Determinantes de Matrizes Quadradas

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Matema´tica
Para
Economia III -
GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Determinantes
de Ordem 2
Determinantes
de Ordem 3
Determinante
de Ordem n
Teorema de
Laplace
Propriedades
Inversa de
uma Matriz
Teorema
Matema´tica Para Economia III - GAN 00147
Ricardo Fuentes Apolaya
ricardof16@yahoo.com.br
Departamento de Ana´lise
Nitero´i, 2012
Matema´tica
Para
Economia III -
GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Determinantes
de Ordem 2
Determinantes
de Ordem 3
Determinante
de Ordem n
Teorema de
Laplace
Propriedades
Inversa de
uma Matriz
Teorema
Suma´rio
1 Determinantes de Ordem 2
2 Determinantes de Ordem 3
3 Determinante de Ordem n
4 Teorema de Laplace
5 Propriedades
6 Inversa de uma Matriz
7 Teorema
Matema´tica
Para
Economia III -
GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
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de Ordem 2
Determinantes
de Ordem 3
Determinante
de Ordem n
Teorema de
Laplace
Propriedades
Inversa de
uma Matriz
Teorema
Suma´rio
1 Determinantes de Ordem 2
2 Determinantes de Ordem 3
3 Determinante de Ordem n
4 Teorema de Laplace
5 Propriedades
6 Inversa de uma Matriz
7 Teorema
Matema´tica
Para
Economia III -
GAN 00147
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Fuentes
Apolaya
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de Ordem 2
Determinantes
de Ordem 3
Determinante
de Ordem n
Teorema de
Laplace
Propriedades
Inversa de
uma Matriz
Teorema
Suma´rio
1 Determinantes de Ordem 2
2 Determinantes de Ordem 3
3 Determinante de Ordem n
4 Teorema de Laplace
5 Propriedades
6 Inversa de uma Matriz
7 Teorema
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de Ordem 2
Determinantes
de Ordem 3
Determinante
de Ordem n
Teorema de
Laplace
Propriedades
Inversa de
uma Matriz
Teorema
Suma´rio
1 Determinantes de Ordem 2
2 Determinantes de Ordem 3
3 Determinante de Ordem n
4 Teorema de Laplace
5 Propriedades
6 Inversa de uma Matriz
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de Ordem 2
Determinantes
de Ordem 3
Determinante
de Ordem n
Teorema de
Laplace
Propriedades
Inversa de
uma Matriz
Teorema
Suma´rio
1 Determinantes de Ordem 2
2 Determinantes de Ordem 3
3 Determinante de Ordem n
4 Teorema de Laplace
5 Propriedades
6 Inversa de uma Matriz
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de Ordem 2
Determinantes
de Ordem 3
Determinante
de Ordem n
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Laplace
Propriedades
Inversa de
uma Matriz
Teorema
Suma´rio
1 Determinantes de Ordem 2
2 Determinantes de Ordem 3
3 Determinante de Ordem n
4 Teorema de Laplace
5 Propriedades
6 Inversa de uma Matriz
7 Teorema
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de Ordem 2
Determinantes
de Ordem 3
Determinante
de Ordem n
Teorema de
Laplace
Propriedades
Inversa de
uma Matriz
Teorema
Suma´rio
1 Determinantes de Ordem 2
2 Determinantes de Ordem 3
3 Determinante de Ordem n
4 Teorema de Laplace
5 Propriedades
6 Inversa de uma Matriz
7 Teorema
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Determinantes
de Ordem 2
Determinantes
de Ordem 3
Determinante
de Ordem n
Teorema de
Laplace
Propriedades
Inversa de
uma Matriz
Teorema
Determinantes de Ordem 2
Determinante e´ um nu´mero associado a matrizes quadradas
que pode indicar informac¸a˜o u´til sobre a matriz.
Seja A =
[
a b
c d
]
matriz de ordem 2× 2,
onde a, b, c e d ∈ R.
Definic¸a˜o
Definimos seu determinante como o nu´mero ad − bc ,
denotamos
|A| =
∣∣∣∣ a bc d
∣∣∣∣ = ad − bc.
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de Ordem 2
Determinantes
de Ordem 3
Determinante
de Ordem n
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Laplace
Propriedades
Inversa de
uma Matriz
Teorema
Determinantes de Ordem 2
Determinante e´ um nu´mero associado a matrizes quadradas
que pode indicar informac¸a˜o u´til sobre a matriz.
Seja A =
[
a b
c d
]
matriz de ordem 2× 2,
onde a, b, c e d ∈ R.
Definic¸a˜o
Definimos seu determinante como o nu´mero ad − bc ,
denotamos
|A| =
∣∣∣∣ a bc d
∣∣∣∣ = ad − bc.
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Laplace
Propriedades
Inversa de
uma Matriz
Teorema
Determinantes de Ordem 2
Determinante e´ um nu´mero associado a matrizes quadradas
que pode indicar informac¸a˜o u´til sobre a matriz.
Seja A =
[
a b
c d
]
matriz de ordem 2× 2,
onde a, b, c e d ∈ R.
Definic¸a˜o
Definimos seu determinante como o nu´mero ad − bc ,
denotamos
|A| =
∣∣∣∣ a bc d
∣∣∣∣ = ad − bc.
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de Ordem 2
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Determinante
de Ordem n
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Laplace
Propriedades
Inversa de
uma Matriz
Teorema
Determinantes de Ordem 2
Determinante e´ um nu´mero associado a matrizes quadradas
que pode indicar informac¸a˜o u´til sobre a matriz.
Seja A =
[
a b
c d
]
matriz de ordem 2× 2,
onde a, b, c e d ∈ R.
Definic¸a˜o
Definimos seu determinante como o nu´mero ad − bc ,
denotamos
|A| =
∣∣∣∣ a bc d
∣∣∣∣ = ad − bc.
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Inversa de
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Determinantes de Ordem 2
Determinante e´ um nu´mero associado a matrizes quadradas
que pode indicar informac¸a˜o u´til sobre a matriz.
Seja A =
[
a b
c d
]
matriz de ordem 2× 2,
onde a, b, c e d ∈ R.
Definic¸a˜o
Definimos seu determinante como o nu´mero ad − bc ,
denotamos
|A| =
∣∣∣∣ a bc d
∣∣∣∣ =
ad − bc.
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Determinante
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Propriedades
Inversa de
uma Matriz
Teorema
Determinantes de Ordem 2
Determinante e´ um nu´mero associado a matrizes quadradas
que pode indicar informac¸a˜o u´til sobre a matriz.
Seja A =
[
a b
c d
]
matriz de ordem 2× 2,
onde a, b, c e d ∈ R.
Definic¸a˜o
Definimos seu determinante como o nu´mero ad − bc ,
denotamos
|A| =
∣∣∣∣ a bc d
∣∣∣∣ = ad − bc.
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Laplace
Propriedades
Inversa de
uma Matriz
Teorema
Exemplo
Dada
A =
[
2 1
1 4
]
Tem-se que
|A| =
∣∣∣∣ 2 11 4
∣∣∣∣ = 2 · 4− 1 · 1 = 7
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Inversa de
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Teorema
Exemplo
Dada
A =
[
2 1
1 4
]
Tem-se que
|A| =
∣∣∣∣ 2 11 4
∣∣∣∣ = 2 · 4− 1 · 1 = 7
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Exemplo
Dada
A =
[
2 1
1 4
]
Tem-se que
|A| =
∣∣∣∣ 2 11 4
∣∣∣∣ =
2 · 4− 1 · 1 = 7
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de Ordem n
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Inversa de
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Exemplo
Dada
A =
[
2 1
1 4
]
Tem-se que
|A| =
∣∣∣∣ 2 11 4
∣∣∣∣ = 2 · 4− 1 · 1 = 7
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Propriedades
Inversa de
uma Matriz
Teorema
Determinantes de Ordem 3
Se consideramos uma matriz de ordem 3 da forma
A =
 a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33

Definic¸a˜o
Definimos o determinante (usando a primeira linha) como o
nu´mero
|A| = a11 ·
∣∣∣∣ a22 a23a32 a33
∣∣∣∣ − a12 · ∣∣∣∣ a21 a23a31 a33
∣∣∣∣ + a13 · ∣∣∣∣ a21 a22a31 a32
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ = Det(A)
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Inversa de
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Determinantes de Ordem 3
Se consideramos uma matriz de ordem 3 da forma
A =
 a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33

