{
x2 sin(1/x) se x 6= 0
0 se x = 0
.
3. Considere a func¸a˜o f definida por f(x) = x2 lnx + 11x− x
2
2
. Determine, caso exista, a ∈ R+ por forma
que a tangente ao gra´fico de f no ponto x = a tenha declive m = 11.
4. Considere as func¸o˜es f e g definidas, respectivamente, por f(x) =
√
x(x4 +3) e g(x) = 12
√
x. Determine,
caso exista, a ∈ R por forma que as tangentes aos gra´ficos de f e g no ponto x = a sejam paralelas.
5. Determine o ponto de intersecc¸a˜o da recta tangente ao gra´fico da func¸a˜o f(x) = −x2+3x no ponto x = 4
com o eixo das abcissas.
6. Considere a func¸a˜o
f(x) =
1
x
+ ln |x− 3|
(a) Indique o seu domı´nio.
(b) Escreva a equac¸a˜o da recta tangente ao gra´fico de f no ponto de abcissa 4.
7. (a) Sejam f e g duas func¸o˜es reais de varia´vel real tais que f(x) = xg(x), ∀x ∈ R. Prove que se g e´
cont´ınua em x = 0, enta˜o f e´ diferencia´vel em x = 0 e f ′(0) = g(0).
(b) Sendo h : R→ R definida por h(x) = x |x|, determine h′(0).
8. Em cada uma das al´ıneas que se seguem, determine a func¸a˜o derivada da func¸a˜o considerada.
(a) f(x) = (x− 1)(x2 + 3x);
(b) f(x) = 3
√
(2x− 1)2;
(c) f(x) =
cosx
1− sinx ;
(d) f(x) = x2ex
2
;
(e) f(x) = arcsen
√
x;
(f) f(x) = 3tgx;
(g) f(x) = log3(tanx)
(h) f(x) = e
x3√
x−1 ;
(i) f(x) = cos(log2(x
2));
(j) f(x) = (1− x2) lnx;
10
(k) f(x) = (1 + x2) arctgx;
(l) f(x) = x2 − ln(x
2)
x
.
(m) f(x) = arcsen
1
x2
9. Considere a func¸a˜o f definida em R+0 por f(x) = ln(1 + x) − x. Mostre que f e´ decrescente e diga,
justificando se e´ verdadeira ou falsa a seguinte afirmac¸a˜o: f(x) < 0, para todo o x ∈ R+.
10. Estude os intervalos de concavidade da func¸a˜o f definida por f(x) = x ln |x|.
11. Determine as equac¸o˜es das ass´ıntotas ao gra´fico de cada uma das func¸o˜es seguintes:
(a) f(x) =
x+ 2
x− 2;
(b) f(x) = (x+ 1) e1/x;
(c) f(x) =
√
4x2 − 2x+ 3;
(d) f(x) = arctg
1
x
;
(e) f(x) =
1
x
ln
1
x
.
12. Considere a func¸a˜o f definida por f(x) = e−x
2
. Estude f quanto a` monotonia.
13. Seja f uma func¸a˜o cont´ınua e diferencia´vel num intervalo I. Suponha que a derivada de f em qualquer
ponto do interior de I e´ na˜o nula. Mostre que f e´ injectiva.
14. Sendo f(x) = x3 − 6x2 + 9x− 1, x ∈ R, mostre que f possui exactamente uma raiz no intervalo ]1, 3].
15. Mostre que se a > 0 a equac¸a˜o x3 + ax + b = 0 na˜o pode ter mais que uma raiz real, qualquer que seja
b ∈ R.
16. Prove que a equac¸a˜o 4x3−6x2+1 = 0 tem 3 zeros distintos e localize-os em intervalos de R cujos extremos
sejam nu´meros inteiros consecutivos.
17. Verifique que x = 0 e´ raiz da equac¸a˜o ex = 1 + x. Mostre que esta equac¸a˜o na˜o pode ter outra raiz real.
18. Prove que:
(a) para todo o x ∈]0, 1[ se tem arcsinx > x;
(b) para todo o x ≥ 0 se tem sinx ≤ x;
(c) para todo o x > 0 se tem lnx < x.
19. (a) Prove a desigualdade
ln (x+ 2) < x+ 2, ∀x ∈ ]−2,+∞[
(b) Esboce a representac¸a˜o gra´fica das func¸o˜es dos dois membros da desigualdade.
(c) Escreva a equac¸a˜o da tangente a` curva representativa da func¸a˜o x 7→ ln (x+ 2) no ponto de abcissa
x = 1. Desenhe-a no respectivo gra´fico.
20. Seja f uma func¸a˜o real de varia´vel real definida por:
f(x) =
{
x lnx se x > 0
sin(5x)− x se x ≤ 0
(a) Estude f quanto a` continuidade.
(b) Averigue se a func¸a˜o f e´ diferencia´vel para x = 0.
