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12/09/2016
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Aula 3
Doutoranda e Mestra em Ensino de 
Ciências e Educação Matemática
Unidade de Ensino: 3
Competência da 
Unidade de Ensino:
Conhecer os fundamentos de cálculo necessários à formação do
profissional da área de exatas.
Resumo:
Nesta aula, conheceremos mais algumas regras de derivação e 
aplicaremos tais regras na descrição de fenômenos e situações-
problema. 
Palavras-chave: Derivadas; regras; funções. 
Título da teleaula: Regras de derivação
Teleaula nº: 3
Por meio da definição de derivada, associada à ideia
de limite, é possível calcular qualquer função que
tenha derivada em um ponto.
No entanto, dependendo da função,
você imaginou o quanto esse cálculo
pode ser trabalhoso e complicado?
Além da definição, 
existe outra maneira 
mais simples de 
realizar o cálculo de 
derivada de uma 
função?
Existem relações entre 
as funções e suas 
derivadas, de maneira 
que possamos adotar 
alguma regra ao invés de 
utilizar a definição? 
Em que tipos de 
situações um 
engenheiro 
precisa encontrar 
a taxa de variação 
instantânea?
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Operações matemáticas básicas
Equações polinomiais (algébricas):
operações, conjunto solução (raízes), fatoração, 
produtos notáveis.
Sistema de coordenadas cartesianas:
representação gráfica.
Funções
João acabou de concluir o Ensino Médio e irá 
participar de um processo seletivo, em uma empresa 
multinacional.
Teste:
mostrar que 
compreende e é 
capaz de resolver 
problemas ligados 
ao cotidiano.
Resolver 
situações-
-problema: 
que tratam da 
interdependência 
de várias coisas.
Uma companhia telefônica quer estimar o número 
de novas linhas residenciais que deverá instalar em 
um dado mês. No início de janeiro, havia 100 000 
assinantes, cada um com 1,2 linhas, em média. A 
companhia estimou o crescimento das assinaturas 
em 1 000 ao mês. Pesquisando
os assinantes existentes, a
companhia descobriu que cada
um pretendia instalar, em média,
0,01 linha telefônica nova até o
final daquele mês. 
Estime o número de novas linhas que a 
companhia deverá instalar até o final de 
janeiro, calculando a taxa de crescimento 
das linhas no começo do mês.
Regras de derivação:
5ª)
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 ∙ 𝑔 𝑥 = 𝑓′ 𝑥 ∙ 𝑔 𝑥 + 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔′(𝑥)
Exemplo: 𝑦 = (4𝑥2 − 1) ∙ (7𝑥3 + 𝑥)
𝑦′ = 8𝑥 ∙ 7𝑥3 +𝑥 + 4𝑥2 −1 ∙ 21𝑥2 +1
𝑦′ = 56𝑥4 + 8𝑥2 + 84𝑥4 + 4𝑥2 − 21𝑥2 − 1
𝑦′ = 140𝑥4 − 9𝑥2 − 1
𝒇 𝒙 𝒈(𝒙)
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Regras de derivação:
6ª)
𝑑
𝑑𝑥
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
𝑓′ 𝑥 ∙ 𝑔 𝑥 − 𝑓 𝑥 ∙ 𝑔′(𝑥)
[𝑔 𝑥 ]²
Exemplo: 𝑦 =
𝑥2+ 𝑥 − 2
𝑥3 + 6
𝑦′=
2𝑥 + 1 ∙ 𝑥3 + 6 − (𝑥2 + 𝑥 − 2) ∙ (3𝑥²)
(𝑥3 + 6)²
𝑦′=
2𝑥4 + 12𝑥 + 𝑥3 + 6 − 3𝑥4 − 3𝑥3 + 6𝑥²
(𝑥3 + 6)²
𝒚′=
−𝒙𝟒 − 𝟐𝒙𝟑 + 𝟔𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝒙 + 𝟔
(𝒙𝟑 + 𝟔)²
𝒇(𝒙)
𝒈(𝒙)
Uma companhia telefônica quer estimar o número 
de novas linhas residenciais que deverá instalar em 
um dado mês. No início de janeiro, havia 100 000 
assinantes, cada um com 1,2 linhas, em média. A 
companhia estimou o crescimento das assinaturas 
em 1 000 ao mês. Pesquisando
os assinantes existentes, a
companhia descobriu que cada
um pretendia instalar, em média,
0,01 linha telefônica nova até o
final daquele mês. 