Definic¸a˜o
Definimos o determinante (usando a primeira linha) como o
nu´mero
|A| = a11 ·
∣∣∣∣ a22 a23a32 a33
∣∣∣∣ − a12 · ∣∣∣∣ a21 a23a31 a33
∣∣∣∣ + a13 · ∣∣∣∣ a21 a22a31 a32
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ = Det(A)
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Se consideramos uma matriz de ordem 3 da forma
A =
 a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33

Definic¸a˜o
Definimos o determinante (usando a primeira linha) como o
nu´mero
|A| =
a11 ·
∣∣∣∣ a22 a23a32 a33
∣∣∣∣ − a12 · ∣∣∣∣ a21 a23a31 a33
∣∣∣∣ + a13 · ∣∣∣∣ a21 a22a31 a32
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13
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a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ = Det(A)
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Se consideramos uma matriz de ordem 3 da forma
A =
 a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33

Definic¸a˜o
Definimos o determinante (usando a primeira linha) como o
nu´mero
|A| = a11 ·
∣∣∣∣ a22 a23a32 a33
∣∣∣∣
− a12 ·
∣∣∣∣ a21 a23a31 a33
∣∣∣∣ + a13 · ∣∣∣∣ a21 a22a31 a32
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ = Det(A)
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Se consideramos uma matriz de ordem 3 da forma
A =
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a31 a32 a33

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Definimos o determinante (usando a primeira linha) como o
nu´mero
|A| = a11 ·
∣∣∣∣ a22 a23a32 a33
∣∣∣∣ − a12 · ∣∣∣∣ a21 a23a31 a33
∣∣∣∣
+ a13 ·
∣∣∣∣ a21 a22a31 a32
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13
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a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ = Det(A)
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Se consideramos uma matriz de ordem 3 da forma
A =
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a31 a32 a33
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Definic¸a˜o
Definimos o determinante (usando a primeira linha) como o
nu´mero
|A| = a11 ·
∣∣∣∣ a22 a23a32 a33
∣∣∣∣ − a12 · ∣∣∣∣ a21 a23a31 a33
∣∣∣∣ + a13 · ∣∣∣∣ a21 a22a31 a32
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13
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a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ = Det(A)
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Se consideramos uma matriz de ordem 3 da forma
A =
 a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33

Definic¸a˜o
Definimos o determinante (usando a primeira linha) como o
nu´mero
|A| = a11 ·
∣∣∣∣ a22 a23a32 a33
∣∣∣∣ − a12 · ∣∣∣∣ a21 a23a31 a33
∣∣∣∣ + a13 · ∣∣∣∣ a21 a22a31 a32
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13
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Inversa de
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Teorema
Determinantes de Ordem 3
Tambe´m pode ser escrito na forma
Det(A) = a11 · Det(A11)− a12 · Det(A12) + a13 · Det(A13)
Se usamos a segunda linha, temos :
|A| = −a21 ·
∣∣∣∣ a12 a13a32 a33
∣∣∣∣ +a22 · ∣∣∣∣ a11 a13a31 a33
∣∣∣∣ −a23 · ∣∣∣∣ a11 a12a31 a32
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ = Det(A)
Det(A) = − a21 · Det(A21) + a22 · Det(A22)− a23 · Det(A23)
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Determinantes
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Inversa de
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Tambe´m pode ser escrito na forma
Det(A) =
a11 · Det(A11)− a12 · Det(A12) + a13 · Det(A13)
Se usamos a segunda linha, temos :
|A| = −a21 ·
∣∣∣∣ a12 a13a32 a33
∣∣∣∣ +a22 · ∣∣∣∣ a11 a13a31 a33
∣∣∣∣ −a23 · ∣∣∣∣ a11 a12a31 a32
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ = Det(A)
Det(A) = − a21 · Det(A21) + a22 · Det(A22)− a23 · Det(A23)
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Tambe´m pode ser escrito na forma
Det(A) = a11 · Det(A11)
− a12 · Det(A12) + a13 · Det(A13)
Se usamos a segunda linha, temos :
|A| = −a21 ·
∣∣∣∣ a12 a13a32 a33
∣∣∣∣ +a22 · ∣∣∣∣ a11 a13a31 a33
∣∣∣∣ −a23 · ∣∣∣∣ a11 a12a31 a32
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ = Det(A)
Det(A) = − a21 · Det(A21) + a22 · Det(A22)− a23 · Det(A23)
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Tambe´m pode ser escrito na forma
Det(A) = a11 · Det(A11)− a12 · Det(A12)
+ a13 · Det(A13)
Se usamos a segunda linha, temos :
|A| = −a21 ·
∣∣∣∣ a12 a13a32 a33
∣∣∣∣ +a22 · ∣∣∣∣ a11 a13a31 a33
∣∣∣∣ −a23 · ∣∣∣∣ a11 a12a31 a32
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ = Det(A)
Det(A) = − a21 · Det(A21) + a22 · Det(A22)− a23 · Det(A23)
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Inversa de
uma Matriz
Teorema
Determinantes de Ordem 3
Tambe´m pode ser escrito na forma
Det(A) = a11 · Det(A11)− a12 · Det(A12) + a13 · Det(A13)
Se usamos a segunda linha, temos :
|A| = −a21 ·
∣∣∣∣ a12 a13a32 a33
∣∣∣∣ +a22 · ∣∣∣∣ a11 a13a31 a33
∣∣∣∣ −a23 · ∣∣∣∣ a11 a12a31 a32
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ = Det(A)
Det(A) =− a21 · Det(A21) + a22 · Det(A22)− a23 · Det(A23)
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Inversa de
uma Matriz
Teorema
Determinantes de Ordem 3
Tambe´m pode ser escrito na forma
Det(A) = a11 · Det(A11)− a12 · Det(A12) + a13 · Det(A13)
Se usamos a segunda linha, temos :
|A| =
−a21 ·
∣∣∣∣ a12 a13a32 a33
∣∣∣∣ +a22 · ∣∣∣∣ a11 a13a31 a33
∣∣∣∣ −a23 · ∣∣∣∣ a11 a12a31 a32
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ = Det(A)
Det(A) = − a21 · Det(A21) + a22 · Det(A22)− a23 · Det(A23)
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de Ordem 2
Determinantes
de Ordem 3
Determinante
de Ordem n
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Propriedades
Inversa de
uma Matriz
Teorema
Determinantes de Ordem 3
Tambe´m pode ser escrito na forma
Det(A) = a11 · Det(A11)− a12 · Det(A12) + a13 · Det(A13)
Se usamos a segunda linha, temos :
|A| = −a21 ·
∣∣∣∣ a12 a13a32 a33
∣∣∣∣
+a22 ·
∣∣∣∣ a11 a13a31 a33
∣∣∣∣ −a23 · ∣∣∣∣ a11 a12a31 a32
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ = Det(A)
Det(A) = − a21 · Det(A21) + a22 · Det(A22)− a23 · Det(A23)
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Determinantes
de Ordem 2
Determinantes
de Ordem 3
Determinante
de Ordem n
Teorema de
Laplace
Propriedades
Inversa de
uma Matriz
Teorema
Determinantes de Ordem 3
Tambe´m pode ser escrito na forma
Det(A) = a11 · Det(A11)− a12 · Det(A12) + a13 · Det(A13)
Se usamos a segunda linha, temos :
|A| = −a21 ·
∣∣∣∣ a12 a13a32 a33
∣∣∣∣ +a22 · ∣∣∣∣ a11 a13a31 a33
∣∣∣∣
−a23 ·
∣∣∣∣ a11 a12a31 a32
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ = Det(A)
Det(A) = − a21 · Det(A21) + a22 · Det(A22)− a23 · Det(A23)
Matema´tica
Para
Economia III -
GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Determinantes
de Ordem 2
Determinantes
de Ordem 3
Determinante
de Ordem n
Teorema de
Laplace
Propriedades
Inversa de
uma Matriz
Teorema
Determinantes de Ordem 3
Tambe´m pode ser escrito na forma
Det(A) = a11 · Det(A11)− a12 · Det(A12) + a13 · Det(A13)
Se usamos a segunda linha, temos :
|A| = −a21 ·
∣∣∣∣ a12 a13a32 a33
∣∣∣∣ +a22 · ∣∣∣∣ a11 a13a31 a33
∣∣∣∣ −a23 · ∣∣∣∣ a11 a12a31 a32
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ = Det(A)
Det(A) = − a21 · Det(A21) + a22 · Det(A22)− a23 · Det(A23)
Matema´tica
Para
Economia III -
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Ricardo
Fuentes
Apolaya
Determinantes
de Ordem 2
Determinantes
de Ordem 3
Determinante
de Ordem n
Teorema de
Laplace
Propriedades
Inversa de
uma Matriz
Teorema
Determinantes de Ordem 3
Tambe´m pode ser escrito na forma
Det(A) = a11 · Det(A11)− a12 · Det(A12) + a13 · Det(A13)
Se usamos a segunda linha, temos :
|A| = −a21 ·
∣∣∣∣ a12 a13a32 a33
∣∣∣∣ +a22 · ∣∣∣∣ a11 a13a31 a33
∣∣∣∣ −a23 · ∣∣∣∣ a11 a12a31 a32
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ = Det(A)
Det(A) = − a21 · Det(A21) + a22 · Det(A22)− a23 · Det(A23)
Matema´tica
Para
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Ricardo
Fuentes
Apolaya
Determinantes
de Ordem 2
Determinantes
de Ordem 3
Determinante
de Ordem n
Teorema de
Laplace
Propriedades
Inversa de
uma Matriz
Teorema
Determinantes de Ordem 3
Tambe´m pode ser escrito na forma
Det(A) = a11 · Det(A11)− a12 · Det(A12) + a13 · Det(A13)
Se usamos a segunda linha, temos :
|A| = −a21 ·
∣∣∣∣ a12 a13a32 a33
∣∣∣∣ +a22 · ∣∣∣∣ a11 a13a31 a33
∣∣∣∣ −a23 · ∣∣∣∣ a11 a12a31 a32
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ = Det(A)
Det(A) =
− a21 · Det(A21) + a22 · Det(A22)− a23 · Det(A23)
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Fuentes
Apolaya
Determinantes
de Ordem 2
Determinantes
de Ordem 3
Determinante
de Ordem n
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Laplace
Propriedades
Inversa de
uma Matriz
Teorema
Determinantes de Ordem 3
Tambe´m pode ser escrito na forma
Det(A) = a11 · Det(A11)− a12 · Det(A12) + a13 · Det(A13)
Se usamos a segunda linha, temos :
|A| = −a21 ·
∣∣∣∣ a12 a13a32 a33
∣∣∣∣ +a22 · ∣∣∣∣ a11 a13a31 a33
∣∣∣∣ −a23 · ∣∣∣∣ a11 a12a31 a32
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ = Det(A)
Det(A) = − a21 · Det(A21)
+ a22 · Det(A22)− a23 · Det(A23)
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Tambe´m pode ser escrito na forma
Det(A) = a11 · Det(A11)− a12 · Det(A12) + a13 · Det(A13)
Se usamos a segunda linha, temos :
|A| = −a21 ·
∣∣∣∣ a12 a13a32 a33
∣∣∣∣ +a22 · ∣∣∣∣ a11 a13a31 a33
∣∣∣∣ −a23 · ∣∣∣∣ a11 a12a31 a32
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ = Det(A)
Det(A) = − a21 · Det(A21) + a22 · Det(A22)
− a23 · Det(A23)
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Determinantes
de Ordem 2
Determinantes
de Ordem 3
Determinante
de Ordem n
Teorema de
Laplace
Propriedades
Inversa de
uma Matriz
Teorema
Determinantes de Ordem 3
Tambe´m pode ser escrito na forma
Det(A) = a11 · Det(A11)− a12 · Det(A12) + a13 · Det(A13)
Se usamos a segunda linha, temos :
|A| = −a21 ·
∣∣∣∣ a12 a13a32 a33
∣∣∣∣ +a22 · ∣∣∣∣ a11 a13a31 a33
∣∣∣∣ −a23 · ∣∣∣∣ a11 a12a31 a32
∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣ = Det(A)
Det(A) = − a21 · Det(A21) + a22 · Det(A22)− a23 · Det(A23)
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Ricardo
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Determinantes
de Ordem 2
Determinantes
de Ordem 3
Determinante
de Ordem n
Teorema de
Laplace
Propriedades
Inversa de
uma Matriz
Teorema
Exemplo
Observac¸a˜o
Para calcular o determinante de uma matriz podemos usar
qualquer linha ou coluna.
Calcular o determinante de
A =
 3 0 11 2 5
−1 4 2

