Portfolio 06 Introd Cal

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ATIVIDADE DO PORTFÓLIO 06 
Resolver o exercitandos 3 do tópico 01, o exercitando 1 do tópico 02, o exercitando 
2 do tópico 03, e o exercitando 1 e 2 do tópico 04 e enviar as soluções através do 
seu portfólio da Aula 6. 
 
QUESTÃO 1.: A reta contém o diâmetro de uma circunferência. Uma 
reta, que forma ângulo de com a primeira e tem declive positivo, corta a 
circunferência no ponto e determina sobre a mesma uma corda de 
comprimento unidades. Estabelecer as equações da segunda reta e da 
circunferência. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A figura mostra a situação descrita no 
enunciado. Existem duas possibilidades de 
se obter retas que passam por A (1, 1) e 
fazem 45º com a reta 2x+ y = 0. 
Entretanto, como a declividade da referida 
reta é positiva, a situação correta está 
indicada pela reta r1 que passa pelos pontos 
A e C, em azul. 
 
 
 
Determinando a equação da reta r1: 
Do triângulo EOF, . Além disso, , 
pois é a declividade da reta 
Tem-se então: = 
 
 
 = 
 – 
 
 
 
 
 
 
 – – – 
 – – – – – 
 – – 
 – – 
 – – 
Como a reta passa pelo ponto (1, 1), sua equação é: 
Determinando a interseção da – com a circunferência. 
Como o ponto J pertence à reta – , J tem coordenadas – 
Aplicando a fórmula da distância temos para AJ: 
O centro é a interseção da reta perpendicular ao segmento AJ, por seu ponto médio, com a reta 
 
Determinando a perpendicular à AJ pelo seu ponto médio. 
Declividade de AJ, cuja equação é – 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 2.: Encontre a equação da elipse satisfazendo as seguintes condições: 
 
 – 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equação da circunferência: – 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: Reta: – 
Circunferência: 
 
 
 
 – 
 
 
 
 
 
 ou – 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) (0,4) e (4,4) são os focos e o eixo maior é igual a 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Os quatro vértices são os pontos (0,1), (6,1), (3,7) e B(3,-5). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O eixo principal é paralelo ao eixo x; logo a equação da elipse é da forma: 
 
 
 
 
 
 , onde h e k são as coordenadas do centro da elipse. 
Como é o ponto ), a equação pedida é: 
 
 
 
Localizando esses pontos no plano cartesiano verificamos que o eixo maior é o segmento de reta 
que vai do ponto a e o eixo menor é o segmento a . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como , temos que: 
 
Das partes da elipse temos que a distancia entre e a distância entre os focos 
 , logo: 
O centro da elipse é o ponto médio do segmento 
que une os focos; logo é (2,4). A distancia entre os 
focos de uma elipse é 2c, nesse caso a distancia 
entre os pontos : 
 : . 
O enunciado menciona que o eixo maior é 6, assim 
 . 
Como , temos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 3.: Determinar a equação da hipérbole que tem as seguintes 
propriedades: 
a) Seu centro é a origem; b) Um de seus focos é o ponto (0, -2) e c) Um de seus 
pontos é (1, ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim sabemos que os focos estão 
localizados á unidades de 
distancia dos vértices. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 e . Agora podemos encontrar as coordenadas do centro e teremos 
todos os parâmetros para determinar a equação da elipse. . 
O eixo focal é paralelo ao eixo y, logo a equação é do tipo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se a hipérbole está no eixo y e tem origem no centro os seus focos são os 
pontos e . Portanto, e , sendo assim 
A equação dessa hipérbole será do tipo: 
 
 
 
 
 
 , se o ponto pertence a 
hipérbole temos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (I) 
Sabemos que na hipérbole, , então (II) 
Substituindo II em I: 
 
 . Fazendo temos, 
 
 
 
 e 
 
 
 
Voltando para , temos que . 
Dos elementos da hipérbole temos que , logo . Daí, verificamos que 
 não satisfaz essa condição, portanto . 
Se , . Agora temos todos os elementos para determinar 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 4.: Ache a equação da parábola cuja diretriz é a reta e seu foco o 
ponto (4, -3). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 5.: Obter a equação da mediatriz do segmento cujas extremidades são 
os vértices da parábola e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P
 
 
 
Cálculo de P (Distancia da diretriz ao foco) 
 — ,como a concavidade da 
parábola é voltada para baixo temos que 
 
Achando o vértice (V): Distancia de F á V = 
 
 
, 
verificamos então que o vértice estará a 2,5 
unidades de distancia do foco, logo . 
 
Equação da parábola com vértice fora da origem 
do sistema: 
P
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Calculo do vértice ( de 
 
 
Calculo do vértice ( de 
 
 
 
Equação da reta que passa pelos pontos e e a reta 
O ponto médio do segmento e é (-2, 0), logo a mediatriz (perpendicular a reta é . 
 
 
 
 
 
x x y 1 x y y 1 x y 
-2 -2 4 1 -2 4 4 1 -2 4 
3 3 -1 1 3 -1 -1 1 3 -1