Estime o número de novas linhas que a companhia
deverá instalar até o final de janeiro, calculando a
taxa de crescimento das linhas no começo do mês.
Sejam:
𝑠 𝑡 o número de assinantes;
𝑛(𝑡)o número de linhas telefônicas;
𝑡 medido em meses;
𝑡 = 0 → início de janeiro;
𝐿(𝑡) o número total de linhas.
𝑳 𝒕 = 𝒔(𝒕) ∙ 𝒏(𝒕)
Determinar 𝐿′ 0 ;
assinantes em janeiro: 𝑠 0 = 100000;
n° de linhas/assinantes em janeiro:
𝑛 0 = 1,2
taxa de crescimento mensal por
assinante:
𝑠′ 0 ≅ 1000
taxa de crescimento de novas
linhas por assinante:
𝑛′ 0 = 0,01
𝑳 𝒕 = 𝒔(𝒕) ∙ 𝒏(𝒕)
𝐿′ 𝑡 = 𝑠′ 𝑡 ∙ 𝑛 𝑡 + 𝑠(𝑡) ∙ 𝑛′(𝑡)
𝐿′ 0 = 𝑠′ 0 ∙ 𝑛 0 + 𝑠 0 ∙ 𝑛′ 0
𝐿′ 0 = 1000 ∙ 1,2 + 100000 ∙ 0,01
𝐿′ 0 = 1200 + 1000
𝑳′ 𝟎 = 𝟐𝟐𝟎𝟎
A companhia precisou instalar,
aproximadamente, 2 200 novas
linhas telefônicas no mês de janeiro. 
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Suponha que um engenheiro de determinada empresa 
tenha um carro econômico que faça 20 km por litro de 
combustível. Sabe-se que a quilometragem que pode 
ser alcançada, sem que o carro seja reabastecido, é 
uma função do número de litros que há no tanque de 
combustível. 
Se cada litro de combustível custa R$ 4,00 
no posto de preferência do engenheiro, 
qual a quilometragem obtida por real 
gasto em combustível?
Considere que a quantidade de 
combustível disponível no tanque é 
uma função da quantia de dinheiro 
gasto no abastecimento.
Função composta:
dadas duas funções, 𝑓 e 𝑔, a função composta 𝑓 ∘ 𝑔 é
definida por (𝑓 ∘ 𝑔( 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 .
Exemplo: Considere 𝑓 𝑥 = 𝑥²
e 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 3
𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 3 2
𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 3
Função composta
Exemplo: 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 1 → 
𝑦 = 𝑓 𝑢 = 𝑢
𝑢 = 𝑔 𝑥 = 𝑥2 + 1
Observe que:
𝒅𝒖
𝒅𝒙
∶ taxa de variação de u em
relação a x.
𝒅𝒚
𝒅𝒖
: taxa de variação de y em
relação a u.
𝒚 = 𝒇 𝒖 = 𝒇(𝒈(𝒙))
Regra da Cadeia:
a derivada de uma função composta é o produto das
derivadas das funções “de fora” e “de dentro”.
Notações:
𝑓 𝑔 𝑥
′
= 𝑓′(𝑢) ∙ 𝑔′(𝑥)
𝑒
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
Exemplo: 𝑦 = (𝑥2 + 2)100
𝑓 𝑔(𝑥) = (𝑥2 + 2)100
𝑢 = 𝑔 𝑥 = 𝑥2 + 2
𝑓 𝑢 = 𝑢100
𝑓′ 𝑢 = 100𝑢99
𝑔′ 𝑥 = 2𝑥
𝑓 𝑔 𝑥
′
= 𝑓′(𝑢) ∙ 𝑔′(𝑥)
𝑓 𝑔 𝑥
′
= 100(𝑥2 + 2)99 ∙ 2𝑥
𝒇 𝒈 𝒙
′
= 𝟐𝟎𝟎𝒙(𝒙𝟐 + 𝟐)𝟗𝟗
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Suponha que um engenheiro de determinada
empresa tenha um carro econômico que faça 20 km
por litro de combustível. Se cada litro de combustível
custa R$ 4,00 no posto de preferência do engenheiro,
qual é a quilometragem obtida por real gasto em
combustível?
