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Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro Instituto de Cieˆncias Exatas DEMAT Professor Edivaldo F. Fontes Jr Lista 2 - Matema´tica 1/IC-251 (Derivadas e suas aplicac¸o˜es e Integrais) Exercı´cio 1 Determine os pontos crı´ticos da func¸a˜o dada e classifique cada ponto crı´tico como ma´ximo relativo, mı´nimo relativo ou ponto ordina´rio. (a) f (x) = 324x − 72x2 + 4x3 (b) f (t) = t√9 − t (c) S (t) = (t2 − 1)4 (d) h(t) = t2 t2 + t − 2 (e) g(x) = t t2 + 3 (f) F(x) = x2 x − 1 (g) P(x) = 100 √ x 0, 04x2 + 12 (h) P(r) = 5(3r + 1) r2 + r + 2 (i) V(N) = ( 3N + 430 N + 1 ) 2 3 Respostas: (c)t = 0,−1, 1 com ma´ximo relativo em (0, 1) e mı´nimos relativos em (−1, 0) e (1, 0). (d)t = 0, 4, com ma´ximo relativo em (0, 0) e mı´nimo relativo em (4, 89 ). A func¸a˜o na˜o existe nos pontos t = −2 e t = −1. (e)t = −√3, √3 com ma´ximo relativo em (√3, √ 3 6 ) e mı´nimo relativo em (− √ 3, − √ 3 6 ). Exercı´cio 2 Uma epidemiologista observa que uma certa doenc¸a se dissemina de tal forma que, t semanas apo´s o inı´cio de um surto, N centenas de casos novos sa˜o relatados, onde N(t) = 5t 12 + t2 (a). Determine N′(t) e N′′(t). (b). Em que semana o nu´mero de casos da doenc¸a e´ ma´ximo? Qual e´ o nu´mero ma´ximo de casos? Exercı´cio 3 Determine em que intervalos a func¸a˜o dada e´ crescente e decrescente e em que intervalos a concavi- dade da func¸a˜o e´ para cima e para baixo. Encontre os extremos relativos e pontos de inflexa˜o e fac¸a um esboc¸o da curva da func¸a˜o. (a) f (x) = 324x − 72x2 + 4x3 (b) f (t) = t√9 − t (c) S (t) = (t2 − 1)4 (d) h(t) = 1 x2 + x + 1 (e) g(x) = t t2 + 3 (f) F(x) = x3 3 − 9x + 2 (g) P(x) = √ x2 + 1 (h) P(r) = 2r(r + 4)3 (i) V(N) = (N − 2)4 Exercı´cio 4 Detemine os intervalos cujo gra´fico possui concavidade para cima e para baixo de: (a). f (x) = 1 x2 + 1 , sabendo que f ′′(x) = 2(3x2 − 1) (1 + x2)3 ; (b). f (x) = 2x x2 + 1 , sabendo que f ′′(x) = 4x(x2 − 3) (x2 + 1)3 ; (a) Gra´fico da 3(d). (b) Gra´fico da 3(f). (c) Gra´fico da 3(g). (d) Gra´fico da 3(h). (c). f (x) = e−x2 , sabendo que f ′′(x) = 2(2x2 − 1)e−x2 . Exercı´cio 5 Seguindo as etapas abaixo: (i). Determine todos os pontos de intersec¸a˜o com os eixos x e y, (ii). Determine os intervalos de crescimento e decrescimento, (iii). Determine todos os pontos de ma´ximo e mı´nimo locais, (iv). Determine os intervalos com concavidade para cima e para baixo. Esboce o gra´fico de cada uma das func¸o˜es abaixo: (a) f (x) = 1 + x2 1 − x2 (b) g(x) = (x − 1)ex x2 (c) h(x) = x (x − 1)2 (e) Gra´fico da 5(a). (f) Gra´fico da 5(b). Page 2 Os exercı´cios abaixo foram retirados do livro: • Tı´tulo: Ca´lculo Volume I • Autor: James Stewart • Edic¸a˜o: Oitava. • Edic¸a˜o: Capı´tulos 4 e 5. Exercı´cio 6 (Sec¸a˜o 4.1) (a) Esboce o gra´fico de uma func¸a˜o que tenha um ma´ximo local em 2 e seja deriva´vel em 2. (b) Esboce o gra´fico de uma func¸a˜o que tenha um ma´ximo local em 2 e seja contı´nua, mas na˜o deriva´vel em 2. (c) Esboce o gra´fico de uma func¸a˜o que tenha um ma´ximo local em 2 e na˜o seja contı´nua em 2. (d) Esboce o gra´fico de uma func¸a˜o em [−1, 2] que tenha ma´ximo absoluto, mas na˜o tenha ma´ximo local. (e) Esboce o gra´fico de uma func¸a˜o em [−1, 2] que tenha uma ma´ximo absoluto, mas na˜o tenha mı´nimo absoluto. (f) Esboce o gra´fico da uma func¸a˜o em [−1, 2] que seja descontı´nua, mas tenha tanto ma´ximo absoluto como mı´nimo absoluto. Exercı´cio 7 (Sec¸a˜o 4.1) - Encontre os valores ma´ximo e mı´nimo absolutos