Calculamos, usando a terceira coluna
Det(A) = 1.
∣∣∣∣ 1 2−1 4
∣∣∣∣− 5. ∣∣∣∣ 3 0−1 4
∣∣∣∣+ 2. ∣∣∣∣ 3 01 2
∣∣∣∣ = −42
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Determinantes
de Ordem 2
Determinantes
de Ordem 3
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de Ordem n
Teorema de
Laplace
Propriedades
Inversa de
uma Matriz
Teorema
Exemplo
Observac¸a˜o
Para calcular o determinante de uma matriz podemos usar
qualquer linha ou coluna.
Calcular o determinante de
A =
 3 0 11 2 5
−1 4 2

Calculamos, usando a terceira coluna
Det(A) = 1.
∣∣∣∣ 1 2−1 4
∣∣∣∣− 5. ∣∣∣∣ 3 0−1 4
∣∣∣∣+ 2. ∣∣∣∣ 3 01 2
∣∣∣∣ = −42
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de Ordem 2
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de Ordem 3
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de Ordem n
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Laplace
Propriedades
Inversa de
uma Matriz
Teorema
Exemplo
Observac¸a˜o
Para calcular o determinante de uma matriz podemos usar
qualquer linha ou coluna.
Calcular o determinante de
A =
 3 0 11 2 5
−1 4 2

Calculamos, usando a terceira coluna
Det(A) = 1.
∣∣∣∣ 1 2−1 4
∣∣∣∣− 5. ∣∣∣∣ 3 0−1 4
∣∣∣∣+ 2. ∣∣∣∣ 3 01 2
∣∣∣∣ = −42
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de Ordem 2
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de Ordem 3
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de Ordem n
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Laplace
Propriedades
Inversa de
uma Matriz
Teorema
Exemplo
Observac¸a˜o
Para calcular o determinante de uma matriz podemos usar
qualquer linha ou coluna.
Calcular o determinante de
A =
 3 0 11 2 5
−1 4 2

Calculamos,usando a terceira coluna
Det(A) =
1.
∣∣∣∣ 1 2−1 4
∣∣∣∣− 5. ∣∣∣∣ 3 0−1 4
∣∣∣∣+ 2. ∣∣∣∣ 3 01 2
∣∣∣∣ = −42
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de Ordem 2
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de Ordem 3
Determinante
de Ordem n
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Laplace
Propriedades
Inversa de
uma Matriz
Teorema
Exemplo
Observac¸a˜o
Para calcular o determinante de uma matriz podemos usar
qualquer linha ou coluna.
Calcular o determinante de
A =
 3 0 11 2 5
−1 4 2

Calculamos, usando a terceira coluna
Det(A) = 1.
∣∣∣∣ 1 2−1 4
∣∣∣∣−
5.
∣∣∣∣ 3 0−1 4
∣∣∣∣+ 2. ∣∣∣∣ 3 01 2
∣∣∣∣ = −42
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de Ordem 2
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Laplace
Propriedades
Inversa de
uma Matriz
Teorema
Exemplo
Observac¸a˜o
Para calcular o determinante de uma matriz podemos usar
qualquer linha ou coluna.
Calcular o determinante de
A =
 3 0 11 2 5
−1 4 2

Calculamos, usando a terceira coluna
Det(A) = 1.
∣∣∣∣ 1 2−1 4
∣∣∣∣− 5. ∣∣∣∣ 3 0−1 4
∣∣∣∣+
2.
∣∣∣∣ 3 01 2
∣∣∣∣ = −42
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Propriedades
Inversa de
uma Matriz
Teorema
Exemplo
Observac¸a˜o
Para calcular o determinante de uma matriz podemos usar
qualquer linha ou coluna.
Calcular o determinante de
A =
 3 0 11 2 5
−1 4 2