11
(c) Enuncie o Teorema de Rolle. Mostre que e´ aplica´vel a` func¸a˜o f no intervalo [0, 1] e determine o ponto
b desse intervalo tal que f ′(b) = 0.
21. Sejam f e g func¸o˜es diferencia´veis em R tais que f ′(x) > g′(x), para todo o x ∈ R e f(a) = g(a). Prove
que:
(a) f(x) > g(x), para todo o x > a
(b) f(x) < g(x), para todo o x < a.
22. Seja f uma func¸a˜o real de varia´vel real. Mostre que se f admite terceira derivada no intervalo [a, b] e
f(a) = f(b) = f ′(a) = f ′(b) = 0, enta˜o existe c ∈]a, b[ tal que f ′′′(c) = 0.
23. Mostre que a func¸a˜o f dada por f(x) = x3 − 8x − 5 verifica as hipo´teses do teorema de Lagrange no
intervalo [1, 4] e determine o ponto desse intervalo nas condic¸o˜es da tese do teorema.
24. Verifique se a seguinte func¸a˜o satisfaz as condic¸o˜es do teorema do valor me´dio no intervalo [−10, 10]:
F (x) =
{
ln(x+ 1) se x ≥ 0
ex − 1 se x < 0
25. Atrave´s do teorema do valor me´dio, prove as desigualdades seguintes:
(a) ∀x, y ∈ R : | sin(x)− sin(y)| ≤ |x− y|.
(b) ∀x, y ∈ R : | cos(x) − cos(y)| ≤ |x− y|.
(c) ∀x, y ∈ [0, 1] : |x− y| ≤ |ex − ey| ≤ e|x− y|.
(d) ∀x, y ∈ [0, 1] : |x2 − y2| ≤ 2|x− y|.
26. Seja y = ln(x). Usando o teorema do valor me´dio, explique como uma pequena variac¸a˜o δx em x afeta y
(isto e´, se tomarmos δx ≈ 0, compare ln(x) com ln(x+ δx)). Fac¸a o mesmo para y = ex.
27. Mostre que existe
lim
x→+∞
x− sen x
x+ sen x
,
mas na˜o pode aplicar-se para o seu ca´lculo a regra de Cauchy.
28. Calcule, caso exista, o limite considerado em cada uma das al´ıneas que se seguem:
(a) lim
x→0
sen2 x3
x2
(b) lim
x→0
√
x+ 1− x
x
(c) lim
x→0
2 arcsenx
3x
(d) lim
x→0
cosx− 1
x sinx
(e) lim
x→−pi/4
cos(2x)
1 + cotanx
(f) lim
x→+∞
lnx
xp
com p ∈ R+
(g) lim
x→1
1− x
ln(2− x)
(h) lim
x→+∞
[ln ((x+ 1)p)− ln (xp)] com p ∈ R
(i) lim
x→0+
(tg x)tg (2x)
12
(j) lim
x→+∞
(
x+ 3
x− 1
)x+3
29. Sendo k um nu´mero real diferente de zero, considere a func¸a˜o f definidaem R \ {0} do modo seguinte
f(x) =


sen(pix)
kx
se x < 0
arctg
1
x
se x > 0
Calcule os limites laterais de f no ponto zero e indique o valor de k para o qual e´ poss´ıvel obter um
prolongamento por continuidade de f a R.
30. Indique o valor lo´gico de cada uma das afirmac¸o˜es seguintes, justificando as falsas.
(a) Uma func¸a˜o deriva´vel num ponto e´ cont´ınua nesse ponto.
(b) Se uma func¸a˜o na˜o e´ deriva´vel num ponto, enta˜o na˜o e´ cont´ınua nesse ponto.
(c) Se f ′ = g′, enta˜o f = g.
(d) Se f possui um ma´ximo relativo em x0, enta˜o f
′(x0) existe e e´ nula.
31. Considere a func¸a˜o real de varia´vel real assim definida:
f(x) =
x
lnx
(a) Determine o domı´nio de f.
(b) Indique os intervalos de crescimento e decrescimento da func¸a˜o, e os extremos relativos, caso existam.
(c) Verifique se a func¸a˜o tem assimptotas.
(d) Esboc¸e o gra´fico de f.
32. Considere a seguinte func¸a˜o:
f : R\ {1} −→ R
x 7−→ 1(1−x)2
(a) Estude a func¸a˜o quanto a`s assimptotas.
(b) Indique os intervalos de monotonia da func¸a˜o.
(c) A func¸a˜o tem pontos de inflexa˜o? Justifique.
(d) Esboce o gra´fico da func¸a˜o.
33. Encontre os extremos de
(a) y = x2 − 3x, para 0 ≤ x ≤ 5.
(b) U =
1
2v + 3
, para 1 ≤ v ≤ 3.
(c) S = 5− t2/3, para 0 ≤ t ≤ 8.
(d) Q =
s2 − 10s+ 5
s+ 1
, para s ≥ 0.