de f no intervalos dado. (a) f (x) = 3x2 − 12x + 5, [0, 3] (b) f (x) = x3 − 3x + 1, [0, 3] (c) f (x) = 2x3 − 3x2 − 12x + 1, [−2, 3] (d) f (x) = 3x4 − 4x3 − 12x2 + 1, [−2, 3] (e) f (x) = x + 1x , [0, 2; 4] (f) f (x) = xx2−x+1 , [0, 3] (g) f (x) = x − 3√x, [−1, 4] (h) f (x) = x−2 ln(x), [ 12 , 4] (i) f (x) = x ex/2, [0, 3] Exercı´cio 8 (Sec¸a˜o 4.1) - Entre 0 oC e 30 oC, o volume V (em centı´metros cu´bicos) de 1 kg de a´gua a uma temperatura T e´ aproximadamente dado pela fo´rmula V = 999, 87 − 0, 06426 T + 0, 0085043 T 2 − 0, 0000679 T 3 Encontre a temperatura na qual a a´gua tem sua densidade ma´xima. Exercı´cio 9 (Sec¸a˜o 4.1) - Um modelo para o prec¸o me´dio norte-americano para o ac¸ucar refinado entre 1993 e 2003 e´ dado pela func¸a˜o S (t) = −0, 00003237 t5 + 0, 0009037 t4 − 0, 008956 t3 + 0, 03629 t2 − 0, 04458 t + 0, 4074 onde t e´ medido em anos desde agosto de 1993. Estime os instantes nos uais o ac¸ucar esteve mais barato e mais caro entre 1993 e 2003. Exercı´cio 10 (Sec¸a˜o 4.3) - (i) - Encontre os intervalos nos quais f e´ crescente ou descrescente. (ii) - Encontre os valores ma´ximo e mı´nimo locais de f . (iii) - Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexa˜o. (a) f (x) = x3 − 3x2 − 9x + 4 Page 3 (b) f (x) = 2x3 − 9x2 + 12x − 3 (c) f (x) = x4 − 2x2 + 3 (d) f (x) = x 2 x2+3 (e) f (x) = e2x + e−x (f) f (x) = x2 − x − ln(x) Exercı´cio 11 (Sec¸a˜o 4.3) - Encontre os valores ma´ximo e mı´nimo locais de f usando os Testes da primeira e da segunda derivadas. Qual me´todo voceˆ prefere? (a) f (x) = x5 − 5x + 3 (b) f (x) = √ x − 4√x Exercı´cio 12 (Sec¸a˜o 4.3) - Suponha que a derivada da func¸a˜o f seja f ′(x) = (x + 1)2 (x − 3)5 (x − 6)4. Em qual intervalo f e´ crescente? Exercı´cio 13 (Sec¸a˜o 4.5) - Seguindo o roteiro abaixo: (i). Determine todos os pontos de intersec¸a˜o com os eixos x e y, (ii). Determine os intervalos de crescimento e decrescimento, (iii). Determine todos os pontos de ma´ximo e mı´nimo locais, (iv). Determine os intervalos com concavidade para cima e para baixo. Esboce o gra´fico de cada uma das func¸o˜es abaixo: (a) y = x3 + 3x2 (b) y = 2 − 15x + 9x2 − x3 (c) y = x(x − 4)3 (d) y = xx2−4 (e) y = x−1x2 (f) y = 1x + ln(x) (g) y = x e−1/x Exercı´cio 14 (Sec¸a˜o 4.9) - Encontre a primitiva mais geral de cada uma das seguintes func¸o˜es. ( Verigique sua resposta derivando.) (a) f (x) = 4x + 7 (b) f (x) = 2x3 − 23 x2 + 5x (c) f (x) = x(12x + 8) (d) f (x) = √ 4 (e) f (x) = 3 √ x − 2 3√x (f) f (x) = 15 − 2x (g) f (x) = 1+x+x 2√ x Exercı´cio 15 (Sec¸a˜o 4.9) - Encontre a primitiva F de f que satisfac¸a a condic¸a˜o dada. (a) f (x) = 5x4 − 2x5, F(0) = 4 Page 4 (b) f (x) = 4 − 3(1 + x2)−1, F(1) = 0 Exercı´cio 16 (Sec¸a˜o 4.9) - Encontre f . (a) f ′′(x) = 20x3 − 12x2 + 6x (b) f ′′(x) = 2x + 3 ex (c) f ′(x) = 1 + 2 √ x, f (4) = 25 (d) f ′′(x) = −2 + 12x − 12x2, f (0) = 4, f ′(0) = 12 Exercı´cio 17 (Sec¸a˜o 5.4) - Verifique, por derivac¸a˜o, que a fo´rmula esta´ correta. (a) ∫ x√ x2 + 1 dx = √ x2 + 1 +C Exercı´cio 18 (Sec¸a˜o 5.4) - Encontre a integral indefinida geral. (a) ∫ x1,3 + 7x2,5 dx (b) ∫ 4√ x5 dx (c) ∫ 5 + 2 3 x2 + 3 4 x3 dx (d) ∫ v(v2 + 2)2 dv (e) ∫ 1 + √ x + x x dx Exercı´cio 19 (Sec¸a˜o 5.5) - Calcule a integral. (a) ∫ x e−x 2 dx (b) ∫ x2 √ x3 + 1 dx (c) ∫ x3 x4 − 5 dx (d) ∫ √ 2t + 1 dx (e) ∫ x √ 1 − x2 dx (f) ∫ (3x − 2)20 dx (g) ∫ eu (1 − eu)2 du (h) ∫ (ln(x))2 x dx (i) ∫ x2 ex 3 dx (j) ∫ z2 z3 + 1 dx (k) ∫ ex √ 1 + ex dx (l) ∫ (x2 + 1)(x3 + 3x)4 dx Page 5
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