AP1 C2 2017 1 Gabarito

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Fundação CECIERJ 
AP1
 Questão 1 [3,0 pontos] Determine a área da região sombreada 
 
Solução 
Localize, na Figura 1, o ponto de interseção 
analogamente
12,
4
 
 
 
éo ponto de interseção das curvas 
 
Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Superior a Distância
AP1- CÁLCULO II-2017/1 Gabarito 
 
Determine a área da região sombreada 
 
Figura 1 
o ponto de interseção ( )2, 2 das curvas y
éo ponto de interseção das curvas 
1
2x
y = e 1
4
y x= −
Vice Presidência de Educação Superior a Distância 
 
2
1
4
xy = + e 
2
1
y
x
=
−
, 
1y x= − ; ( )0,1 é o ponto de 
Cálculo II Gabarito da AP1 2017/1 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
P
á
g
in
a
2
 
interseção das curvas 
2
1
4
xy = + e 
1
2x
y = e finalmente 15,
2
 
 
 
é o ponto de interseção das curvas 
1 1
4
y x= − e 2
1
y
x
=
−
. A região R dada é a união das regiões 1R e 2R . 
Neste caso, a representação da área é feita por duas integrais em relação à variável x : 
1 2( ) ( ) ( )A R A R A R= + =
2 2
0
1[ 1 ]
4 2x
x dx+ +−∫
5
2
2 1 1
1 4
][ x
x
dx− −
−∫ =
�
23
3/2 3
00
5
2
2 1 2 8 1 1 1 12ln 1 . ( 1) 2 2 ln 4 2 2ln1
12 ln 2 4 3 12 4ln 2 ln 2 6 6
xx
x x x
−                            + + − − − = + + − + − − −                                    
+
 
2 1 1 8 1 8 3 72 2 ln 4 4ln 2
3 4 ln 2 ln 2 6 6 3 4ln 2 6
             = + + − + − + = − + −                    
3 3 4ln 2
2 4ln 2
= − + unidades de área.
 
________________________________________________________________________________ 
Questão 2 [2,0 pontos] Encontre (3)H ′ dado que [ ]
2
3
3
1 2 3 ( )( )
x
t H t dt
x
H x ′−= ∫ onde 0x > 
e H ′ é contínua. 
 
Solução 
 
Observe que H é derivável, pois é o produto de funções deriváveis para todo número 0x > 
Logo, utilizando a fórmula de derivada de um produto temos 
 
[ ] [ ]
2 2
3 3
2
3 3
1 12 3 ( ) 2 3 ( )( )
x x
t H t dt t H t dt
x x
H x
′   
    
′ ′− + − −    
    
   
′ = ∫ ∫
 
 
Usando agora a 1ª forma do TFC e a regra da cadeia na primeiraparcela, obtemos 
Cálculo II Gabarito da AP1 2017/1 
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ 
 
P
á
g
in
a
3
 
[ ]
2
2 2 2 3
2
3
1 12 3 ( ) 2 3 ( )
3 3 3
( )
x
x x xH t H t dt
x x
H x
  ′     ′ ′
− − −            
′ = ∫
[ ]
2
2 2 3
2
3
1 2 12 3 ( ) 2 3 ( )
3 3 3
( )
x
x x xH t H t dt
x x
H x
 
     
′ ′
− − −     
     
 
′ = ∫
[ ]
2
2 2 3
2
3
2 12 3 ( ) 2 3 ( )
3 3 3
( )
x
x xH t H t dt
x
H x
 
  
′ ′
− − −  
   
 
′ = ∫ 
Calculando a derivada em 3x = , tem-se: 
[ ]
23
2 2 3
2
3
2 3 3 12 3 ( ) 2 3 ( )
3 3 3 3
(3) H t H t dtH
 
  
′ ′
− − −  
   
 
′ = ∫
[ ] [ ]
3
3
0
2 16 3 (3) 2 3 ( )
3 9
(3) H t H t dtH  ′ ′− − − 
 
′ = ∫
���������
 
 
(3) 4 2 (3)H H−′ ′= Ou seja (3) 4 / 3.H ′ = 
________________________________________________________________________________ 
 
 
Questão 3 [1,5 ponto] Usando a técnica de substituição, calcule
2
cos
sen
dθ
θ θ
θ∫ 
 
Solução 
Seja
cos
sen
2
u du dθθ θ
θ
= ⇒ = .Logo 
1
22
cos 1 2 22 2
1sen
udu C C C
u u sen
dθ
θ θ θ
θ
−  − −
= = + = + = + 
− 
∫∫ . 
________________________________________________________________________________ 
Questão 4 [1,5 ponto] Usando a técnica de integração por partes, calcule
2 lnx xdx∫ . 
 
Solução 
 
Cálculo II Gabarito da AP1 2017/1 
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P
á
g
in
a
4
 
Faça nl dxx
x
u du= ⇒ =
 
e 
3
2
3
x
xdv dx v= ⇒ = 
Assim, 
3 3
2 ln ln
3 3
x x dx
x xdx x
x
−=∫ ∫
3
21ln
3 3
x
x dxx−= ∫
 
3 3 3 1ln (ln )
3 9 3 3
x x x
x C x C− + = − +=
 
 
.________________________________________________________________________________ 
 
Questão 5 [2,0 pontos] Usando a técnica de potências e produtos de funções trigonométricas, 
calcule 
2
2
0
8 sen xdx
pi
∫ . 
Solução 
2
2
0
8 sen xdx
pi
∫
2
0
1 cos28
2
x dx
pi
− 
=  
 ∫
2 2
0 0
1 18 2cos2
2 4
dx xdx
pi pi 
 
= − 
 
 
∫ ∫
 
 
 
] ]
2 2
2 2
0 0
0 0
1 18 2cos2 4 2sen 2
2 4
dx xdx x x
pi pi
pi pi
 
 
= − = − 
 
 
∫ ∫
0
4 2sen (2 ) 2
2 2
pi pi
pi= − =
�����