34. Considere a func¸a˜o
y = c(e−at − e−bt), t ≥ 0
onde a, b, c sa˜o paraˆmetro reais positivos, com b > a (esta func¸a˜o descreve a concentrac¸a˜o ao longo do
tempo de um medicamento injetado na corrente sangu´ınea). Mostre que
(a) y = 0 se t = 0.
(b) y > 0 se t > 0.
13
(c) lim y = 0 a` medida que t→ +∞.
(d) y atinge um ma´ximo no ponto t =
ln(b/a)
b− a .
35. Apo´s t horas, a concentrac¸a˜o em miligramas por cm3 de um reme´dio A no sangue de uma pessoa e´ dada
por:
C(t) =
0, 18t
t2 + 3t+ 25
Determine o per´ıodo t no qual a concentrac¸a˜o e´ mais intensa.
36. Numa localidade, a densidade populacional D, em centenas de habitantes por km2, e´ dada em func¸a˜o da
distaˆncia x, em km, ao centro da cidade pela func¸a˜o D(x) = 25 + 20x− 5x2, com x ∈ [0, 5].
(a) Calcule D(0, 1) e explique o significado do resultado.
(b) Resolva a inequac¸a˜o D(x) > 40 e explique o significado do resultado.
(c) A que distaˆncia do centro a densidade populacional e´ ma´xima?
(d) Qual a densidade populacional ma´xima?
37. Suponha que a func¸a˜o definida por I(t) = 1255×1, 009t (t em anos, t ≥ 0) representa o modelo matema´tico
para o nu´mero de idosos, em milhares, no nosso pa´ıs (sendo o comec¸o da contagem no in´ıcio de 1980, isto
e´, t = 0 corresponde ao ano 1980).
(a) Quantos idosos existiam em Portugal no in´ıcio de 2004?
(b) Determine em que ano a populac¸a˜o de idosos atinge os 1600 milhares de idosos?
(c) Determine I ′(t) e justifique que com este modelo, podemos concluir que a populac¸a˜o de idosos esta´
a aumentar.
38. Para uma populac¸a˜o de 500 pessoas, a taxa de crescimento anual e´ de 4%.
(a) Justifique que a func¸a˜o P = 500 × 1, 04t permite calcular o nu´mero de pessoas dessa populac¸a˜o ao
fim de t.
(b) Qual o nu´mero de pessoas ao fim de 5 anos?
(c) Represente graficamente a func¸a˜o P para t ≤ 10.
(d) Ao fim de quantos anos a populac¸a˜o e´ superior a 2000?
(e) O crescimento da populac¸a˜o foi maior no quinto ou no de´cimo quinto ano?
39. Numa experieˆncia laboratorial para obter cloreto de so´dio (sal de cozinha), colocou-se numa tina uma
certa quantidade de a´gua do mar e expoˆs-se a uma fonte de calor. Em cada instante t a quantidade de
a´gua existente na tina e´ dada pela expressa˜o
Q(t) = 103 − 103 log10(t+ 1)
(t em segundos e Q em cm3).
(a) Mostre que Q(t) = 103 × log10
(
10
t+ 1
)
.
(b) Determine Q(0) e interprete o seu significado no contexto do problema.
(c) Determine o valor de t que satisfaz Q(t) = 250. Interprete o resultado obtido.
40. Considere a altura A (em metros) de uma crianc¸a do sexo masculino pode ser expressa aproximadamente,
em func¸a˜o do seu peso p (em Kg), por
A(p) = −0, 52 + 0, 55 ln(p).
(a) Sabendo que o peso do Ricardo e´ de 20Kg, determine aproximadamente a sua altura.
14
(b) Sabendo que a altura do Joa˜o e´ de 1,4m, determine aproximadamente o seu peso.
(c) Mostre que A′(p) > 0 para todo o p e interprete este resultado no contexto do problema.
41. No sistema vascular, a resisteˆncia ao deslocamento de sangue nas arte´rias e´ dada pela expressa˜o
R = k
l
r4
,
onde l e r sa˜o o comprimento e o raio da arte´ria, respetivamente, e k uma constante determinado pela
viscosidade do sangue. Encontre
dR
dl
(r fixo) e
dR
dr
(l fixo), e discuta como varia a resisteˆncia em func¸a˜o
de l e de r.
42. Seja v a velocidade de um pa´ssaro em voo. Pennycuick (1969) mostrou que a energia gasta pelo pa´ssaro
esta´ relacionada com o seu peso (W), a densidade do ar (µ), por algumas constantes A e S que dependem
do tamanho do pa´ssaro, e esta˜o relacionadas pela expressa˜o
P =
W 2
2µSv
+
1
2
µAv3.
Encontre qual deve ser a velocidade de voo de forma a minimizar a energia gasta.
43. Quando um medicamento e´ administrado, a reac¸a˜o (medida pela variac¸a˜o da pressa˜o do sangue ou da
temperatura) pode ser modelada por
R = m2
( c
2
− m
3
)
onde c e´ uma constante positiva e m e´ a quantidade de medicamento absorvido pelo sangue (Thrall et al,
1967). A sensibilidade a um medicamento e´ definida como a taxa de variac¸a˜o da reac¸a˜o R em relac¸a˜o a`
quantidade de reme´dio m absorvido pelo sangue.