Considere que a quantidade de
combustível disponível no tanque
é uma função da quantia de
dinheiro gasto no abastecimento.
Sejam:
𝑦 → n° de km que pode ser alcançado;
𝑢 → n° de litros de combustível disponíveis.
𝒚 = 𝒇(𝒖)
𝑥 → n° de reais pagos no
abastecimento.
𝒖 = 𝒈(𝒙)
20 km/L é a taxa de variação da quilometragem em
relação ao combustível:
𝑓′ 𝑢 =
𝑑𝑦
𝑑𝑢
= 20 𝑘𝑚/𝐿
Sendo R$ 4,00/L, cada real
fornece ¼ de litro de combustível: 
𝑔′ 𝑥 =
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
1
4
𝐿/𝑟𝑒𝑎𝑙
O n° de quilômetros que podem ser percorridos também
é uma função do n° de reais que foram gastos com
combustível. Assim, temos:
𝑦 = 𝑓 𝑢 = 𝑓(𝑔 𝑥 )
A quilometragem obtida por real
gasto em combustível é 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
∙
𝑑𝑢
𝑑𝑥
20 𝑘𝑚
1 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜
∙
1 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜
4 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠
=
20 𝑘𝑚
4 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠
∴ 5 𝑘𝑚/𝑟𝑒𝑎𝑙
Considere uma população de bactérias em um meio
nutriente homogêneo. Suponha que, ao recolher
amostras da população em certos intervalos, tenha
sido verificado que ela duplica a cada hora.
Considere que a população
inicial seja de 𝑛0 = 100 bactérias. 
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Qual é a taxa de crescimento 
depois de 4 horas?
Derivada da função logarítmica:
𝑓 𝑥 = ln 𝑥 é diferenciável para 𝑥 > 0.
𝑑
𝑑𝑥
(ln 𝑥) =
1
𝑥
𝑑
𝑑𝑥
log𝑎 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
ln 𝑥
ln 𝑎
=
1
𝑥 ln 𝑎
Exemplo: 𝑦 = ln(𝑥2 + 1)
𝑦 = 𝑓 𝑢 = 𝑓 𝑔 𝑥
𝑦 = 𝑓 𝑔 𝑥 , 𝑢 = 𝑔 𝑥 𝑒 𝑦 = 𝑓 𝑢 :
𝒇 𝒈 𝒙
′
= 𝒇′(𝒖) ∙ 𝒈′(𝒙)
𝑢 = 𝑥2 + 1
𝑢′ =
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 2𝑥
𝑦 = ln 𝑢
𝑦′ =
𝑑𝑦
𝑑𝑢
=
1
𝑢
Substituindo na Regra da Cadeia, temos:
𝒇 𝒈 𝒙
′= 𝒇′ 𝒖 ∙ 𝒈′ 𝒙 𝑜𝑢
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒅𝒚
𝒅𝒖
∙
𝒅𝒖
𝒅𝒙
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
𝑢
∙ 2𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
1
𝑥2 + 1
∙ 2𝑥
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝟐𝒙
𝒙𝟐 + 𝟏
Derivada da função exponencial: 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥
𝑑
𝑑𝑥
𝑎𝑥 = 𝑎𝑥 ln 𝑎
𝑑
𝑑𝑥
𝑒𝑥 = 𝑒𝑥
Considere uma população de bactérias em um meio
nutriente homogêneo. Suponha que, ao recolher
amostras da população em certos intervalos, tenha
sido verificado que ela duplica a cada hora. Desse
modo, considere que a população inicial seja de 𝑛0 =
100 bactérias.
Qual é a taxa de crescimento
depois de 4 horas?
