2014 2 AP1 HM Gabarito

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Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Superior a Distância 
 
1
a
 Avaliação Presencial de História da Matemática – 2014-1 
(gabarito) 
 
Questão 1 [3,0 pts] 
 
a) Multiplique, como os egípcios, 27 por 15, ou seja, tome 15 vezes o número 27. 
b) Resolva a equação 
 
 
 
 
 
 , usando o método da falsa posição. 
 
Solução: 
a) 
∖1 27 
∖2 54 
∖4 108 
∖8 216 
16 432 
1 + 2 + 4 + 8 = 15 ⇒ 27 ⨯ 15 = 27 + 54 + 108 + 216 = 405. 
Uma maneira mais rápida de resolve este problema, também usada peloas egípcios, é a seguinte: 
1 27 
∖10 270 
∖5 135 
Da segunda para terceira linha, os números de cada coluna foram divididos por 2, então: 
10+ 5 = 15 ⇒ 27 ⨯ 15 = 270 +135 = 405. 
b) 
Assim como o escriba, vamos “evitar” as frações 1/3 e 1/7 simultaneamente. 
Para isso, podemos escolher como posição inicial (isto é, como uma primeira tentativa) um múltiplo 
comum de 3 e 7, por exemplo: o m.m.c.(3,7) = 21 . 
Substituindo na equação a posição inicial (21) temos: 
21(1/3) + 21(1/7) = 7 + 3 = 10 (*) 
Como o resultado esperado é 50 o resultado que obtivemos em (*) deve ser multiplicado por 5 para 
obtermos 50. 
Sendo assim: x = = 105. 
Questão 2 [2,5 pts] – Os babilônios usavam um sistema de numeração posicional sexagesimal (base 
60). Para representar os “algarismos” da base babilônica usaremos os dígitos da nossa escrita: 0, 1, 2, 
..., 59. Para separar as ordens (potências de 60) utilizaremos “;” (ponto e vírgula) e para separar a 
parte inteira da parte “sexagesimal” usaremos “,” (a vírgula - assim como fazemos na base decimal). 
Por exemplo: o número 15x60
2
 + 7x60
0
 +26x60
-1
 + 51x60
-2
 será representado por 15 ; 0 ; 7 , 26 ; 51. 
a) Complete a tabela com o produto dos números indicados na primeira linha e na primeira coluna. 
x 1,0 24,0 51,0 10,0 
24,0 4 ; 0 , 0 
30,0 30 , 0 
 
b) No tablete YBC 7289 os babilônios consideraram o diagonal de um quadrado de lado medindo 
(0,30) como sendo o produto de (0,30) por (1 , 24 ; 51 ; 10). Determine a medida da diagonal, 
isto é, calcule (0,30) x (1 , 24 ; 51 ; 10). (indique o resultado usando a representação 
sexagesimal). 
 
Solução: 
a) Complete a tabela com o produto dos números indicados na primeira linha ena primeira coluna. 
 
24,0 x 1,0 = 24,0 
24,0 x 24,0 = 576 = 9 x 60 + 36 = 9 ; 36 , 0 
24,0 x 51,0 = 1224 = 20 x 60 + 24 = 20 ; 24 , 0 
30,0 x 24,0 = 720 = 12 x 60 = 12 ; 0 , 0 
30,0 x 51,0 = 1530 = 25 x 60 + 30 = 25 ; 30 , 0 
30,0 x 10,0 = 300 = 5 x 60 = 5 ; 0 , 0 
 
x 1,0 24,0 51,0 10,0 
24,0 24,0 9 ; 36 , 0 20 ; 24 , 0 4 ; 0 , 0 
30,0 30,0 12 ; 0 , 0 25 ; 30 , 0 5 ; 0 , 0 
 
b) (0 , 30) x (1 , 24 ; 51 ; 10) 
 
 
 
 x ( 
 
 
 
 
 
 
 
 
) = 
 
 
 + 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 + 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = 
 