(a) Calcule a sensibilidade.
(b) Calcule a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea da sensibilidade em relac¸a˜o a` quantidade de reme´dio absorvida
pelo sangue.
(c) A taxa de variac¸a˜o da sensibilidade e´ a derivada de qual ordem da reac¸a˜o?
44. De acordo com B. Visser, a velocidade v do ar na traqueia durante a tosse esta´ relacionada com o raio r
da traqueia por
v = ar2(r0 − r),
onde a e´ uma constante positiva e r0 o raio da traqueia em estado relaxado. Encontre o raio r que produz
a velocidade ma´xima de ar na traqueia durante a tosse.
15
Soluc¸o˜es
1. (a) f ′(x) = 0.
(b) f ′(x) = 3.
(c) f ′(x) = −2x+ 5.
(d) f ′(x) = 3x2 + 2.
(e) f ′(x) = cosx.
2. —
3. a = 1.
4. a = 1
5. 16/5.
6. (a) R \ {0, 3}.
(b) y =
15
16
x− 7
2
.
7. (a) —
(b) 0.
8. (a) f ′(x) = 3x2 + 4x− 3;
(b) f ′(x) =
4
3 3
√
2x− 1;
(c) f ′(x) =
1
1− sinx ;
(d) f ′(x) = 2x ex
2
(1 + x2);
(e) f ′(x) =
1
2
√
x− x2 ;
(f) f ′(x) = 3tan x ln 3 sec2 x;
(g) f ′(x) =
1
ln 3
secx cosecx;
(h) f ′(x) =
5
√
x5 − 6x2
2(
√
x− 1)2 e
x3√
x−1 ;
(i) f ′(x) =
−2 sin(log2(x2))
x ln 2
;
(j) f ′(x) =
1− x2(2 lnx+ 1)
x
;
(k) f ′(x) = 2x arctgx+ 1;
(l) f(x) =
2x3 − 2 + ln(x2)
x2
.
(m)
−2
x
√
x4 − 1 .
9. Verdadeira.
10. Concavidade voltada para cima em ]0,+∞[ e para baixo em ]−∞, 0[.
11. (a) AV: x = 2; ANV: y = 1 assimptota horizontal bilateral;
(b) AV: x = 0; ANV: y = x+ 2 assimptota na˜o vertical bilateral;
(c) AV: na˜o tem; ANV: y = 2x− 1/2 e y = −2x+ 1/2;
16
(d) AV: na˜o tem; ANV: y = 0 assimptota horizontal bilateral;
(e) AV: x = 0; ANV: y = 0 assimptota horizontal a` direita.
12. A func¸a˜o f e´ crescente em ]−∞, 0], decrescente em [0,+∞[ e tem ma´ximo f(0) = 1 em x = 0.
13. —
14. Sugesta˜o: Utilize o Teorema de Bolzano para garantir que f tem pelo menos uma raiz e o estudo dos zeros
da derivada para garantir a unicidade.
15. Sugesta˜o: Fac¸a o estudo da primeira derivada de f .
16. f tem um zero em ]0, 1[, um em ]1, 2[ e outro em ]− 1, 0[.
17. Sugesta˜o: Atenda a que 0 e´ raiz da equac¸a˜o e ao comportamento da primeira derivada de f .
18. (a) Sugesta˜o: Considere a func¸a˜o f(x) = arcsenx − x e prove que e´ positiva no intervalo considerado
analisando o comportamento da primeiraderivada;
(b) —;
(c) —.
19. (a) —
(b) —
(c) y =
1
3
(x − 1) + ln(3).
20. (a) E´ cont´ınua em R;
(b) f na˜o e´ diferencia´vel em x = 0;
(c) b = 1/e.
21. —
22. —
23.
√
7.
24. Sim.
25. —
26. —
27. lim
x→+∞
x− sinx
x+ sinx
= 1.
28. (a) 1/9;
(b) na˜o existe;
(c) 2/3;
(d) −1/2;
(e) −1;
(f) 0;
(g) 1;
(h) 0;
(i) 1;
(j) e4.
17
29. lim
x→0−
sin(pix)
kx
=
pi
k
; lim
x→0+
arctg
1
x
=
pi
2
; k = 2
30. (a) Verdadeiro.
(b) Falso: por exemplo f(x) = |x| no ponto a = 0.
(c) Falso: por exemplo f(x) = x e g(x) = x+ 1.
(d) Falso: por exemplo f(x) = −|x| e x0 = 0.
31. (a) ]0, 1[∪]1,+∞[.
(b) Crescente [e,+∞[ e decrescente ]0, 1[ e ]1, e]. Mı´nimo f(e) = e.
(c) Assintota vertical: x = 1.