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Se a população inicial for 𝑛0 e o tempo medido em
horas, então:
𝑓 1 = 2 ∙ 𝑓 0 = 2 ∙ 𝑛0
𝑓 2 = 2 ∙ 𝑓 1 = 2² ∙ 𝑛0
𝑓 3 = 2 ∙ 𝑓 2 = 2³ ∙ 𝑛0
⋮
𝒇 𝒕 = 𝟐𝒕 ∙ 𝒏𝟎
𝑜𝑢
𝒇 𝒕 = 𝒏𝟎 ∙ 𝟐
𝒕
A taxa de crescimento da população de bactérias no
tempo 𝑡 é:
𝒇 𝒕 = 𝒏𝟎 ∙ 𝟐
𝒕
𝑓′(𝑡) = 𝑛0 ∙ 2
𝑡∙ ln 2
Para 𝑛0 = 100 bactérias e 𝑡 > 4 horas, temos:
𝑓′(𝑡) = 𝑛0 ∙ 2
𝑡∙ ln 2
𝑓′(𝑡) = 100 ∙ 24∙ ln 2
𝑓′(𝑡) = 100 ∙ 16 ∙ ln 2
𝑓′(𝑡) = 1600 ∙ ln 2
𝒇′ 𝒕 ≅ 𝟏. 𝟏𝟎𝟗 bactérias/h
Um engenheiro está desenvolvendo um projeto. Para
tanto, em uma mola, ele pendura um peso que é
puxado para baixo a 5 unidades da posição de
repouso e liberado no instante 𝑡 = 0, para que a
oscile para cima e para baixo. Sabe-se que a posição
do peso em qualquer instante 𝑡 posterior é:
𝒔 = 𝟓 𝐜𝐨𝐬 𝒕
Como João 
poderá 
resolver esse 
problema?
Qual será a 
velocidade no 
instante t?
Qual será a 
aceleração do 
peso no 
instante t?
Derivada das funções trigonométricas: sen 𝑥 e cos 𝑥
Todas as funções trigonométricas são contínuas em
todo número em seus domínios;
Se 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 → 𝑦′ = cos 𝑥
Se 𝑦 = cos 𝑥 → 𝑦′ = −𝑠𝑒𝑛 𝑥
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Derivada das demais funções trigonométricas:
se 𝑦 = 𝑡𝑔 𝑥 → 𝑦′ = 𝑠𝑒𝑐2𝑥;
se 𝑦 = 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 → 𝑦′ = −𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝑥;
se 𝑦 = 𝑠𝑒𝑐 𝑥 → 𝑦′ = sec 𝑥 ∙ 𝑡𝑔 𝑥;
se 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 → 𝑦′ =
= −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥.
Derivadas sucessivas
Derivada segunda:
𝑑2𝑦
𝑑𝑥²
ou 𝑓′′(𝑥)
Derivada terceira:
𝑑3𝑦
𝑑𝑥³
ou 𝑓′′′(𝑥)
Derivada quarta:
𝑑4𝑦
𝑑𝑥4
ou 𝑓(4)(𝑥)
Etc.
Exemplo: 𝑓 𝑥 = 2𝑥5 + 3𝑥²
𝑓′ 𝑥 = 10𝑥4 + 6𝑥
𝑓′′ 𝑥 = 40𝑥3 + 6
𝑓′′′ 𝑥 = 120𝑥2
𝑓 4 𝑥 = 240𝑥
𝑓 5 𝑥 = 240
Um engenheiro está desenvolvendo um projeto. Para
tanto, em uma mola, pendura um peso que é puxado
para baixo a 5 unidades da posição de repouso e
liberado no instante 𝑡 = 0, para que a oscile para
cima e para baixo. Sabe-se que a posição do peso em
qualquer instante 𝑡 posterior é:
𝒔 = 𝟓 𝐜𝐨𝐬 𝒕
Qual a velocidade e a aceleração
do peso no instante t?
Posição: 𝑠 = 5 cos 𝑡
Velocidade:
𝑣 =
𝑑𝑠
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
(5 cos 𝑡) = −𝟓 𝒔𝒆𝒏 𝒕
Aceleração:
𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
−5𝑠𝑒𝑛 𝑡 =
= −𝟓𝐜𝐨𝐬 𝒕
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Vimos que a Regra da Cadeia é utilizada para derivar
funções compostas. No entanto, como podemos
identificar quando uma função é ou não composta?
Sobre derivadas sucessivas, existe
algum tipo de função que tem
ordem infinita de derivações?
Se sim, quais são as características
desse tipo de função?