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Álgebra Linear e Geometria Analítica I (M143) 2015/16
Exame época normal – 21-01-2016 Duração: 3hrs
Nome completo: Número mecanográfico:
Curso: No. de folhas extra :
Primeira parte
1 2 3 4 Total
Se realizou o primeiro teste, selecione uma das seguintes opções:
Pretendo que a primeira parte do exame seja corrigida e a classificação que obtive no primeiro teste será ignorada.
Pretendo que a primeira parte do exame não seja corrigida e que seja considerada a classificação que obtive no
primeiro teste.
1. (Cada alínea vale 0, 4 valores.) Sejam A1 =
 1 0 20 1 1
3 1 7
, A2 =
 1 20 1
3 7
, B1 =
 00
0
 e B2 =
 62
20
; indique,
sem justificar:
a) A forma de Gauss associada a A1 b) Em R3, o conjunto de soluções do sistema A1
 xy
z
 = B1
c) car(A1) d) det(−4A1) e) det((A1 + I3)−1) f) det
(
1
3 (A1 + I3)
)
g) A forma de Gauss associada a A2 h) Em R2, o conjunto de soluções do sistema A2
(
x
y
)
= B2
i) car(A2) j) O produto A1A2 k) car(5(A1A2))
2. (Cada alínea vale 0, 4 valores.) Em R2[x], considere os polinómios u = 1 + x2, v = 1− x2, w = x+ x2 e o subespaço
S = {a+ bx+ cx2 ∈ R2[x] : a− b = 0}; indique sem justificar:
a) O subespaço gerado por {u, v} b) O subespaço gerado por {u, v, w}
c) Escreva o polinómio −2 + 4x2 como combinação linear de u, v, w d) Um conjunto de geradores de S
3. Cada alínea vale 0, 4 valores: deve apenas escolher a opção correcta sem justificar; à ausência de resposta é atribuída
a cotação de 0, a uma resposta errada é atribuída uma cotação de −0, 1 valores.
a) Seja A uma matriz de entradas reais, de 4 linhas e 6 colunas.
Qualquer sistema linear cuja matriz dos coeficientes é a matriz A é possível e indeterminado.
Se A tem caraterística 4 então o sistema linear homogéneo cuja matriz dos coeficientes é a matriz A é possível e
determinado.
Se A tem caraterística 3 então o sistema linear homogéneo cuja matriz dos coeficientes é a matriz A é possível e
indeterminado.
Se todas as linhas de A são não-nulas então qualquer matriz equivalente por linhas a A também tem todas as linhas
não-nulas.
b) Em R3, considere os vetores u = (0, 1, 1), v = (1, 1, 0) e w = (1, 0,−1).
O conjunto das combinações lineares de u, v, w é R3.
Os vetores u+ v, v + w,w + u são linearmente independentes.
v é combinação linear de u, v − w.
v é combinação linear de u, v + w.
c) Considere os seguintes subconjuntos de R3: A = {(x, y, z) ∈ R3 : x+y+z = 0}, B = {(x, y, z) ∈ R3 : x2+y2+z2 = 0}
e C = {(x, y, z) ∈ R3 : x3 + y3 + z3 = 0}.
A,B,C são subespaços vetoriais de R3.
A é subespaço vetorial de R3 mas B,C não são.
A,B,C são estáveis para a soma em R3.
A,B,C são estáveis para a multiplicação por reais em R3.
d) Sejam A, B e C três matrizes de 3 linhas, 3 colunas, entradas reais e tais que det(A) = 0, det(B) = 1 e det(C) = 2.
Podemos afirmar que temos sempre:
det(A+B + C) = 3
car(A+B + C) = 3
det(ABC) = 0
car(ABC) = 0
e) Em C2, considere os vetores u = (1, 1), v = (i,−i) e o conjunto C = {(a+ bi, a− bi) : a, b ∈ R}.
u, v são linearmente independentes em C2 com as estruturas de espaço vetorial complexo e real.
u, v são linearmente dependentes em C2 com as estruturas de espaço vetorial complexo e real.
C é fechado para a multiplicação por escalar em C2 com as estruturas de espaço vetorial complexo e real.
C não é subespaço vetorial de C2 para ambas as estruturas de espaço vetorial complexo e real.
f) Sejam A1 =
 1 a1 3−2 a2 −6
3 a3 9
, A2 =
 a1 1 10 a2 1
0 0 a3
, X =
 x1x2
x3
 e B =
 00
0
.
Existem a1, a2, a3 ∈ R tais que os sistemas A1X = B e A2X = B são ambos possíveis e determinados.
Sendo a1, a2, a3 ∈ R tais que o sistema A1X = B é possível e indeterminado, então também A2X = B é possível e
indeterminado.
Sendo a1, a2, a3 ∈ R tais que o sistema A2X = B é possível e determinado, então também A1X = B é possível e
determinado.
O sistema A1X = B é sempre possível e indeterminado.
4. (1, 6 valores.) Nesta questão, deve responder justificando e em folha anexa. Sejam V o espaço vetorial real
das matrizes de duas linhas, duas colunas e entradas reais e A ∈ V .
a) Mostre que G
({I2, A,A2}) = G ({I2, A}).
b) Deduza que, dado um inteiro positivo qualquer n, então G ({I2, A,An}) = G ({I2, A}). Sugestão: Use indução.