(d) —
32. (a) Assintota vertical: x = 1. Assintota horizontal: y = 0.
(b) Crescente ]−∞, 1[ e decrescente ]1,+∞.
(c) Na˜o.
(d) ....
33. (a) y(3/2) = −9/4 e´ mı´nimo absoluto; y(5) = 10 e´ ma´ximo absoluto; y(0) = 0 e´ ma´ximo local.
(b) U(3) = 1/9 e´ mı´nimo absoluto; U(1) = 1/5 e´ ma´ximo absoluto.
(c) S(8) = 1 e´ mı´nimo absoluto; S(0) = 5 e´ ma´ximo absoluto.
(d) Q(3) = −4 e´ mı´nimo absoluto; Q(0) = 5 e´ ma´ximo absoluto.
34. —
35. t = 5.
36. (a) 26, 95
(b) ]1, 3[
(c) 2km
(d) 45 centenas de habitantes por km2
37. (a) 1556 milhares.
(b) 2007.
(c) I ′(t) = 1255× ln(1, 009)× 1, 009t.
38. (a) —
(b) 608
(c) —
(d) A partir de 36 anos.
(e) De´cimo quinto ano.
39. (a) —
(b) 103.
(c) 4, 62.
40. (a) 1,13m.
(b) 33Kg.
(c) —
41.
dR
dl
= k
1
r4
e
dR
dr
= k
−4l
r5
.
18
42. v = 4
√
W 2
3µ2AS
43. (a) s = mc−m2.
(b) s′ = c− 2m.
(c) Segunda ordem.
44. r =
2
3
r0.
19
4 Primitivas
1. Em cada um dos exerc´ıcios que se seguem determine o integral indefinido considerado.
(a)
∫ (
4x3 − 5x+ 9) dx
(b)
∫
1
x2 + 7
dx
(c)
∫
1√
1− x dx
(d)
∫
cosx sin3x dx
(e)
∫
1√
x
e
√
x dx
(f)
∫
x−1 (lnx)3 dx
(g)
∫
(
√
x+ 1)(x−√x+ 1) dx
(h)
∫
1√
8− x2 dx
(i)
∫
tan2 x dx
(j)
∫
1
xln x
dx
(k)
∫
1
x2 + 2x+ 5
dx
(l)
∫
earcsenx√
1− x2 dx
(m)
∫
sinx
cosx
dx
(n)
∫ √
sinx cosxdx
(o)
∫
5
1
x
x2
dx
(p)
∫
1
x ln2 x
dx
(q)
∫ √
arctanx
1 + x2
dx
(r)
∫
1
x
√
1− (lnx)2
dx
(s)
∫
x2
cos2 x3
dx
(t)
∫
sinx
cos3 x
dx
(u)
∫
5
x2 − 4x+ 9dx
(v)
∫
x
cos2 (3 + x2)
dx
20
(w)
∫
e2x
3
√
e2x + 5
dx
(x)
∫
x23x
2+1dx
(y)
∫
sinx+ cosx√
sinx− cosxdx
(z)
∫
etan(x)
cos2 x
dx
2. Calcule, usando a te´cnica de primitivac¸a˜o por partes, os seguintes integrais indefinidos:
(a)
∫
x2ex dx
(b)
∫
x3 sinx dx
(c)
∫
x3x dx
(d)
∫
x2
(1 + x2) 2
dx
(e)
∫
cos(lnx) dx
(f)
∫
arctanx dx
(g)
∫
lnx dx
(h)
∫
x arcsin(x2) dx
3. Calcule, usando a te´cnica de primitivac¸a˜o por substituic¸a˜o, os seguintes integrais indefinidos:
(a)
∫
3
√
x+ 3
x
dx.
(b)
∫ √
x+ 1 + 3
x+ 1
dx.
(c)
∫
3
√
x+
√
x
6
√
x
dx.
(d)
∫ √
x+ 3
√
x+ 4
√
x√
x
dx.
(e)
∫
ln(x) + ln2(x)
x
dx.
(f)
∫
cos(x)
sin4(x)
dx.
(g)
∫ √
arctan(x)
x2 + 1
dx.
(h)
∫
1 + e2x
ex
dx.
4. Calcule:
(a)
∫
e3 cos
2 x sinx cosx dx
21
(b)
∫
e3x sinx dx
(c)
∫
x arctanx dx
(d)
∫
eax cos(bx) dx a, b ∈ R+
(e)
∫
x cosx2 dx
(f)
∫
cos2 θ dθ
(g)
∫
sin(5x) sin(3x) dx
(h)
∫ (
x2 +
1
3
√
x
)2
dx
(i)
∫
1− x√
1− x2 dx
(j)
∫
(ps+ q)es ds
(k)
∫
(ps+ q)es dq
5. Encontre uma func¸a˜o f tal que f ′(x) + sinx = 0 e f(0) = 2.
6. Encontre uma func¸a˜o f tal que f ′′(x) = 2, f(0) = −1 e f ′(1) = 6.
7. Suponha que o declive da tangente a uma curva e´ dado, em func¸a˜o da abcissa x, por d(x) = 2 sin (3x).
Determine uma equac¸a˜o dessa curva, supondo que esta passa pelo ponto (0, 2).