 
 + 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
= 
 
 
 + 
 
 
 
 
 
 0 , 42 ; 25 ; 35 
 
 
 
Questão 3 [2,5 pts] – Em Crotona, uma colônia grega situada no sul da Itália, 
Pitágoras, nascido por volta de 572 a.C., fundou a famosa escola pitagórica 
voltada ao estudo de filosofia, matemática e ciências naturais. Os pitagóricos 
foram os responsáveis por um dos momentos mais críticos da matemática: a 
prova de que há segmentos não comensuráveis. Tal fato foi verificado no 
problema que estabelece uma comparação entre o lado do quadrado e sua 
diagonal. Considere o quadrado ABCD. Seja BC a diagonal e AB um dos lados 
do quadrado. Demonstre que 
 ̅̅ ̅̅
 ̅̅ ̅̅
 não pode ser um número racional. 
 
 
Solução: 
Suponhamos, inicialmente, como os gregos, que existia uma subunidade u suficientemente pequena 
de tal modo que ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ 
 
 
 Logo ̅̅ ̅̅ 
 
 
 ̅̅ ̅̅ . 
Como o triângulo ABC é retângulo e isósceles, temos que: 
 
 ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ . 
 
Substituindo agora o valor de BC na equação acima, temos: 
 
 
 
 
 ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ⇒
 
 
 ⇒ 
Isto é, m
2
 é par. 
Se m
2 
é par, então m é par. 
Logo m = 2k, k um número inteiro. Mas como 
 
 
 é irredutível, temos que n é ímpar. 
 
No entanto, ao substituir m = 2k, pode-se observar 
 
(2k)
2
 = ⇒ ⇒ ⇒ é par ⇒ . 
 
Assim, n deve ser simultaneamente par e impar. O que é um absurdo! 
 
Através do dilema de Pitágoras surgem neste contexto os segmentos incomensuráveis. A diagonal do 
quadrado unitário e um de seus lados são segmentos incomensuráveis: isto é, não existe razão 
irredutível 
 
 
 que expresse sua medida. 
Tal fato é consequência da prova anterior e foi desse modo que surgiu o número irracional √ . 
 
 
 
 
 
Questão 4 [2,0 pts] – Encontre a solução real da equação cúbica x3 + 6x2 + 18x + 10 = 0 utilizando 
os métodos de Tartaglia e Scipione dal Ferro. Para isso, realize as seguintes etapas: 
 
a) Faça a mudança de variável (Tartaglia) x = y − 2 para transformar a equação dada em uma 
equação reduzida da forma y
3 
+Ay = B. Identifique os valores de A e B que você 
encontrou na sua equação reduzida. 
b) Considerando y = s – t e o sistema {
 
 
, encontre a solução real da equação 
x
3 
+ 6x
2
 + 18x + 10 = 0. 
 
Solução: 
a) Fazendo a mudança de variável (Tartaglia) x = y − 2 tem-se: 
(y − 2)3 + 6(y − 2)2 + 18(y − 2) + 10 = 0 => 
y3 − 6y2 + 12y – 8 +6y2 – 24y + 24 + 18y – 36 + 10 = 0 => 
y3 + 6y − 10 = 0 => y3 + 6y = 10. 
A = 6 e B = 10. 
b) Para usar o método de Scipione dal Ferro, consideramos y = s – t e resolvemos o sistema 
{
 
 
 
Resolução do sistema 
Substituindo 
 
 
 
 
 
 na segunda equação tem-se 
(
 
 
)
 
 
 
 
 
 
Fazendo outra substituição, , tem-se que w é solução da equação do segundo grau 
 
Logo 
 √ 
 
 √ 
Escolhendo a o valor positivo para w, isto é, √ , tem – se √ √ 
 
 . 
De , tem-se 
 ( √ ) 
 √ 
 √ 
 √ √ 
 
 
Retornando á equação original... 
y = s – t = √ √ 
 
 √ √ 
 
 
x = y – 2 = √ √ 
 
 √ √