Álgebra Linear e Geometria Analítica I (M143) 2015/16
Exame época normal – 21-01-2016
Nome completo: No. mecanográfico:
Segunda parte
5 6 7 8 Total
Se realizou o segundo teste, selecione uma das seguintes opções:
Pretendo que a segunda parte do exame seja corrigida e a classificação que obtive no segundo teste será ignorada.
Pretendo que a segunda parte do exame não seja corrigida e que seja considerada a classificação que obtive no segundo
teste.
5. (Cada alínea vale 0, 4 valores.) Considere as aplicações lineares f : R3 → R3 e g : R2 → R3 tais que:
f(1, 0, 0) = (1, 1, 0), f(0, 1, 0) = (2, 2, 0), f(0, 0, 1) = (3, 3, 0); g(a, b) = (3a− 3b, 2a− 2b, b− a), (a, b) ∈ R2 .
Considere as bases b = ((1, 1), (1,−1)) de R2 e bc = ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) de R3. Indique, sem justificar:
a) f(−2, 1, 0) b) f(x, y, z) c) Mbc,bc(f)
d) Uma base de ker(f) e) Uma base de Im(f)
f) Uma base de ker(g) g) Uma base de Im(g) h) Mb,bc(g)
i) Mb,bc(f ◦ g) j) dim Im(f ◦ g) k) dimker(f ◦ g)
6. (Cada alínea vale 0, 4 valores.) Em R3, considere as bases bc = ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) eB = ((1,−1, 0), (0, 1,−1), (1, 1, 1)),
o conjunto A = ((1,−1, 0), (1, 0,−1)) e S o subespaço de R3 gerado por A. Indique, sem justificar:
a)
As coordenadas de u = (1, 2, 3)B na base bc
b)
MB,bc(idR3)
c)
Uma base de R3 contendo A
d)
Uma base ortonormada de S
e)
S⊥
f)
proj⊥S (1, 2,−3)
7. Cada alínea vale 0, 4 valores: deve apenas escolher a opção correcta sem justificar; à ausência de resposta é atribuída
a cotação de 0, a uma resposta errada é atribuída uma cotação de −0, 1 valores.
a) Considere os espaços vetoriais R5 e R10.
Existe uma aplicação f : R5 → R10 linear e injetiva.
Existe uma aplicação f : R5 → R10 linear tal que dimker(f) = dim Im(f).
Existe uma aplicação f : R5 → R10 linear e sobrejetiva.
Não existe uma aplicação f : R5 → R10 linear.
b) Considere o espaço vetorial real V das matrizes de duas linhas, duas colunas e entradas reais e os subespaços S1 =
{A ∈ V : A = At} e S2 = {A ∈ V : A = −At}, onde At denota a matriz transposta da matriz A.
dimS1 = dimS2 = 1
dimS1 = dimS2 = 3
dimS1 = 3 e dimS2 = 1
dimS1 = 1 e dimS2 = 3
c) Considere a aplicação linear f : R3 → R3 tal que ker(f) = {(x, y, z) ∈ R3 : x− 3z = 0} e f(1, 2, 3) = (−2,−4,−6).
f é diagonalizável e todos os valores próprios são números inteiros.
f é diagonalizável e a soma dos valores próprios não é um número inteiro.
f não tem valores próprios.
f não é diagonalizável mas admite um valor próprio.
d) Seja B = (b1, b2, b3) uma base ortonormada de R3. Sendo α, β ∈ R, considere Bα,β = (α(b1 + b2), β(b1 − b2), b3).
Existem α, β ∈ R e são únicos tais que Bα,β é uma base ortonormada de R3.
Existem α, β ∈ R mas não são únicos tais que Bα,β é uma base ortonormada de R3.
Não existem α, β ∈ R tais que Bα,β é uma base ortonormada de R3.
Sendo α, β ∈ R tais que Bα,β é uma base ortonormada de R3 então qualquer u ∈ R3 tem as mesmas coordenadas nas
bases B e Bα,β .
e) Seja V o espaço vetorial das funções reais de variável real e considere as funções f1 e f2 definidas por: f1(x) =
e2x cos(x), x ∈ R e f2(x) = e2xsen(x), x ∈ R. Seja B = (f1, f2) e S o subespaço de V gerado por B. Considere a função
linear L : S → S tal que L(f) = f + f ′.
L é diagonalizável.
L é invertível.
Sendo f ∈ S tal que L(f) = 10f1 então f = (1, 3)B .
MB,B(L) =
(
3 1
1 3
)
.
8. (1, 2 valores.) Nesta questão, deve responder e justificar em folha anexa.
Seja V o espaço vetorial real das matrizes de duas linhas, duas colunas e entradas reais. Considere osubespaço de V definido
por S =
{(
a −b
b a
)
: a, b ∈ R
}
. Dado A ∈ S, seja TA : V → V a função linear TA(X) = AX −XA, X ∈ V . Determine
a função d : S → R definida por d(A) = dimker(TA), A ∈ S.