8. Verifique se y e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o diferencial EDO, onde
(a) y = x2 − 2 e EDO e´ y′′ + y = x2.
(b) y = e2x e EDO e´ y′′′ − 2y′ + y = 5ex.
(c) y = 2x− sin(x) e EDO e´ y′′ = sin(x).
(d) y = cos(x) e EDO e´ exy′′ − y = ex.
(e) y = cos(ωt) e EDO e´
d2y
dt2
= −ω2y.
(f) y = at+ ekt e EDO e´
dy
dt
= ky + a(1 − kt).
9. Determine a, b ∈ R de forma que a func¸a˜o y = aebx seja soluc¸a˜o da equac¸a˜o y′ + 3y = 2e3x.
10. Verifique se as func¸o˜es f(x) = sin(x) e g(x) = cos(x) sa˜o soluc¸a˜o do sistema{
y′′ + y = 0
y(0) = 1.
11. Encontre a soluc¸a˜o geral de
(a) y′ = x2 + 3x− 1x .
(b) y′ − ln(x) = 0.
(c) y′ = sin(x) cos(x).
(d) y′ = 11+x2 e y(0) = 1.
22
12. Foi feito um estudo do crescimento de um cogumelo, e verificou-se que o volume V aumentava de acordo
com a altura h de acordo com a fo´rmula V = ch3, para uma constante c conhecida. Mostre que
1
V
dV
dt
= 3
1
h
dh
dt
,
isto e´, a raza˜o da taxa de crescimento do volume e´ treˆs vezes a raza˜o da taxa de crescimento da altura.
13. Resolva as EDO de varia´veis separa´veis:
(a) x+ yy′ = 0.
(b) xy′ − y = 0.
(c) y′ = 2xy.
(d) y′ = cosx/ sin y.
(e) (1 + y2) dx = x dy.
(f) (1 + y2) dx+ xy dy = 0.
23
Soluc¸o˜es
1. (a) x4 − 5
2
x2 + 9x+ C, C ∈ R
(b)
1√
7
arctan
x√
7
+ C, C ∈ R
(c) −2√1− x+ C, C ∈ R
(d)
sin4 x
4
+ C, C ∈ R
(e) 2e
√
x + C, C ∈ R
(f)
(lnx)
4
4
+ C, C ∈ R
(g)
2x2
√
x
5
+ x+ C, C ∈ R
(h) arcsin
x
2
√
2
+ C, C ∈ R
(i) tanx− x+ C, C ∈ R
(j) ln | lnx|+ C, C ∈ R
(k)
1
2
arctg
x+ 1
2
+ C, C ∈ R
(l) earcsenx + C, C ∈ R
(m) − ln | cos(x)| + C, C ∈ R
(n)
2
3
√
sin3(x) + C, C ∈ R
(o) − 5
1
x
ln 5
+ C, C ∈ R
(p)
−1
ln(x)
+ C, C ∈ R
(q)
2
3
√
arctan3(x) + C, C ∈ R
(r) arcsin(ln(x)) + C, C ∈ R
(s)
1
3
tan(x3) + C, C ∈ R
(t)
1
2 cos2(x)
+ C, C ∈ R
(u)
√
5 arctan
(
x− 2√
5
)
+ C, C ∈ R
(v)
1
2
tan
(
3 + x2
)
+ C, C ∈ R
(w)
3
4
(e2x + 5)2/3 + C, C ∈ R
(x)
23x
2+1
6 ln 2
+ C, C ∈ R
(y) 2
√
sinx− cosx+ C, C ∈ R
(z) etan(x) + C, C ∈ R
2. (a) x2ex − 2xex + 2ex + C, C ∈ R
(b) −x3 cosx+ 3x2 sinx+ 6x cosx− 6 sinx+ C, C ∈ R
24
(c) x
3x
ln 3
− 3
x
(ln 3)
2 + C, C ∈ R
(d) − x
2 + 2x2
+
1
2
arctanx+ C, C ∈ R
(e)
1
2
(x cos (lnx) + x sin (lnx)) + C, C ∈ R
(f) x arctanx− 1
2
ln(1 + x2) + C, C ∈ R
(g) x lnx− x+ C, C ∈ R
(h)
1
2
x2arcsenx2 +
1
2
√
1− x4 + C, C ∈ R
3. (a) 3 3
√
x+ 9 ln | 3√x|+ C, C ∈ R
(b) 2
√
x+ 1 + 6 ln |√x+ 1|+ C, C ∈ R
(c)
6
7
6
√
x7 +
3
4
3
√
x4 + C, C ∈ R
(d) x+
6
5
6
√
x5 +
4
3
4
√
x3 + C, C ∈ R
(e)
ln2(x)
2
+
ln3(x)
3
+ C, C ∈ R
(f)
−1
3 sin3(x)
+ C, C ∈ R
(g)
2
3
√
arctan3(x) + C, C ∈ R
(h) −e−x + ex + C, C ∈ R
4. (a) −1
6
e3 cos
2 x + C, C ∈ R
(b)
1
10
(−e3x cosx+ 3e3x sinx)+ C, C ∈ R
(c)
x2
2
arctanx− 1
2
x+
1
2
arctanx+ C, C ∈ R
(d)
a2
a2 + b2
(
1
a
eax cos (bx) +
b
a2
eax sin (bx)
)
+ C, C ∈ R
(e)
1
2
sin
(
x2
)
+ C, C ∈ R
(f)
1
2
θ +
1
4
sin(2θ) + C, C ∈ R
(g)
1
4
sin(2x)− 1
16
sin(8x) + C, C ∈ R
(h)
x5
5
+
6
8
x8/3 + 3x1/3 + C, C ∈ R
(i) arcsin(x) +
√
1− x2 + C, C ∈ R
(j) (ps− p+ q)es + C, C ∈ R
(k) (psq +
q2
2
)es + C, C ∈ R
5. f(x) = cosx+ 1.
