Equação polinomial exercicios

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1) Dadas as equações decompostas a seguir, determine seu grau, suas raízes e multiplicidades: a) x(x – 1)(x + 2)(x – 3) = 0 
b) x(x + 1)2 (x – 1)(x + 2)3 = 0 
c) (x – i)(x + i)(x – 3)3 = 0 
d) (x – 3)3 (x – 2)2 (x – 1 + i)(x – 1 – i) = 0 
2) Resolva, em ℂ, as equações: 
a) x3 + 3x2 – 18x = 0 
b) x3 + 3x2 + 6x + 18 = 0 
c) x3 – 4x + x2 – 4 = 0 
d) x4 – 2x2 – 8 = 0 
e) (x2 + 1).(x2 – 7x + 12) = 0 
f) x 4 + x2 – 20 = 0 
3) Resolva a equação polinomial:
 
4) Escreva as seguintes equações na forma fatorada, usando o teorema da decomposição. 
a) 2x2 – 8x + 6 = 0, de raízes 1 e 3 
b) 2x3 – 6x2 + 8x – 24 = 0, de raízes – 2i, 2i e 3 
c) x3 – 7x2 + 17x – 15 = 0, de raízes 3, 2 + i e 2 – i 
5) Encontre uma equação do 3º grau que tenha raízes: 
a) 2; - 2 e – 4 
b) 2, - i e i 
c) 3 (dupla) e – 4 
6) Considere a equação x3 + 6x2 + 13x + m = 0. Determine o valor de m e seu conjunto solução, sabendo que x = - 2 é uma de suas raízes. 
7) Seja a equação 4x4 – 4x3 + 5x2 – 4x + m = 0. Determine m sabendo que 2 é raiz dupla, a seguir, determine a terceira raiz da equação. 
8) (UF PELOTAS – RS) A igualdade abaixo resulta numa equação que tem 1 + i como uma de suas raízes. Calcule as outras raízes dessa equação. 
9) Resolva a equação 9x4 – 18x3 + 46x2 – 2x + 5 = 0, sabendo que uma de suas raízes é 1 + 2i. 
10) Resolva a equação x4 – 9x2 – 4x + 12 = 0, sabendo que x = - 2 é uma raiz dupla. 
11) Determine o conjunto solução da equação 4x4 – 4x3 – 23x2 – x – 6 = 0, sabendo que – 2 e 3 são duas de suas raízes. 
12) Escreva uma equação de 4º grau cujas raízes são 0, 2, - 3i, 3i. 
13) (VUNESP - SP) Sabe-se que a unidade imaginária (i) é raiz do polinômio 
p(x) = x4 – 3x3 + 3x2 + ax + 2. Assim: 
a) determine o valor de a 
 b) resolva a equação p(x) = 0 
14) Qual o menor grau que pode ter uma equação de coeficientes reais que admite como raízes 1, 2, 3, 3 – i e 2i? 
15) (UFSE) Se uma equação polinomial com coeficientes reais admite as raízes i, 1 – i e – 2, então o seu grau é:
a) no máximo 5
b) no mínimo 5
c) certamente 5
d) no mínimo 3 
16) Resolva a equação x3 – 8x2 + 19x – 12 = 0, sabendo que uma de suas raízes é igual à soma das outras duas. 
17) Resolva a equação x3 – 9x2 + 2x + 48 = 0, sabendo que uma de suas raízes é a média aritmética das outras duas. 
18) Resolva a equação x3 + 9x2 + 23x + 15 = 0, sabendo que suas raízes estão em P.A. de razão 2. 
GABARITO
1)
a. 4º grau; {0, 1, - 2, 3}; todas simples
b. 7º grau; {0, - 1, 1, - 2}; simples, dupla, simples, tripla
c. 5º grau; {i, - i, 3}; simples, simples, tripla
d. 7º grau; {3, 2, (1 – i), (1 + i)}; tripla, dupla, simples, simples 
2)
a. {- 6, 0, 3}
b. {- 3, − 𝟔 𝒊, 𝟔 𝒊 } 
c. {- 2, 1, 2} 
d. {− 𝟐 𝒊, 𝟐 𝒊, - 2, 2} 
e. {3, 4, - i, i} 
f. {- 2, 2, − 𝟓 𝒊, 𝟓 𝒊 } 
3) {− 𝟑 , 𝟎, 𝟑 }
4)
a. 2(x – 1)(x – 3) 
b. 2(x + 2i)(x – 2i)(x – 3) 
c. (x – 3)(x – 2 – i)(x – 2 + i) 
5) 
a. x3 + 4x2 – 4x – 16 = 0
b. x3 – 2x2 + x – 2 = 0 
c. x3 + 10x2 + 33x + 36 = 0 
6) m = 10; { - 2, - 2 – i, - 2 + i }
7) m = 1; {1/2; - i, i}
8) 1 – i; 1 e – 1 
9) 𝑺 = {1+2i, 1-2i, 1/3i, -1/3i}
10){ - 2, 1, 3} 
11) S = {-1/2 i, 1/2i , - 2, 3} 
12) x4 – 2x3 + 9x2 – 18x = 0
13)a = - 3
b. {i, - i, 1, 2} 
14) 6
15) b
16) {1, 3, 4}
17){- 2, 3, 8} 
18){ - 5, - 3, - 1}