Frações Parciais, Potência de Senos e Cossenos e Integral Definida e Aplicações

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Universidade Federal Rural de Pernambuco
Unidade Acadeˆmica do Cabo de Santo Agostinho
Ca´lculo Diferencial e Integral I - 1◦ Semestre de 2017
Professor: Serginei Jose´ do Carmo Liberato
Lista 7: Frac¸o˜es Parciais, Poteˆncia de Senos e Cossenos e Integral Definida e Aplicac¸o˜es
1. Resolva as integrais para concluir as igualdades.
a)
∫
4x− 2
x3 − x2 − 2xdx = ln(x
2 − 2x)− ln(x + 1)2 + C
b)
∫
cos(x) sin(2x)dx = −cos(3x)
6
− cos(x)
2
+ C
c)
∫
dx
1− x4 dx =
1
4
ln |1 + x| − 1
4
ln |1− x|+ 1
2
arctanx + C
d)
∫
sin3 xdx = −3 cosx
4
+
cos(3x)
12
+ C
e)
∫
y2
(y − 1)3 dy = ln |y − 1| −
2
y − 1 −
1
2(y − 1)2 + C
f)
∫
cos(2x) cos(x)dx =
sin(3x)
6
+
sin(x)
2
+ C
g)
∫
5x2 − 3
x3 − x dx = ln |x
3|+ ln |x2 − 1|+ C
h)
∫
cos(2x) cos(x) cos(3x)dx = −cos(2x)
8
+
cos(6x)
24
− cos(4x)
16
+ C
i)
∫
4x2 + 6
x3 + 3x
dx = ln |x2|+ ln |x2 + 3|+ C
j)
∫
sin2 x cos2 xdx =
1
4
(
x
2
− sin(4x)
8
)
+ C
k)
∫
cosx cos2(4x)dx =
sinx
2
+
sin(9x)
36
+
sin 7x
28
+ C
l)
∫
x2 + x
(x− 1)(x2 + 1)dx = ln |x− 1|+ arctan
(x
2
)
+ C
m)
∫
cos2(3y) sin2(2y)dy =
x
4
+
sin(6x)
24
− sin(4x)
16
− sin(10x)
80
− sin(2x)
16
+ C
n)
∫
z2 + z − 10
(2z − 3)(z2 + 4)dz =
1
2
ln(z2 + 4)− 1
2
ln |2z − 3|+ arctan
(z
2
)
+ C
o)
∫
cosx sin4 xdx =
sin5 x
5
+ C
p)
∫
y − 18
4y3 + 9y)
dy =
1
2
ln
(
4y2 + 9
y2
)
+
1
6
arctan
(
2y
3
)
+ C
2. Determine se as integrais divergem ou convergem.
a)
∫ ∞
1
lnx
x
dx Diverge
b)
∫ ∞
1
sin2 x
x2
dx Converge
c)
∫ ∞
1
1
x
dx Diverge
d)
∫ pi
2
0
cosx√
sinx
dx Converge
e)
∫ ∞
1
e−x
2
dx Converge
f)
∫ 3
0
1
x− 1dx Diverge
1
g)
∫ 5
2
1√
x− 2dx Converge
h)
∫ e
1
x20 lnxdx Converge
i)
∫ ∞
1
1 + e−x
x
dx Diverge
j)
∫ ∞
−∞
1
1 + x2
dx Converge
k)
∫ 2
0
1
1− x2 dx Diverge
l)
∫ ∞
1
1
x3
dx Converge
m)
∫ 0
−∞
xexdx Converge
n)
∫ 1
0
1
3
√
1− xdx Converge
3. Considere as func¸o˜es g(x) = |x| e f(x) = x2, com x ∈ [−1, 1].
a) Fac¸a um esboc¸o da regia˜o delimitada pelos gra´ficos destas duas func¸o˜es.
b) Calcule a a´rea da regia˜o delimitada no item (a). Area
1
3
ua
4. Considere as func¸o˜es g(x) = x2 − 2x e f(x) = 2x.
a) Fac¸a um esboc¸o da regia˜o delimitada pelos gra´ficos destas duas func¸o˜es.
b) Calcule a a´rea da regia˜o delimitada no item (a). Area
32
3
ua
5. Considere y = |x| e f(x) = 2− x2.
a) Fac¸a um esboc¸o da regia˜o delimitada pelos gra´ficos destas duas func¸o˜es.
b) Calcule a a´rea da regia˜o delimitada no item (a). Area
8
√
2− 6
3
ua
6. Considere y = x− 1 e f(x) = (x− 1)(3− x).
a) Fac¸a um esboc¸o da regia˜o delimitada pelos gra´ficos destas duas func¸o˜es.
b) Calcule a a´rea da regia˜o delimitada no item (a). Area
5
6
ua
7. Determine os limites de integrac¸a˜o a, b no lado direito de modo que a igualdade abaixo esteja correta. Justifique!∫ e
1
e(2+ln t)
2
t
dt =
∫ b
a
ex
2
dx
8. Julgue se o procedimento abaixo e´ verdadeiro ou falso justificando sua resposta∫ 1
−1
1
x2
dx = −
[
1
x
]1
−1
= −1− 1 = −2
2