6. f(x) = x2 + 4x− 1.
7. y = −2
3
cos(3x) +
8
3
.
25
8. (a) Sim
(b) Na˜o
(c) Sim
(d) Na˜o
(e) Sim
(f) Sim
9. a = 13 e b = 3.
10. A func¸a˜o g e´ soluc¸a˜o. A func¸a˜o f na˜o e´ soluc¸a˜o.
11. (a) y = x
3
3 +
3
2x
2 − ln |x|+ C, C ∈ R
(b) y = x ln(x)− x+ C, C ∈ R
(c) y = sin
2(x)
2 + C, C ∈ R
(d) y = arctan(x) + 1
12. —
13. (a) x2 + y2 = C, C ∈ R
(b) y = Cx, C ∈ R
(c) y = Cex
2
, C ∈ R
(d) sinx+ cos y = C, C ∈ R
(e) y = tan(ln |x|+ C), C ∈ R
(f) 1 + y2 = C/x2, C ∈ R
26
5 Integral definido
1. Diga, justificando, se as seguintes func¸o˜es sa˜o integra´veis.
(a) f : [0, 4]→ R definida por f(x) = cos(x2 − 2x).
(b) f :
[
0,
pi
2
]
→ R definida por
f(x) =


tanx se x ∈
[
0,
pi
2
[
2 se x =
pi
2
(c) f : [−2, 1]→ R definida por
f(x) =


x+ 1 se x ∈ [−2, 0[
2 se x = 0
x se x ∈]0, 1]
2. Seja F a func¸a˜o definida por F (x) =
∫ x
0
f(t) dt, sendo a func¸a˜o f definida por
f(t) =
{
2t2 + 1 se t ≤ 0
sin t
t
se t > 0
Verifique que F ′(x) = f(x), para todo o x ∈ R.
3. Seja F uma func¸a˜o definida por F (x) =
∫ sin x
0
(x + 1)2 arcsin t dt, para todo o x ∈
[
0,
pi
2
]
. Determine
F ′(x).
4. Determine k ∈ R de modo que f ′(1) = 0, sendo f a func¸a˜o definida por:
f(x) =
∫ k log x
x2
e−t
2
dt.
5. Mostre que f ′′(1) = 1 sendo f a func¸a˜o definida por f(x) =
∫ ln x
0
xet
2
dt.
6. Seja f : R→ R uma func¸a˜o cont´ınua em R. Seja Ψ : R → R a func¸a˜o definida por
Ψ(x) =
∫ x5
−2x
f(t) dt.
(a) Mostre que Ψ e´ diferencia´vel e calcule Ψ′(x).
(b) Supondo que f(x) < 0, para todo x ∈ R, mostre que Ψ e´ decrescente em R.
7. Seja F a func¸a˜o definida por:
F (x) =
∫ x
0
(∫ t
0
e−u
2
du
)
dt
Calcule F ′′(x).
8. Considere a func¸a˜o Ψ definida por Ψ(x) =
∫ x
0
(2 + cos2 u) du. Mostre que Ψ e´ uma func¸a˜o estritamente
crescente em R.
9. Seja f a func¸a˜o cont´ınua em R definida por f(x) =
∫ x2
0
(∫ t
0
g(v) dv
)
dt, onde g e´ uma func¸a˜o cont´ınua
em R.
Calcule o valor de f ′′(1) sabendo que g(1) = 2 e
∫ 1
0
g(v) dv = 1 .
27
10. Seja f uma func¸a˜o real de varia´vel real cont´ınua e positiva em R. Mostre que a func¸a˜o F definida por:
F (x) =
∫ 6x−x2
0
f(t) dt
admite um so´ extremo no ponto de abcissa x = 3. Classifique esse extremo.
