Pendulo Físico

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PENDULO FÍSICO
Tarefa apresentada à Universidade
de Ribeirão Preto UNAERP , como 
requisito para obtenção de nota de 
relatório de aula prática com o 
Pendulo Físico.
Área de Concentração: Física Experimental II
Data: 17 de Março de 2014.
Resultado: ___________________________
BANCA EXAMINADORA	
Paulo Roberto V. Alves Prof. Dr.. ___________________
Universidade de Ribeirão Preto
RESUMO
Em procedimento executados durante a aula realizou-se experimentos com o pendulo físico, para se poder, posteriormente, calcular através de fórmula seu período.
Palavras chave: Período, Torque, Momento angular.
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO ----------------------------------------------------------------------------16 - 17
2. OBJETIVO---------------------------------------------------------------------------------- 17
3. MATERIAS E MÉTODO-----------------------------------------------------------------17
4. PROCEDIMENTO ------------------------------------------------------------------------ 18 
5. RESULTADOS----------------------------------------------------------------------------- 18 - 21
6. DISCUSSÃO E CONCLUSÃO -------------------------------------------------------- 21
7. REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA------------------------------------------------------ 21
INTRODUÇÃO
O pêndulo simples é um sistema que executa oscilações harmônicas se afastado por pequenos deslocamentos de sua posição de equilíbrio. Aqui a força restauradora é devida à gravidade que força a massa a retornar para o ponto mais baixo. O pêndulo simples consiste de uma massa m suspensa por um fio de comprimento L e massa mL<<m. No tratamento teórico supõe-se que toda a massa m está concentrada em um ponto e também que ϕ ≈ sen(ϕ). 
Quando afastamos a massa da posição de repouso e a soltamos, o pêndulo realiza oscilações. Ao desconsiderarmos a resistência do ar, as únicas forças que atuam sobre o pêndulo são a tensão com o fio e o peso da massa m.
Quando o corpo é deslocado de sua posição de equilíbrio de um ângulo θ fica submetido a um torque da força peso atuante em seu centro de massa, dado pela expressão: 
τ = - M g a sen(θ) (1)
Como o torque age sempre de modo a restaurar a condição de equilíbrio levando o ponto C verticalmente abaixo de P o lado direito da Equação 1 leva um sinal negativo (quando θ é positivo o torque é negativo e vice-versa). M é a massa do corpo e g é a aceleração da gravidade local. Para oscilações pequenas, quando θ é menor que 20 graus, podemos usar a aproximação: 
sen(θ) ~ θ
e a Equação 1 ficará: 
τ = - M g a θ (2)
Mas este torque também pode ser calculado pela equação: 
τ = Iα = I d2θ /dt2 (3)
Onde I é o momento de inércia do corpo em relação ao ponto P e α é a aceleração angular do pêndulo. 
Igualando-se as Equações 2 e 3 obtém-se: 
d2θ /dt2 + Mgaθ/Ι = 0 (4)
Que é a equação diferencial característica do movimento harmônico simples, e tem uma solução possível do tipo: 
θ = θ0 cos(ωt + δ) (5)
Onde ω é: 
ω = (Mga/I)1/2 (6)
E o período da oscilação vale: 
T = 2π (I/Mga)1/2
Este resultado significa que, quanto ao período, a massa do pêndulo físico pode ser considerada como concentrada em um ponto cuja distância em relação ao eixo de oscilação seja l0. Este ponto é chamado centro de oscilação O do pêndulo físico e depende da posição do eixo de oscilação (ponto P), para qualquer corpo.
OBJETIVO
Em procedimento executado durante a aula realizou-se experimentos com o pendulo físico, para se poder, posteriormente, calcular através de fórmula seu período.
MATERIAIS E MÉTODO
Materiais utilizados:
Suporte Universal;
Garra (para suporte);
Pedaço de ferro (para ligar a garra a haste de madeira);
Haste de madeira;
Esfera;
Método: Determinação do período do Pendulo Físico.
PROCEDIMENTO
Na bancada foi colocado o suporte universal, fixado a garra na parte superior, com o auxílio de um fio de ferro, a haste de madeira foi colocada de maneira a correr livre tanto no sentido horário como anti-horário. Na extremidade inferior da haste, foi acoplada a esfera metálica. Com a ajuda de uma trena métrica, a esfera, que estava em repouso, foi distanciada uma medida de 15 cm do seu centro para a esquerda, após o instante que foi solta, o cronômetro começou a rodar no instante em que ela voltou a distância de 15cm, e foi determinado essa oscilação num período de 10 vezes. 
Este processo foi repetido 3 vezes.
Após o sistema ser desmontado, foi pesado a haste de madeira, a esfera e foram feitas as medidas da:
Comprimento e espessura da madeira; (a)
Do gancho de ferro até o acoplamento da esfera; (l)
Da altura da haste de madeira; (b)
Dividido o valor de l por dois, foi encontrado o 
valor do centro de massa; (h) 
O Diâmetro da esfera ; (D)
RESULTADOS
Após feita as medições, foi construído a seguinte tabela 1.1 :
	i
	T(s)
	l(m)
	me(kg)
	mb(kg)
	a(m)
	b(m)
	h(m)
	D(m)
	g(m/s^2)
	1
	16,03
	0,701
	0,09132
	0,04936
	0,009
	0,698
	0,332
	0,0206
	9,81
	2
	16,15
	0,701
	0,09132
	0,04936
	0,009
	0,698
	0,332
	0,0206
	9,81
	3
	16,07
	0,701
	0,09132
	0,04936
	0,009
	0,698
	0,332
	0,0206
	9,81
 Tabela 1.1) Medidas obtidas.
Feito a média dos tempos, obteve-se o seguinte valor:
Tmédio= 16,08 s
Dividindo o valor médio pelo número de oscilações (10) se obteve o período
P = Tmédio /10
Período = 1,608 segundos.
Considerando que devido à homogeneidade dos materiais o centro de massa da barra (Cmb) e da esfera (Cme) coincidem com seus respectivos centros de gravidade e , os dois corpos oscilam em relação ao ponto O, através de um eixo paralelo distante dos eixos centrais da barra e esfera. Assim deve-se aplicar, nos dois casos, o teorema dos eixos paralelos. Nesse caso o momento de inércia dos dois corpos ficam :
 Ie = ICMe + me . l2
 Ib = ICMb + mb . h2
Cálculo da Inércia da Esfera:
Através de pesquisas, foi obtido que o cálculo da inércia de uma esfera se dá pela equação seguinte:
ICMe = 2 . m .r2 
 5
Logo : Ie = ICMe + me . l2
 Ie = 2 . 0,09132 . (0,0103)2 + 0,09132 . (0,701)2
 5
 Ie = 4,4878 . 10-2 Kg . m2
Calculo da inércia da Barra:
Na literatura, foram encontrados dois tipos de Inércia da barra:
1º Tipo: Barra prismática (4 lados)
ICMb = 1 . mb .( 4 .(a2) + b2)
 12
Ib = 1 . 0,04936 .( 4 .(0,0092) + 0,6982) + 0,04936 . (03322)
 12
Ib = 7,1232 . 10-3 Kg . m2 
2º Tipo : Chapa 
ICMb = 1 . mb .(a2 + b2)
 12
Ib = 1 . 0,04936 .( 0,0092 + 0,6982) + 0,04936 . (03322)
 12
Ib = 7,1220 . 10-3 Kg . m2 
 