Calculamos, usando a terceira coluna
Det(A) = 1.
∣∣∣∣ 1 2−1 4
∣∣∣∣− 5. ∣∣∣∣ 3 0−1 4
∣∣∣∣+ 2. ∣∣∣∣ 3 01 2
∣∣∣∣ = −42
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de Ordem 2
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de Ordem n
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Laplace
Propriedades
Inversa de
uma Matriz
Teorema
Menor Complementar
Definic¸a˜o
Chamamos menor ou complementar alge´brico do elemento
aij de uma matriz quadrada A = [aij ]n×n ao determinante |Aij |
associado a` submatriz quadrada de ordem (n-1), obtida de A
retirando-se a i-e´sima linha e a j-e´sima coluna.
Definic¸a˜o
O cofator relativo ao elemento aij de uma matriz quadrada A,
e´ o nu´mero denotado por 4ij tal que
4ij = (−1)i+j |Aij |
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Determinante
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Laplace
Propriedades
Inversa de
uma Matriz
Teorema
Menor Complementar
Definic¸a˜o
Chamamos menor ou complementar alge´brico do elemento
aij de uma matriz quadrada A = [aij ]n×n ao determinante |Aij |
associado a` submatriz quadrada de ordem (n-1),
obtida de A
retirando-se a i-e´sima linha e a j-e´sima coluna.
Definic¸a˜o
O cofator relativo ao elemento aij de uma matriz quadrada A,
e´ o nu´mero denotado por 4ij tal que
4ij = (−1)i+j |Aij |
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Menor Complementar
Definic¸a˜o
Chamamos menor ou complementar alge´brico do elemento
aij de uma matriz quadrada A = [aij ]n×n ao determinante |Aij |
associado a` submatriz quadrada de ordem (n-1), obtida de A
retirando-se a i-e´sima linha
e a j-e´sima coluna.
Definic¸a˜o
O cofator relativo ao elemento aij de uma matriz quadrada A,
e´ o nu´mero denotado por 4ij tal que
4ij = (−1)i+j |Aij |
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Propriedades
Inversa de
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Teorema
Menor Complementar
Definic¸a˜o
Chamamos menor ou complementar alge´brico do elemento
aij de uma matriz quadrada A = [aij ]n×n ao determinante |Aij |
associado a` submatriz quadrada de ordem (n-1), obtida de A
retirando-se a i-e´sima linha e a j-e´sima coluna.
Definic¸a˜o
O cofator relativo ao elemento aij de uma matriz quadrada A,
e´ o nu´mero denotado por 4ij tal que
4ij = (−1)i+j |Aij |
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Inversa de
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Menor Complementar
Definic¸a˜o
Chamamos menor ou complementar alge´brico do elemento
aij de uma matriz quadrada A = [aij ]n×n ao determinante |Aij |
associado a` submatriz quadrada de ordem (n-1), obtida de A
retirando-se a i-e´sima linha e a j-e´sima coluna.
Definic¸a˜o
O cofator relativo ao elemento aij de uma matriz quadrada A,
e´ o nu´mero denotado por 4ij tal que
4ij = (−1)i+j |Aij |
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Propriedades
Inversa de
uma Matriz
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Menor Complementar
Definic¸a˜o
Chamamos menor ou complementar alge´brico do elemento
aij de uma matriz quadrada A = [aij ]n×n ao determinante |Aij |
associado a` submatriz quadrada de ordem (n-1), obtida de A
retirando-se a i-e´sima linha e a j-e´sima coluna.
Definic¸a˜o
O cofator relativo ao elemento aij de uma matriz quadrada A,
e´ o nu´mero denotado por 4ij tal que
4ij = (−1)i+j |Aij |
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Propriedades
Inversa de
uma Matriz
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Menor Complementar
Definic¸a˜o
Chamamos menor ou complementar alge´brico do elemento
aij de uma matriz quadrada A = [aij ]n×n ao determinante |Aij |
associado a` submatriz quadrada de ordem (n-1), obtida de A
retirando-se a i-e´sima linha e a j-e´sima coluna.
Definic¸a˜o
O cofator relativo ao elemento aij de uma matriz quadrada A,
e´ o nu´mero denotado por 4ij tal que
4ij = (−1)i+j |Aij |
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Laplace
Propriedades
Inversa de
uma Matriz
Teorema
Menor Complementar: Exemplos
Dada a matriz
A =
 3 0 11 2 5
−1 4 2

Calculamos,
|A23| =
∣∣∣∣ 3 0−1 4
∣∣∣∣ = 12
Nesta caso, o cofator e´
423 = (−1)2+3 |A23| = −12
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de Ordem 2
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Inversa de
uma Matriz
Teorema
Menor Complementar: Exemplos
Dada a matriz
A =
 3 0 11 2 5
−1 4 2

Calculamos,
|A23| =
∣∣∣∣ 3 0−1 4
∣∣∣∣ = 12
Nesta caso, o cofator e´
423 = (−1)2+3 |A23| = −12
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Menor Complementar: Exemplos
Dada a matriz
A =
 3 0 11 2 5
−1 4 2

Calculamos,
|A23| =
∣∣∣∣ 3 0−1 4
∣∣∣∣ = 12
Nesta caso, o cofator e´
423 = (−1)2+3 |A23| = −12
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Menor Complementar: Exemplos
Dada a matriz
A =
 3 011 2 5
−1 4 2

Calculamos,
|A23| =
∣∣∣∣ 3 0−1 4
∣∣∣∣ = 12
Nesta caso, o cofator e´
423 = (−1)2+3 |A23| = −12
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Menor Complementar: Exemplos
Dada a matriz
A =
 3 0 11 2 5
−1 4 2

Calculamos,
|A23| =
∣∣∣∣ 3 0−1 4
∣∣∣∣ =
12
Nesta caso, o cofator e´
423 = (−1)2+3 |A23| = −12
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Inversa de
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Teorema
Menor Complementar: Exemplos
Dada a matriz
A =
 3 0 11 2 5
−1 4 2

Calculamos,
|A23| =
∣∣∣∣ 3 0−1 4
∣∣∣∣ = 12
Nesta caso, o cofator e´
423 = (−1)2+3 |A23| = −12
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Inversa de
uma Matriz
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Menor Complementar: Exemplos
Dada a matriz
A =
 3 0 11 2 5
−1 4 2

Calculamos,
|A23| =
∣∣∣∣ 3 0−1 4
∣∣∣∣ = 12
Nesta caso, o cofator e´
423 = (−1)2+3 |A23| = −12
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Inversa de
uma Matriz
Teorema
Menor Complementar: Exemplos
Dada a matriz
A =
 3 0 11 2 5
−1 4 2