11. Calcule os seguintes integrais definidos:
(a)
∫ 4
1
(x2 − 4x− 3) dx
(b)
∫ pi/2
0
sin5 x dx
(c)
∫ 1
0
1
a2 + x2
dx, com a paraˆmetro real na˜o nulo;
(d)
∫ e
1
x lnx dx
(e)
∫ e2
e
(
1
x lnx
+
1
1− x + ln
2 x
)
dx.
(f)
∫ 4
0
f(x) dx, onde f(x) =


xesin(x) se x < −1
2 se − 1 ≤ x ≤ 1
x− 1 se x > 1.
(g)
∫ 3
−1
f(x) dx, onde f(x) =


xex se x < 1
7 se x = 1
1
x se x > 1.
12. Mostre que o valor da a´rea da regia˜o limitada de R2 delimitada pelos gra´ficos das func¸o˜es f e g definidas,
respectivamente, por f(x) = 1/x e g(x) = x2 e pelas rectas de equac¸o˜es x = 2 e y = 0, respectivamente, e´
igual a 1/3 + ln 2.
13. Seja A = {(x, y) ∈ R2 : y ≥ (x− 3)2, y ≥ x− 1, y ≤ 4}.
(a) Represente geometricamente a regia˜o A.
(b) Calcule o valor da a´rea da regia˜o A.
14. Calcule a a´rea da figura limitada pelas curvas y = lnx, y = ln(x+ 2), y = ln(4− x) e pela recta y = 0.
15. Considere a recta y = −x+ 92 e a curva y = 1x−2 , com x > 2. Seja D a regia˜o compreendida entre a recta
e a curva.
(a) Mostre que os pontos de intersecc¸a˜o da recta y = −x+ 92 com a curva y = 1x−2 sa˜o(
4,
1
2
)
e
(
5
2
, 2
)
(b) Fac¸a um esboc¸o de D.
(c) Determine a a´rea de D.
16. Considere a regia˜o R limitada pelo eixo dos xx, pelo gra´fico da func¸a˜o definida por y =
√
x e pela recta
de equac¸a˜o x = 4.
(a) Determine a a´rea de R.
(b) Determine o valor de H de tal modo que a recta vertival x = H divida a regia˜o R em duas regio˜es
de a´rea igual.
28
Soluc¸o˜es
1. (a) f e´ integra´vel em [0, 4];
(b) f na˜o e´ integra´vel em
[
0,
pi
2
]
;
(c) f e´ integra´vel em [−2, 1].
2. —
3. F ′(x) = 2(x+ 1)
∫ sin x
0
arcsin t dt+ x(x + 1)2 cosx.
4. k =
2
e
.
5. —
6. (a) ψ′(x) = 5x4f(x5) + 2f(−2x);
(b) —.
7. F ′′(x) = e−x
2
.
8. —
9. f ′′(1) = 10.
10. x = 3 e´ um ponto de ma´ximo de F .
11. (a) −18;
(b)
8
15
;
(c)
1
a
arctan
1
a
;
(d)
e2 + 1
4
;
(e) ln
2
1 + e
− e + 2e2;
(f)
13
2
.
(g) ln(3) +
2
e
.
12. —
13. (a) —;
(b)
37
6
.
14. 6 ln(3)− 4 ln(2)− 2.
15. (a) —
(b) —
(c) 158 − 2 ln(2).
16. (a) 163 .
(b) 2 3
√
2.
29
6 Integrac¸a˜o impro´pria
1. Determine a natureza dos integrais impro´prios seguintes e, em caso de convergeˆncia, calcule o seu valor:
(a)
∫ +∞
4
1√
ex
dx;
(b)
∫ +∞
pi
cos(3x) dx;
(c)
∫ +∞
0
1
a2 + x2
dx, com a ∈ R+;
(d)
∫ +∞
0
te−st dt, com s ∈ R+;
(e)
∫ 2
−∞
1
(4− x)2 dx;
(f)
∫ +∞
−∞
x2 dx;
(g)
∫ +∞
3
4
x2 + 4
dx;
(h)
∫ 0
−∞
xe−x
2
dx;
(i)
∫ +∞
−∞
e−|x| dx.
2. Fac¸a um esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o real de varia´vel real F dada por
F (x) =
∫ x
−∞
f(t) dt, x ∈ R ,
onde f e´ a func¸a˜o real de varia´vel real definida por
f(t) =
{
t se |t| ≤ 1
0 se |t| > 1
3. Seja
f(x) =
{
m se |x| ≤ 3
0 se |x| > 3
Determine m de modo que
∫ +∞
−∞
f(x)dx = 1.
30
Soluc¸o˜es
1. (a) 2e−2;
(b) Divergente;
(c)
pi
2a
;
(d)
1
s2
;
(e)
1
2
;
(f) Divergente;
(g) 2
(
pi
2
− arctan 3
2
)
;
(h) −1
2
;
(i) 2;
2. —
3. 16 .
31