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APROXIMAÇÃO DE FUNÇÕES
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MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
INTRODUÇÃO
Frequentemente é possível estabelecer uma
relação linear entre duas grandezas medidas
experimentalmente.
O método dos mínimos quadrados é uma
maneira de se obter a melhor recta que pode ser
ajustada aos dados experimentais.
Basicamente, é um procedimento que busca o
mínimo de uma função de duas variáveis (os
coeficientes linear e angular da recta) construída
a partir da distância entre os pontos
experimentais e os pontos de uma recta.
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MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
Por exemplo, se tivermos apenas os valores da função
em certos pontos, não vamos exigir que a função
aproximadora interpole a função dada nos pontos.
Exigimos apenas que essa função aproximadora tome
valores (nesses pontos) de forma a minimizar a
distância aos valores dados... falamos em minimizar, no
sentido dos mínimos quadrado!
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MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
Isto é importante em termos de aplicações,
já que podemos ter valores obtidos,
experimentalmente, com uma certa incerteza.
Ao tentar modelizar essa experiência, com
uma certa classe de funções, seria
inadequado exigir que a função aproximadora
interpolasse esses pontos.
Um caso simples, em que se aplica esta
teoria é o caso da regressão linear, em que
tentamos adaptar a um conjunto de pontos e
valores dados, a "melhor recta", que (neste
caso) será a recta que minimiza a soma
quadrática das diferenças entre os valores
dados ao valores da recta, nesses pontos.
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MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS - Caso Discreto
O método dos mínimos quadrados assume que a linha (recta ou
curva) que melhor aproxima um conjunto de pares ordenados
conhecidos, é aquela que possuir a soma mínima dos desvios
ao quadrado.
Suponha que os pontos são: , , ... ,
onde X é a variável independente e Y é a variável dependente.
A linha que melhor aproxima os dados possui o desvio d (erro)
de cada ponto à função f(x).
 , ,...,
De acordo com este método, a melhor linha de aproximação deverá conter a
seguinte propriedade:
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MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS - Caso Discreto
Interpretação Geométrica
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MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS - Caso Discreto
Ordem Função Nome
 1 y = ao + a1 x Recta
 2 y = ao + a1 x + a2 x2 Parábola
 3 y = ao + a1 x + a2 x2 + a3 x3 Cúbica
 4 y = ao + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + a4 x4 Quártica
A ideia básica para qualquer uma das
funções acima citadas é tentar descobrir
quais são os valores dos coeficientes ao,
a1, a2 e a3, de tal modo que a soma dos
quadrados das distâncias (tomadas na
vertical) da referida curva y=f(x) a cada
um dos pontos dados (yi) seja a menor
possível.
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MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS - Caso Discreto
Para tal, e aproveitando o ensino nesta disciplina da resolução de sistemas de
equações lineares, vamos resolver o problema de determinar os coeficiente ak
resolvendo um sistema de equações lineares, sendo que terá um número de
equações ajustado ao tipo de função aproximadora desejada:
2 equações=recta, 3 equações=parábola, etc.
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MÉTODO DOS MÍNIMOS
QUADRADOS - Caso Discreto
EXEMPLO 1
Conhecendo os seguintes pontos (x,y) :
(2,3), (3,5), (4,4), (5,4) e (6,7).
Determinar a recta que melhor
aproximação revelar.
Calcular os somatórios necessários para
compor o sistema de 2 equações:
y = ao + a1 x
; ; ;
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MÉTODO DOS MÍNIMOS
QUADRADOS - Caso Discreto
EXEMPLO 1 (Cont.)
Para determinar os valores de ao e a1
vamos calcular a solução do seguinte
sistema de equações lineares.
y = ao + a1 x
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MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS - Caso Discreto
EXEMPLO 1 (Cont.)
Resolvendo o sistema: resulta : ao =1.8 e a1=0.7
y = ao + a1 x 
y = 1,8 + 0,7x
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MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS - Caso Discreto
EXEMPLO 2
Ajustar os seguintes pontos a uma parábola
Calcular os somatórios necessários para
compôr o sistema de 3 equações:
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MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS - Caso Discreto
EXEMPLO 2 (Cont.)
Resolvendo o sistema de 3 equações e e incógnitas:
 a0 a1 a2
F (x) = 0.8354 x2 - 7.7478 x + 17.1160
Vem:
a0=17.1160 ; a1=-7.7478 ; a2=0.8354
F(x) = ao + a1 x + a2 x2