Calculamos,
|A23| =
∣∣∣∣ 3 0−1 4
∣∣∣∣ = 12
Nesta caso, o cofator e´
423 = (−1)2+3 |A23| = −12
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de Ordem 3
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Laplace
Propriedades
Inversa de
uma Matriz
Teorema
Matriz dos Cofatores
Definic¸a˜o (Matriz dos Cofatores)
Definimos a matriz dos cofatores de uma matriz A, denotada
por A como sendo a matriz cujos elementos sa˜o os cofatores de
A, ou seja,
A = [4ij ]
Definic¸a˜o (Matriz Adjunta)
E´ a transposta da matriz dos cofatores, ou seja
Adj A =
(
A
)t
= matriz adjunta de A
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Matriz dos Cofatores
Definic¸a˜o (Matriz dos Cofatores)
Definimos a matriz dos cofatores de uma matriz A, denotada
por A
como sendo a matriz cujos elementos sa˜o os cofatores de
A, ou seja,
A = [4ij ]
Definic¸a˜o (Matriz Adjunta)
E´ a transposta da matriz dos cofatores, ou seja
Adj A =
(
A
)t
= matriz adjunta de A
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Matriz dos Cofatores
Definic¸a˜o (Matriz dos Cofatores)
Definimos a matriz dos cofatores de uma matriz A, denotada
por A como sendo a matriz cujos elementos sa˜o os cofatores de
A, ou seja,
A = [4ij ]
Definic¸a˜o (Matriz Adjunta)
E´ a transposta da matriz dos cofatores, ou seja
Adj A =
(
A
)t
= matriz adjunta de A
Matema´tica
Para
Economia III -
GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Determinantes
de Ordem 2
Determinantes
de Ordem 3
Determinante
de Ordem n
Teorema de
Laplace
Propriedades
Inversa de
uma Matriz
Teorema
Matriz dos Cofatores
Definic¸a˜o (Matriz dos Cofatores)
Definimos a matriz dos cofatores de uma matriz A, denotada
por A como sendo a matriz cujos elementos sa˜o os cofatores de
A, ou seja,
A = [4ij ]
Definic¸a˜o (Matriz Adjunta)
E´ a transposta da matriz dos cofatores, ou seja
Adj A =
(
A
)t
= matriz adjunta de A
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de Ordem 2
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de Ordem 3
Determinante
de Ordem n
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Laplace
Propriedades
Inversa de
uma Matriz
Teorema
Matriz dos Cofatores
Definic¸a˜o (Matriz dos Cofatores)
Definimos a matriz dos cofatores de uma matriz A, denotada
por A como sendo a matriz cujos elementos sa˜o os cofatores de
A, ou seja,
A = [4ij ]
Definic¸a˜o (Matriz Adjunta)
E´ a transposta da matriz dos cofatores, ou seja
Adj A =
(
A
)t
= matriz adjunta de A
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de Ordem 2
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de Ordem 3
Determinante
de Ordem n
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Propriedades
Inversa de
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Matriz dos Cofatores
Definic¸a˜o (Matriz dos Cofatores)
Definimos a matriz dos cofatores de uma matriz A, denotada
por A como sendo a matriz cujos elementos sa˜o os cofatores de
A, ou seja,
A = [4ij ]
Definic¸a˜o (Matriz Adjunta)
E´ a transposta da matriz dos cofatores, ou seja
Adj A =
(
A
)t
= matriz adjunta de A
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Matriz dos Cofatores
Definic¸a˜o (Matriz dos Cofatores)
Definimos a matriz dos cofatores de uma matriz A, denotada
por A como sendo a matriz cujos elementos sa˜o os cofatores de
A, ou seja,
A = [4ij ]
Definic¸a˜o (Matriz Adjunta)
E´ a transposta da matriz dos cofatores, ou seja
Adj A =
(
A
)t
= matriz adjunta de A
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Determinante
de Ordem n
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Laplace
Propriedades
Inversa de
uma Matriz
Teorema
Determinante de Ordem n
Definic¸a˜o
Definimos o determinante da matriz A, segundo a linha i, por :
Det(A) = |A| = (−1)i+1.ai1 |Ai1|+ ..... + (−1)i+n.ain |Ain| .
Det(A) = |A| = ai14i1 + ..... + ain4in.
Teorema (Teorema de Laplace)
O determinante de uma matriz quadrada An, (n ≥ 2) pode ser
obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila
qualquer (linha ou coluna) da matriz A pelos respectivos
cofatores.
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de Ordem 2
Determinantes
de Ordem 3
Determinante
de Ordem n
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Laplace
Propriedades
Inversa de
uma Matriz
Teorema
Determinante de Ordem n
Definic¸a˜o
Definimos o determinante da matriz A, segundo a linha i, por :
Det(A) = |A| = (−1)i+1.ai1 |Ai1|+ ..... + (−1)i+n.ain |Ain| .
Det(A) = |A| = ai14i1 + ..... + ain4in.
Teorema (Teorema de Laplace)
O determinante de uma matriz quadrada An, (n ≥ 2) pode ser
obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila
qualquer (linha ou coluna) da matriz A pelos respectivos
cofatores.
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de Ordem n
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Determinante de Ordem n
Definic¸a˜o
Definimos o determinante da matriz A, segundo a linha i, por :
Det(A) = |A| =
(−1)i+1.ai1 |Ai1|+ ..... + (−1)i+n.ain |Ain| .
Det(A) = |A| = ai14i1 + ..... + ain4in.
Teorema (Teorema de Laplace)
O determinante de uma matriz quadrada An, (n ≥ 2) pode ser
obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila
qualquer (linha ou coluna) da matrizA pelos respectivos
cofatores.
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Inversa de
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Determinante de Ordem n
Definic¸a˜o
Definimos o determinante da matriz A, segundo a linha i, por :
Det(A) = |A| = (−1)i+1.ai1 |Ai1|+ .....
+ (−1)i+n.ain |Ain| .
Det(A) = |A| = ai14i1 + ..... + ain4in.
Teorema (Teorema de Laplace)
O determinante de uma matriz quadrada An, (n ≥ 2) pode ser
obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila
qualquer (linha ou coluna) da matriz A pelos respectivos
cofatores.
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Determinante de Ordem n
Definic¸a˜o
Definimos o determinante da matriz A, segundo a linha i, por :
Det(A) = |A| = (−1)i+1.ai1 |Ai1|+ ..... + (−1)i+n.ain |Ain| .
Det(A) = |A| = ai14i1 + ..... + ain4in.
Teorema (Teorema de Laplace)
O determinante de uma matriz quadrada An, (n ≥ 2) pode ser
obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila
qualquer (linha ou coluna) da matriz A pelos respectivos
cofatores.
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Definic¸a˜o
Definimos o determinante da matriz A, segundo a linha i, por :
Det(A) = |A| = (−1)i+1.ai1 |Ai1|+ ..... + (−1)i+n.ain |Ain| .
Det(A) = |A| =
ai14i1 + ..... + ain4in.
Teorema (Teorema de Laplace)
O determinante de uma matriz quadrada An, (n ≥ 2) pode ser
obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila
qualquer (linha ou coluna) da matriz A pelos respectivos
cofatores.
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Determinante de Ordem n
Definic¸a˜o
Definimos o determinante da matriz A, segundo a linha i, por :
Det(A) = |A| = (−1)i+1.ai1 |Ai1|+ ..... + (−1)i+n.ain |Ain| .
Det(A) = |A| = ai14i1 + .....
+ ain4in.
Teorema (Teorema de Laplace)
O determinante de uma matriz quadrada An, (n ≥ 2) pode ser
obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila
qualquer (linha ou coluna) da matriz A pelos respectivos
cofatores.
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Definic¸a˜o
Definimos o determinante da matriz A, segundo a linha i, por :
Det(A) = |A| = (−1)i+1.ai1 |Ai1|+ ..... + (−1)i+n.ain |Ain| .
Det(A) = |A| = ai14i1 + ..... + ain4in.
Teorema (Teorema de Laplace)
O determinante de uma matriz quadrada An, (n ≥ 2) pode ser
obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila
qualquer (linha ou coluna) da matriz A pelos respectivos
cofatores.
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Definic¸a˜o
Definimos o determinante da matriz A, segundo a linha i, por :
Det(A) = |A| = (−1)i+1.ai1 |Ai1|+ ..... + (−1)i+n.ain |Ain| .
Det(A) = |A| = ai14i1 + ..... + ain4in.
Teorema (Teorema de Laplace)
