Lista de exercícios sobre esboço de gráficos,problemas de otimização e L'Hopital

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Universidade Federal de Santa Catarina
Centro de Cieˆncias F´ısicas e Matema´ticas
Departamento de Matema´tica
MTM3101 - Ca´lculo 1
7a lista de exerc´ıcios (25/09/2017 a 06/10/2017)
1. Mostre que se f ′(x) >M para todo x ∈ [a, b], enta˜o f(b) > f(a) +M(b− a).
2. Mostre que a func¸a˜o f(x) = x2 − cosx satisfaz f(x) = 0 para exatamente dois nu´meros x.
3. Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento.
f(x) = 3x4 − 4x3 − 12x2 + 5(a) f(x) = x3 + 2x2 + x+ 1(b)
f(x) = x+
1
x
(c) f(x) = 3x5 − 5x3(d)
x =
t
1 + t2
(e) y = e−x
2
(f)
4. Ache os pontos cr´ıticos, os pontos de ma´ximo ou mı´nimo locais e os intervalos nos quais f e´ crescente
ou decrescente.
f(x) = x3 + 3x2 − 9x− 10(a) f(x) = x3 + 6x2 − 15x− 1(b)
5. Determine o nu´mero real positivo cuja soma com o inverso do seu quadrado seja mı´nima.
6. Um jardim retangular de 50m2 de a´rea deve ser protegido contra animais. Se um lado do jardim ja´
esta´ protegido por uma parede de celeiro, quais as dimenso˜es da cerca de menor comprimento?
7. Encontre o ponto P da curva y =
3
x
, x > 0, que esta´ mais pro´ximo da origem.
8. Uma part´ıcula desloca-se sobre o eixo Ox com velocidade v(t) = 2t− 3, t ≥ 0. Sabe-se que no instante
t = 0 a part´ıcula encontra-se na posic¸a˜o x = 5. Determine o instante em que a part´ıcula estara´ mais
pro´xima da origem.
9. Um so´lido sera´ constru´ıdo acoplando-se a um cilindro circular reto, de altura h e raio r, uma semi-esfera
de raio r, conforme figura abaixo. Deseja-se que a a´rea da superf´ıcie do so´lido seja 5pi. Determine r e
h para que o volume do so´lido seja ma´ximo.
1
10. Encontre os valores de ma´ximo e mı´nimo locais de f usando ambos os Testes das Derivadas Primeira
e Segunda.
f(x) = x5 − 5x+ 3(a) f(x) = x
x2 + 4
(b)
11. Esboce o gra´fico de uma func¸a˜o que satisfac¸a todas as condic¸o˜es dadas.
f ′(1) = f ′(−1) = 0, f ′(x) < 0 se |x| < 1, f ′(x) > 0 se 1 < |x| < 2, f ′(x) = −1 se |x| > 2, f ′′(x) < 0
se −2 < x < 0 e ponto de inflexa˜o em (0, 1).
12. Mostre que, para todo x > 0, tem-se:
ex > x+ 1(a) cosx > 1− x
2
2
(b)
13. Mostre que se f(x) = x4, enta˜o f ′′(0) = 0, mas (0, 0) na˜o e´ um ponto de inflexa˜o do gra´fico de f .
14. Mostre que a func¸a˜o g(x) = x|x| tem um ponto de inflexa˜o em (0, 0), mas g′′(0) na˜o existe.
15. Um fabricante de latas cil´ındricas de conservas recebe um pedido muito grande de latas com determinado
volume V0. Quais as dimenso˜es que minimizara˜o a a´rea total da superf´ıcie de uma lata como esta e,
portanto de metal necessa´rio para fabrica´-la?
16. Uma caixa com base quadrada e sem tampa tem um volume de 32.000 cm3. Encontre as dimenso˜es da
caixa que minimizam a quantidade de material usado.
17. Duas part´ıculas P e Q movem-se, respectivamente, sobre os eixos Ox e Oy. A func¸a˜o de posic¸a˜o P e´
x =
√
t e a de Q, y = t2 − 3/4, t ≥ 0. Determine o instante em que a distaˆncia entre P e Q seja a
menor poss´ıvel.
18. Calcule os limites abaixo.
lim
x→−1
x2 − 1
x+ 1
(a) lim
x→+∞
lnx
x
(b)
lim
x→0+
x e
1
x(c) lim
x→∞
lnx
e3x
(d)
lim
x→0+
(1− cos x) lnx(e) lim
x→∞
(x2 + 1)
1
ln x(f)
lim
x→0+
(cos 3x)
1
sen x(g) lim
x→∞
(
x
x2 + 1
)x
(h)
lim
x→1
x100 − x2 + x− 1
x10 − 1(i) limx→+∞
√
x2 + 2√
2x2 + 1
(j)
lim
x→0
x− tg x
x3
(k) lim
x→+∞
(√
x2 + x− x
)
(l)
2
19. Esboce o gra´fico de cada uma das func¸o˜es abaixo, seguindo as seguintes etapas:
• Explicite o domı´nio da func¸a˜o.
• Verifique se a func¸a˜o possui alguma simetria (se e´ par ou ı´mpar) ou se e´ perio´dica.
• Determine o valor de f(0) se existir.
• Localize, se poss´ıvel, as ra´ızes de f .
• Calcule os limites de f para x→ +∞ e x→ −∞.
• Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento.
• Encontre os pontos cr´ıticos, determine os pontos de ma´ximo e mı´nimo e calcule os seus valores.
• Estude a concavidade e destaque os pontos de inflexa˜o.
• Calcule os limites laterais de f nos pontos p tais que f na˜o e´ cont´ınua em p ou se f(p) na˜o estiver
definida, mas p for um extremo do domı´nio de f .
• Determine as ass´ıntotas.
f(x) =
x2
x2 + 9
(a) f(x) = x4 − 2x3 + 2x(b)
f(x) = x e−2x(c) f(x) = e−x − e−2x(d)
f(x) = 3
√
x2 − x3(e) f(x) = x lnx(f)
f(x) = x+
2
x2
(g) f(x) =
2x2 + 4x
2 + x2
(h)
20. Encontre todas as func¸o˜es f tais que:
f ′(x) = sen x(a) f ′′(x) = x3(b)
f (3)(x) = x+ x2(c) f ′(x) =
√
x(d)
3