Regra da cadeia, Deriva ̧c ̃ao Impl ́ıcita, Regra de L’Hospital e Taxas Relacionadas

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Universidade Federal Rural de Pernambuco
Unidade Acadeˆmica do Cabo de Santo Agostinho
Ca´lculo Diferencial e Integral I - 1◦ Semestre de 2017
Professor: Serginei Jose´ do Carmo Liberato
Lista 4: Regra da cadeia, Derivac¸a˜o Impl´ıcita, Regra de L’Hospital e Taxas Relacionadas
1. Determine a derivada das func¸o˜es dada.
a) f(x) = (2x+ 1)2
b) f(x) = (x2 + 4x− 5)4
c) f(x) = (2x4 − 7x3)e
d) f(x) = (x2 + 4)−2
e) f(x) = sin(3x)
f) f(x) = cos(6x)
g) f(x) = tan(10x)
h) f(x) = sec(6x)
i) f(x) = csc(3x)
j) f(x) = cot(10x)
k) f(x) = sin(x2)
l) f(x) = cos(x2)
m) f(x) = cos(3x2 + 1)
n) g(x) =
√
x+
√
x
o) h(x) =
x2 + 1
e−x + 1
p) l(x) = 10x − 10−x
q) g(x) = xsin x
r) g(x) = 5x + log3 x
s) f(x) = 32x+1 + log2(x
2 + 1)
2. Encontre a derivada da func¸a˜o dada.
a) f(x) = 4x
1
2 + 5x−
1
2 b) f(x) =
√
1 + 4x2 c) f(x) = 3
√
2x
3. Aplique a regra da cadeia para encontrar a derivada das func¸o˜es abaixo:
a) f(x) = sin(x2)
b) f(x) = cos(3x+ 2)
c) f(x) = e2x
d) f(x) = e
√
x
e) f(x) = ln(x2 + 2x)
f) f(x) = tan(3x)
g) f(x) = esin(x)
h) f(x) = tan(ln(x))
i) f(x) = ln(tan(x))
j) y = x arctan(x)
k) f(x) = arcsin(3x)
l) g(x) = arcsin(x3)
m) y = arctan(x2)
n) y = 3 arctan(2x+ 3)
o) y = arcsin(ex)
4. Ache dydx por derivac¸a˜o impl´ıcita.
a) x2 + y2 = 16
b) x3 + y3 = 8xy
c) 1x +
1
y = 1
d)
√
x+
√
y = 4
e) x2y2 = x2 + y2
f) 3
√
x+ 3
√
xy = 4y2
g) 2x3y + 3xy3 = 5
5. Ache uma equac¸a˜o da reta tangente a` curva 16x4 + y4 = 32 no ponto (1,2).
6. Calcule em cada item a derivada de ordem superior indicada.
a) f(x) = x5 − 2x3 + x, f ′′
b) f(x) = 2x4 + 3, f ′′′
c) f(x) =
(
1
x
)2
, f ′′
d) f(x) = sin(x), f ′′
e) f(x) = cos(x), f ′′′
7. Seja y = x
3
x+
√
x
. Calcule dydx
∣∣
x=1
:
8. Seja f : R −→ R deriva´vel e seja g(t) = f(t2 + 1).Supondo f ′(2) = 5, calcule g′(1).
9. Em cada um dos itens abaixo, s(t) representa a posic¸a˜o de uma part´ıcula se movendo em linha reta no instante t.
Determine:
(i) A velocidade e acelerac¸a˜o da part´ıcula no instante t = 0.
(ii) Os instantes em que a part´ıcula esta´ parada.
(a) s(t) =
t2 − 1
t2 + 1
(b) s(t) = sin t.
10. Calcule os limites
1
a) lim
x→8
3
√
x− 2
x− 8
b) lim
x→0
1− e2x
x
c) lim
x→0
sinx
x
d) lim
x→0
x− tanx
x− sinx
e) lim
x→∞
lnx
4
√
x
f) lim
x→1
x4 − 2x3 + 2x− 1
x2 − 2x+ 1
11. Um tanque tem a forma de um cone invertido com 16cm de altura e uma base de 4cm de raio. A a´gua flui no
tanque a uma taxa de 2m3/min. Com que velocidade o n´ıvel da a´gua estara´ se elevando quando sua profundida for
de 5m?
12. Um trem deixa uma estac¸a˜o, em um certo instante, e vai para a direc¸a˜o norte a` raza˜o de 80km/h. Um segundo
trem deixa a mesma estac¸a˜o 2 horas depois e vai na direc¸a˜o leste a` raza˜o de 95km/h. Determine a taxa na qual os
dois trens esta˜o se separando 2 horas e 30 minutos depois do segundo trem deixar a estac¸a˜o.
13. Suponha que esta sendo bombeado ar para dentro de um bala˜o esfe´rico e seu volume cresce a uma taxa de 50cm/s.
Qual a taxa de variaca˜o de crescimento do raio quando este e´ de 5cm?