O determinante de uma matriz quadrada An, (n ≥ 2) pode ser
obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila
qualquer (linha ou coluna) da matriz A pelos respectivos
cofatores.
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Definic¸a˜o
Definimos o determinante da matriz A, segundo a linha i, por :
Det(A) = |A| = (−1)i+1.ai1 |Ai1|+ ..... + (−1)i+n.ain |Ain| .
Det(A) = |A| = ai14i1 + ..... + ain4in.
Teorema (Teorema de Laplace)
O determinante de uma matriz quadrada An, (n ≥ 2) pode ser
obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila
qualquer (linha ou coluna) da matriz A pelos respectivos
cofatores.
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Determinante de Ordem n
Definic¸a˜o
Definimos o determinante da matriz A, segundo a linha i, por :
Det(A) = |A| = (−1)i+1.ai1 |Ai1|+ ..... + (−1)i+n.ain |Ain| .
Det(A) = |A| = ai14i1 + ..... + ain4in.
Teorema (Teorema de Laplace)
O determinante de uma matriz quadrada An, (n ≥ 2) pode ser
obtido pela soma dos produtos dos elementos de uma fila
qualquer (linha ou coluna) da matriz A pelos respectivos
cofatores.
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Propriedades
Inversa de
uma Matriz
Teorema
Propriedades
(a) Se os elementos de uma linha (ou coluna)de uma matriz
sa˜o todos zeros, enta˜o Det(A) = 0 .
(b) Se trocamos de posic¸a˜o duas linhas, o determinante troca
de sinal.
(c) Se multiplicamos uma linha da matriz por uma constante,
o determinante e´ multiplicado por esta constante.
(d) O determinante de uma matriz que tem duas linhas
(colunas) iguais e´ zero.
(e) O determina NA˜O muda se somamos a uma linha outra
linha multiplicada por uma constante.
(f) Det(A · B) = Det(A) · Det(B) .
(g) Det(A) = Det(At)
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de Ordem 2
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Determinante
de Ordem n
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Propriedades
Inversa de
uma Matriz
Teorema
Propriedades
(a) Se os elementos de uma linha (ou coluna)de uma matriz
sa˜o todos zeros, enta˜o Det(A) = 0 .
(b) Se trocamos de posic¸a˜o duas linhas, o determinante troca
de sinal.
(c) Se multiplicamos uma linha da matriz por uma constante,
o determinante e´ multiplicado por esta constante.
(d) O determinante de uma matriz que tem duas linhas
(colunas) iguais e´ zero.
(e) O determina NA˜O muda se somamos a uma linha outra
linha multiplicada por uma constante.
(f) Det(A · B) = Det(A) · Det(B) .
(g) Det(A) = Det(At)
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Propriedades
(a) Se os elementos de uma linha (ou coluna)de uma matriz
sa˜o todos zeros, enta˜o Det(A) = 0 .
(b) Se trocamos de posic¸a˜o duas linhas, o determinante troca
de sinal.
(c) Se multiplicamos uma linha da matriz por uma constante,
o determinante e´ multiplicado por esta constante.
(d) O determinante de uma matriz que tem duas linhas
(colunas) iguais e´ zero.
(e) O determina NA˜O muda se somamos a uma linha outra
linha multiplicada por uma constante.
(f) Det(A · B) = Det(A) · Det(B) .
(g) Det(A) = Det(At)
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PropriedadesInversa de
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Propriedades
(a) Se os elementos de uma linha (ou coluna)de uma matriz
sa˜o todos zeros, enta˜o Det(A) = 0 .
(b) Se trocamos de posic¸a˜o duas linhas, o determinante troca
de sinal.
(c) Se multiplicamos uma linha da matriz por uma constante,
o determinante e´ multiplicado por esta constante.
(d) O determinante de uma matriz que tem duas linhas
(colunas) iguais e´ zero.
(e) O determina NA˜O muda se somamos a uma linha outra
linha multiplicada por uma constante.
(f) Det(A · B) = Det(A) · Det(B) .
(g) Det(A) = Det(At)
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(a) Se os elementos de uma linha (ou coluna)de uma matriz
sa˜o todos zeros, enta˜o Det(A) = 0 .
(b) Se trocamos de posic¸a˜o duas linhas, o determinante troca
de sinal.
(c) Se multiplicamos uma linha da matriz por uma constante,
o determinante e´ multiplicado por esta constante.
(d) O determinante de uma matriz que tem duas linhas
(colunas) iguais e´ zero.
(e) O determina NA˜O muda se somamos a uma linha outra
linha multiplicada por uma constante.
(f) Det(A · B) = Det(A) · Det(B) .
(g) Det(A) = Det(At)
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(a) Se os elementos de uma linha (ou coluna)de uma matriz
sa˜o todos zeros, enta˜o Det(A) = 0 .
(b) Se trocamos de posic¸a˜o duas linhas, o determinante troca
de sinal.
(c) Se multiplicamos uma linha da matriz por uma constante,
o determinante e´ multiplicado por esta constante.
(d) O determinante de uma matriz que tem duas linhas
(colunas) iguais e´ zero.
(e) O determina NA˜O muda se somamos a uma linha outra
linha multiplicada por uma constante.
(f) Det(A · B) = Det(A) · Det(B) .
(g) Det(A) = Det(At)
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(a) Se os elementos de uma linha (ou coluna)de uma matriz
sa˜o todos zeros, enta˜o Det(A) = 0 .
(b) Se trocamos de posic¸a˜o duas linhas, o determinante troca
de sinal.
(c) Se multiplicamos uma linha da matriz por uma constante,
o determinante e´ multiplicado por esta constante.
(d) O determinante de uma matriz que tem duas linhas
(colunas) iguais e´ zero.
(e) O determina NA˜O muda se somamos a uma linha outra
linha multiplicada por uma constante.
(f) Det(A · B) = Det(A) · Det(B) .
(g) Det(A) = Det(At)
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(a) Se os elementos de uma linha (ou coluna)de uma matriz
sa˜o todos zeros, enta˜o Det(A) = 0 .
(b) Se trocamos de posic¸a˜o duas linhas, o determinante troca
de sinal.
(c) Se multiplicamos uma linha da matriz por uma constante,
o determinante e´ multiplicado por esta constante.
(d) O determinante de uma matriz que tem duas linhas
(colunas) iguais e´ zero.
(e) O determina NA˜O muda se somamos a uma linha outra
linha multiplicada por uma constante.
(f) Det(A · B) = Det(A) · Det(B) .
(g) Det(A) = Det(At)
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Inversa de
uma Matriz
Teorema
Inversa de uma Matriz
Dada uma matriz do tipo
A =
[
a b
c d
]
Se Det(A) = ad − bc 6= 0, desejamos achar uma matriz inversa
de A, isto e´, queremos determinar uma matriz X de ordem 2,
tal que
A · X = X · A = I2
Calculando o produto, temos que:[
a b
c d
]
·
[
x y
z w
]
=
[
ax + bz ay + bw
cx + dz cy + dw
]
=
[
1 0
0 1
]
Resolvendo a primeira coluna, calculamos x e z, e e resolvendo
a segunda coluna achamos y e w.
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Dada uma matriz do tipo
A =
[
a b
c d
]
Se Det(A) = ad − bc 6= 0, desejamos achar uma matriz inversa
de A, isto e´, queremos determinar uma matriz X de ordem 2,
tal que
A · X = X · A = I2
Calculando o produto, temos que:[
a b
c d
]
·
[
x y
z w
]
=
[
ax + bz ay + bw
cx + dz cy + dw
]
=
[
1 0
0 1
]
Resolvendo a primeira coluna, calculamos x e z, e e resolvendo
a segunda coluna achamos y e w.
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Dada uma matriz do tipo
A =
[
a b
c d
]
Se Det(A) = ad − bc 6= 0,
desejamos achar uma matriz inversa
de A, isto e´, queremos determinar uma matriz X de ordem 2,
tal que
A · X = X · A = I2
Calculando o produto, temos que:[
a b
c d
]
·
[
x y
z w
]
=
[
ax + bz ay + bw
cx + dz cy + dw
]
=
[
1 0
0 1
]
Resolvendo a primeira coluna, calculamos x e z, e e resolvendo
a segunda coluna achamos y e w.
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Dada uma matriz do tipo
A =
[
a b
c d
]
Se Det(A) = ad − bc 6= 0, desejamos achar uma matriz inversa
de A, isto e´, queremos determinar uma matriz X de ordem 2,
tal que
A · X = X · A = I2
Calculando o produto, temos que:[
a b
c d
]
·
[
x y
z w
]
=
[
ax + bz ay + bw
cx + dz cy + dw
]
=
[
1 0
0 1
]
Resolvendo a primeira coluna, calculamos x e z, e e resolvendo