 Os dois valores foram muito próximos, contudo para os cálculos, será adotado o valor da chapa prismática ( 1º Tipo ) 
Cálculo de Período:
 T = 2 . π . (Ib + Ie) 
 (mb . h + me . l) . g 
T = 1,608 segundos
Cálculo do período no Pendulo Simples:
T = l _ 
 g
 
T = 0,2673 segundos
DISCUSSÃO E CONCLUSÃO
Depois de realizados os cálculos, pode-se concluir que a variação dos resultados se deve a fórmula utilizada. Na equação simples, não se utiliza os momentos de inércia de cada elemento (barra e esfera) se utiliza apenas o comprimento da barra dividido pela aceleração da gravidade. 
O valor obtido na equação completa é igualao valor da divisão realizado pelo controle do tempo. Ou seja, as medidas foram realizadas de maneira adequada e o tempo também foi cronometrado corretamente.
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA
http://www.ufpi.br/subsiteFiles/df/arquivos/files/Exp10_FisExp1_PenduloFisico.pdf
http://www.rc.unesp.br/igce/fisica/ervino/textos/pendulofisico.pdf
http://www.fis.ufba.br/dfg/fis2/Pendulo_fisico.pdf
http://www.sofisica.com.br/conteudos/Ondulatoria/MHS/pendulo.php