14. A medida de um aˆngulo agudo de um triaˆngulo retaˆngulo esta´ decrescendo a uma taxa de
pi
6
rad/s. Se o comprimento
da hipotenusa for constante igual a 40cm, determine a velocidade com que a a´rea esta variando, quando a medida
do aˆngulo agudo for
pi
6
?
15. Um homem de altura H esta´ caminhando em direc¸a˜o a um poste de iluminac¸a˜o com altura P . Supomos que o
poste e´ mais alto que o homem. Num certo instante ele se move com velocidade v. Determine com que velocidade
se move, neste instante:
a) a extremidade de sua sombra
b) o tamanho da sua sombra.
16. Ao ser aquecida uma chapa circular de metal, seu diaˆmetro varia a` raza˜o de 0, 01cm/min. Determine a taxa a` qual
a a´rea varia quando o diaˆmetro e´ 30cm.
17. Suponha que uma bola de neve esteja se derretendo com raio decrescendo a` raza˜o constante, passando de 30cm
para 20cm em 45 minutos. Qual a variac¸a˜o do volume quando o raio esta´ com 25cm?
18. Os lados x e y de um retaˆngulo esta˜o variando a taxas constantes de 0.2m/s e 0.1m/s, respectivamente. A que taxa
estara´ variando a a´rea do retaˆngulo no instante em que x = 1m e y = 2m?
19. O raio r e altura h de um cilindro circular reto esta˜o variando de modo a manter o volume V constante. Num
determinado instate h = 3cm e raio r = 1cm e, neste instante a altura esta variando a uma taxa de 0.2cm/s. A
que taxa estara´ variando o raio neste instante?
20. Sejam f e g definidas em R, com g cont´ınua em 0, e tais que, para todo x, f(x) = xg(x). Mostre que f e´ deriva´vel
em 0.
RESPOSTAS
1. a) 4(2x+ 1)
b) 4(x2 + 4x− 5)3(2x+ 4)
c) e(2x4 − 7x7)e−1(8x3 − 21x2)
d) −2(x2 + 4)−3(2x)
e) 3 cos(3x)
f) −6 sin(6x)
g) 10 sec2(10x)
h) 6 sec(6x) tan(6x)
i) −3 csc(3x) cot(3x)
j) −10 csc(10x)
k) 2x cos(x2)
l) −2x sin(x2)
m) −6x sin(3x2 + 1)
n)
2
√
x+ 1
4
√
x(
√
x+
√
x)
o)
e−x(x+ 1)2 + 2x
(e−x + 1)2
p) l′(x) = (10x + 10−x) ln 10
q) g′(x) = esin 3x
(
3 cos(3x) lnx+
sin 3x
x
)
r) g′(x) = 5x ln 5 +
1
x ln 3
s) f ′(x) = 2·32x+1 ln 3+ 2x
(x2 + 1) ln 2
2. a) 2x−
1
2 − 52x−
3
2
b) 4x(1 + 4x2)−
1
2
c) 23 (2x)
− 23
3. a) f ′(x) = 2x cos(x2)
b) f ′(x) = −3 sin(3x+ 2)
c) f ′(x) = 2e2x
d) f ′(x) = 12x
− 12 e
√
x
e) f ′(x) = 2x+2x2+2
f) f ′(x) = 3 sec2(3x)
g) f ′(x) = cos(x)esin(x)
h) f ′(x) = 1x sec
2(ln(x))
i) f ′(x) = 1cos(x) sin(x)
j)
dy
dx
= arctan(x) + x1+x2
k) f ′(x) = 3√
1−9x2
l) g′(x) = 3x
3√
1−x6
m)
dy
dx
= 2x1+x4
n)
dy
dx
= 61+(2x+3)2
o)
dy
dx
= e
x√
1−ex
2
4. a) dydx = −xy
b) dydx =
8y−3x2
3y2−8x
c) dydx = − y
2
x2
d) dydx = −
√
y√
x
e) dydx =
2x−2xy2
2yx2−2y
f) dydx =
y+ 3
√
y2
24 3
√
y5.
3√
x2−x
5. y = −2x+ 4
6. a) f ′′(x) = 20x3 − 12x
b) f ′′′(x) = 48x
c) f ′′(x) = 6x4
d) f ′′(x) = − sin(x)
e) f ′′′(x) = sin(x)
7. dydx
∣∣
x=1
= 98
8. g′(1) = 10
9. a) (i) s′(0) = 0, s′′(0) = 4 (ii) t = 0
b) (i) s′(0) = 1, s′′(0) = 0 (ii) t = k · pi
2
, k ı´mpar
10. a)
1
12
b) −2
c) 1
d) 2
e) 0
f) 0
11.
32
25pi
m/min
12. 119, 093km/h
13.
1
2pi
m/s
14. −100pi
9
rad/s
15. a)
vP
P −H b)
Hv
P −H
16. 0, 15cm2/min
17. −5000pi
9
cm3/min
18. 0.5m2/s
19. −0.1
3
cm/s
3