a segunda coluna achamos y e w.
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Dada uma matriz do tipo
A =
[
a b
c d
]
Se Det(A) = ad − bc 6= 0, desejamos achar uma matriz inversa
de A, isto e´, queremos determinar uma matriz X de ordem 2,
tal que
A · X = X · A = I2
Calculando o produto, temos que:[
a b
c d
]
·
[
x y
z w
]
=
[
ax + bz ay + bw
cx + dz cy + dw
]
=
[
1 0
0 1
]
Resolvendo a primeira coluna, calculamos x e z, e e resolvendo
a segunda coluna achamos y e w.
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Dada uma matriz do tipo
A =
[
a b
c d
]
Se Det(A) = ad − bc 6= 0, desejamos achar uma matriz inversa
de A, isto e´, queremos determinar uma matriz X de ordem 2,
tal que
A · X = X · A = I2
Calculando o produto, temos que:[
a b
c d
]
·
[
x y
z w
]
=
[
ax + bz ay + bw
cx + dz cy + dw
]
=
[
1 0
0 1
]
Resolvendo a primeira coluna, calculamos x e z, e e resolvendo
a segunda coluna achamos y ew.
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Dada uma matriz do tipo
A =
[
a b
c d
]
Se Det(A) = ad − bc 6= 0, desejamos achar uma matriz inversa
de A, isto e´, queremos determinar uma matriz X de ordem 2,
tal que
A · X = X · A = I2
Calculando o produto, temos que:[
a b
c d
]
·
[
x y
z w
]
=
[
ax + bz ay + bw
cx + dz cy + dw
]
=
[
1 0
0 1
]
Resolvendo a primeira coluna, calculamos x e z, e e resolvendo
a segunda coluna achamos y e w.
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A =
[
a b
c d
]
Se Det(A) = ad − bc 6= 0, desejamos achar uma matriz inversa
de A, isto e´, queremos determinar uma matriz X de ordem 2,
tal que
A · X = X · A = I2
Calculando o produto, temos que:[
a b
c d
]
·
[
x y
z w
]
=
[
ax + bz ay + bw
cx + dz cy + dw
]
=
[
1 0
0 1
]
Resolvendo a primeira coluna, calculamos x e z, e e resolvendo
a segunda coluna achamos y e w.
Matema´tica
Para
Economia III -
GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Determinantes
de Ordem 2
Determinantes
de Ordem 3
Determinante
de Ordem n
Teorema de
Laplace
Propriedades
Inversa de
uma Matriz
Teorema
Inversa de uma Matriz
Dada uma matriz do tipo
A =
[
a b
c d
]
Se Det(A) = ad − bc 6= 0, desejamos achar uma matriz inversa
de A, isto e´, queremos determinar uma matriz X de ordem 2,
tal que
A · X = X · A = I2
Calculando o produto, temos que:[
a b
c d
]
·
[
x y
z w
]
=
[
ax + bz ay + bw
cx + dz cy + dw
]
=
[
1 0
0 1
]
Resolvendo a primeira coluna, calculamos x e z, e e resolvendo
a segunda coluna achamos y e w.
Matema´tica
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Economia III -
GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Determinantes
de Ordem 2
Determinantes
de Ordem 3
Determinante
de Ordem n
Teorema de
Laplace
Propriedades
Inversa de
uma Matriz
Teorema
Inversa de uma Matriz
Dada uma matriz do tipo
A =
[
a b
c d
]
Se Det(A) = ad − bc 6= 0, desejamos achar uma matriz inversa
de A, isto e´, queremos determinar uma matriz X de ordem 2,
tal que
A · X = X · A = I2
Calculando o produto, temos que:[
a b
c d
]
·
[
x y
z w
]
=
[
ax + bz ay + bw
cx + dz cy + dw
]
=
[
1 0
0 1
]
Resolvendo a primeira coluna, calculamos x e z, e e resolvendo
a segunda coluna achamos y e w.
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Determinantes
de Ordem 2
Determinantes
de Ordem 3
Determinante
de Ordem n
Teorema de
Laplace
Propriedades
Inversa de
uma Matriz
Teorema
Exemplo 1
Achar a matriz A de ordem 2 tal que A · X = I2 , onde
A =
[
2 1
4 3
]
Devemos resolver os sistemas seguintes:{
2x + z = 1
4x + 3z = 0
{
2y + w = 0
4y + 3w = 1
Usando a teoria das equac¸o˜es lineares, achamos :
x = 3/2, z = −2, y = −1/2,w = 1.
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Determinantes
de Ordem 2
Determinantes
de Ordem 3
Determinante
de Ordem n
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Laplace
Propriedades
Inversa de
uma Matriz
Teorema
Exemplo 1
Achar a matriz A de ordem 2 tal que A · X = I2 , onde
A =
[
2 1
4 3
]
Devemos resolver os sistemas seguintes:{
2x + z = 1
4x + 3z = 0
{
2y + w = 0
4y + 3w = 1
Usando a teoria das equac¸o˜es lineares, achamos :
x = 3/2, z = −2, y = −1/2,w = 1.
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Determinantes
de Ordem 2
Determinantes
de Ordem 3
Determinante
de Ordem n
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Laplace
Propriedades
Inversa de
uma Matriz
Teorema
Exemplo 1
Achar a matriz A de ordem 2 tal que A · X = I2 , onde
A =
[
2 1
4 3
]
Devemos resolver os sistemas seguintes:
{
2x + z = 1
4x + 3z = 0
{
2y + w = 0
4y + 3w = 1
Usando a teoria das equac¸o˜es lineares, achamos :
x = 3/2, z = −2, y = −1/2,w = 1.
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Determinantes
de Ordem 2
Determinantes
de Ordem 3
Determinante
de Ordem n
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Laplace
Propriedades
Inversa de
uma Matriz
Teorema
Exemplo 1
Achar a matriz A de ordem 2 tal que A · X = I2 , onde
A =
[
2 1
4 3
]
Devemos resolver os sistemas seguintes:{
2x + z = 1
4x + 3z = 0
{
2y + w = 0
4y + 3w = 1
Usando a teoria das equac¸o˜es lineares, achamos :
x = 3/2, z = −2, y = −1/2,w = 1.
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Determinantes
de Ordem 2
Determinantes
de Ordem 3
Determinante
de Ordem n
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Laplace
Propriedades
Inversa de
uma Matriz
Teorema
Exemplo 1
Achar a matriz A de ordem 2 tal que A · X = I2 , onde
A =
[
2 1
4 3
]
Devemos resolver os sistemas seguintes:{
2x + z = 1
4x + 3z = 0
{
2y + w = 0
4y + 3w = 1
Usando a teoria das equac¸o˜es lineares, achamos :
x = 3/2, z = −2, y = −1/2,w = 1.
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de Ordem 3
Determinante
de Ordem n
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Propriedades
Inversa de
uma Matriz
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Exemplo 1
Achar a matriz A de ordem 2 tal que A · X = I2 , onde
A =
[
2 1
4 3
]
Devemos resolver os sistemas seguintes:{
2x + z = 1
4x + 3z = 0
{
2y + w = 0
4y + 3w = 1
Usando a teoria das equac¸o˜es lineares, achamos :
x = 3/2, z = −2, y = −1/2,w = 1.
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de Ordem 2
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de Ordem 3
Determinante
de Ordem n
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Propriedades
Inversa de
uma Matriz
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Exemplo 1
Achar a matriz A de ordem 2 tal que A · X = I2 , onde
A =
[
2 1
4 3
]
Devemos resolver os sistemas seguintes:{
2x + z = 1
4x + 3z = 0
{
2y + w = 0
4y + 3w = 1
Usando a teoria das equac¸o˜es lineares, achamos :
x = 3/2, z = −2, y = −1/2,w = 1.
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de Ordem 2
Determinantes
de Ordem 3
Determinante
de Ordem n
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Laplace
Propriedades
Inversa de
uma Matriz
Teorema
Exemplo 1
Achar a matriz A de ordem 2 tal que A · X = I2 , onde
A =
[
2 1
4 3
]
Devemos resolver os sistemas seguintes:{
2x + z = 1
4x + 3z = 0
{
2y + w = 0
4y + 3w = 1
Usando a teoria das equac¸o˜es lineares, achamos :
x = 3/2, z = −2, y = −1/2,w = 1.
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de Ordem 2
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de Ordem 3
Determinante
de Ordem n
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Laplace
Propriedades
Inversa de
uma Matriz
Teorema
Exemplo 1
Achar a matriz A de ordem 2 tal que A · X = I2 , onde
A =
[
2 1
4 3
]
Devemos resolver os sistemas seguintes:{
2x + z = 1
4x + 3z = 0
{
2y + w = 0
4y + 3w = 1
Usando a teoria das equac¸o˜es lineares, achamos :
x = 3/2, z = −2, y = −1/2,w = 1.
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de Ordem 2
Determinantes
de Ordem 3
Determinante
de Ordem n
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Laplace
Propriedades
Inversa de
uma Matriz
Teorema
Exemplo 1
Achar a matriz A de ordem 2 tal que A · X = I2 , onde
A =
[
2 1
4 3]
Devemos resolver os sistemas seguintes:{
2x + z = 1
4x + 3z = 0
{
2y + w = 0
4y + 3w = 1
Usando a teoria das equac¸o˜es lineares, achamos :
x = 3/2, z = −2, y = −1/2,w = 1.
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de Ordem 2
Determinantes
de Ordem 3
Determinante
de Ordem n
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Laplace
Propriedades
Inversa de
uma Matriz
Teorema
Exemplo 2
Seja
A =
[
6 2
11 4
]
Devemos calcular uma matriz B tal que A · B = B · A = I2 .
Denotemos B =
[
a b
c d
]
. Devemos ter[
6 2
11 4
]
·
[
a b
c d
]
=
[
1 0
0 1
]
⇔
[
6a + 2c 6b + 2d
11a + 4c 11b + 4d
]
=
[
1 0
0 1
]
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de Ordem 2
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de Ordem 3
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de Ordem n
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Propriedades
Inversa de
uma Matriz
Teorema
Exemplo 2
Seja
A =
[
6 2
11 4
]
Devemos calcular uma matriz B tal que A · B = B · A = I2 .
Denotemos B =
[
a b
c d
]
. Devemos ter[
6 2
11 4
]
·
[
a b
c d
]
=
[
1 0
0 1
]
⇔
[
6a + 2c 6b + 2d
11a + 4c 11b + 4d
]
=
[
1 0
0 1
]
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de Ordem 2
Determinantes
de Ordem 3
Determinante
de Ordem n
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Laplace
Propriedades
Inversa de
uma Matriz
Teorema
Exemplo 2
Seja
A =
[
6 2
11 4
]
Devemos calcular uma matriz B tal que A · B = B · A = I2 .
Denotemos B =
[
a b
c d
]
. Devemos ter[
6 2
11 4
]
·
[
a b
c d
]
=
[
1 0
0 1
]
⇔
[
6a + 2c 6b + 2d
11a + 4c 11b + 4d
]
=
[
1 0
0 1
]
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de Ordem 2
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Laplace
Propriedades
Inversa de
uma Matriz
Teorema
Exemplo 2
Seja
A =
[
6 2
11 4
]
Devemos calcular uma matriz B tal que A · B = B · A = I2 .
Denotemos B =
[
a b
c d
]
. Devemos ter
[
6 2
11 4
]
·
[
a b
c d
]
=
[
1 0
0 1
]
⇔
[
6a + 2c 6b + 2d
11a + 4c 11b + 4d
]
=
[
1 0
0 1
]
Matema´tica
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de Ordem 2
Determinantes
de Ordem 3
Determinante
de Ordem n
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Laplace
Propriedades
Inversa de
uma Matriz
Teorema
Exemplo 2
Seja
A =
[
6 2
11 4
]
Devemos calcular uma matriz B tal que A · B = B · A = I2 .
Denotemos B =
[
a b
c d
]
. Devemos ter[
6 2
11 4
]
·
[
a b
c d
]
=
[
1 0
0 1
]
⇔
[
6a + 2c 6b + 2d
11a + 4c 11b + 4d
]
=
[
1 0
0 1
]
Matema´tica
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de Ordem 2
Determinantes
de Ordem 3
Determinante
de Ordem n
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Laplace
Propriedades
Inversa de
uma Matriz
Teorema
Exemplo 2
Seja
A =
[
6 2
11 4
]
Devemos calcular uma matriz B tal que A · B = B · A = I2 .
Denotemos B =
[
a b
c d
]
. Devemos ter[
6 2
11 4
]
·
[
a b
c d
]
=
[
1 0
0 1
]
⇔
[
6a + 2c 6b + 2d
11a + 4c 11b + 4d
]
=
[
1 0
0 1
]
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de Ordem 2
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Propriedades
Inversa de
uma Matriz
Teorema
Exemplo 2
Seja
A =
[
6 2
11 4
]
Devemos calcular uma matriz B tal que A · B = B · A = I2 .
Denotemos B =
[
a b
c d
]
. Devemos ter[
6 2
11 4
]
·
[
a b
c d
]
=
[
1 0
0 1
]
⇔
[
6a + 2c 6b + 2d
11a + 4c 11b + 4d
]
=
[
1 0
0 1
]
Matema´tica
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de Ordem 2
Determinantes
de Ordem 3
Determinante
de Ordem n
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Laplace
Propriedades
Inversa de
uma Matriz
Teorema
Exemplo 2
Seja
A =
[
6 2
11 4
]
Devemos calcular uma matriz B tal que A · B = B · A = I2 .
Denotemos B =
[
a b
c d
]
. Devemos ter[
6 2
11 4
]
·
[
a b
c d
]
=
[
1 0
0 1
]
⇔
[
6a + 2c 6b + 2d
11a + 4c 11b + 4d
]
=
[
1 0
0 1
]
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Determinantes
de Ordem 3
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uma Matriz
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Exemplo 2
Seja
A =
[
6 2
11 4
]
Devemos calcular uma matriz B tal que A · B = B · A = I2 .
Denotemos B =
[
a b
c d
]
. Devemos ter[
6 2
11 4
]
·
[
a b
c d
]
=
[
1 0
0 1
]
⇔
[
6a + 2c 6b + 2d
11a + 4c 11b + 4d
]
=
[
1 0
0 1
]
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de Ordem 2
Determinantes
de Ordem 3
Determinante
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Propriedades
Inversa de
uma Matriz
Teorema
Exemplo 2
Seja
A =
[
6 2
11 4
]
Devemos calcular uma matriz B tal que A · B = B · A = I2 .
Denotemos B =
[
a b
c d
]
. Devemos ter[
6 2
11 4
]
·
[
a b
c d
]
=
[
1 0
0 1
]
⇔
[
6a + 2c 6b + 2d
11a + 4c 11b + 4d
]
=
[
1 0
0 1
]
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de Ordem 2
Determinantes
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Determinante
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Propriedades
Inversa de
uma Matriz
Teorema
Exemplo 2
Seja
A =
(
6 2
11 4
)
Equivale,{
6a + 2c = 1
11a + 4c = 0
{
6b + 2d = 0
11b + 4d = 1
Resolvendo os dois sistemas, tem-se que:
a = 2, b = −1, c = −11/2, d = 3.
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Propriedades
Inversa de
uma Matriz
Teorema
Exemplo 2
Seja
A =
(
6 2
11 4
)
Equivale,{
6a + 2c = 1
11a + 4c = 0
{
6b + 2d = 0
11b + 4d = 1
Resolvendo os dois sistemas, tem-se que:
a = 2, b = −1, c = −11/2, d = 3.
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Inversa de
uma Matriz
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Seja
A =
(
6 2
11 4
)
Equivale,
{
6a + 2c = 1
11a + 4c = 0
{
6b + 2d = 0
11b + 4d = 1
Resolvendo os dois sistemas, tem-se que:
a = 2, b = −1, c = −11/2, d = 3.
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Inversa de
uma Matriz
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Exemplo 2
Seja
A =
(
6 2
11 4
)
Equivale,{
6a + 2c = 1
11a + 4c = 0
{
6b + 2d = 0
11b + 4d = 1
Resolvendo os dois sistemas, tem-se que:
a = 2, b = −1, c = −11/2, d = 3.
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de Ordem 2
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de Ordem 3
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Propriedades
Inversa de
uma Matriz
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Exemplo 2
Seja
A =
(
6 2
11 4
)
Equivale,{
6a + 2c = 1
11a + 4c = 0
{
6b + 2d = 0
11b + 4d = 1
Resolvendo os dois sistemas, tem-se que:
a = 2, b = −1, c = −11/2, d = 3.
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Seja
A =
(
6 2
11 4
)
Equivale,{
6a + 2c = 1
11a + 4c = 0
{
6b + 2d = 0
11b + 4d = 1
Resolvendo os dois sistemas, tem-se que:
a = 2, b = −1, c = −11/2, d = 3.
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Seja
A =
(
6 2
11 4
)
Equivale,{
6a + 2c = 1
11a + 4c = 0
{
6b + 2d = 0
11b + 4d = 1
Resolvendo os dois sistemas, tem-se que:
a = 2, b = −1, c = −11/2, d = 3.
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Propriedades
Inversa de
uma Matriz
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Exemplo 2
Seja
A =
(
6 2
11 4
)
Equivale,{
6a + 2c = 1
11a + 4c = 0
{
6b + 2d = 0
11b + 4d = 1
Resolvendo os dois sistemas, tem-se que:
a = 2, b = −1, c = −11/2, d = 3.
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Propriedades
Inversa de
uma Matriz
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Exemplo 2
Seja
A =
(
6 2
11 4
)
Equivale,{
6a + 2c = 1
11a + 4c = 0
{
6b + 2d = 0
11b + 4d = 1
Resolvendo os dois sistemas, tem-se que:
a = 2, b = −1, c = −11/2, d = 3.
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de Ordem 2
Determinantes
de Ordem 3
Determinante
de Ordem n
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Laplace
Propriedades
Inversa de
uma Matriz
Teorema
Exemplo 2
Seja
A =
(
6 2
11 4
)
Equivale,{
6a + 2c = 1
11a + 4c = 0
{
6b + 2d = 0
11b + 4d = 1
Resolvendo os dois sistemas, tem-se que:
a = 2, b = −1, c = −11/2, d = 3.
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Ricardo
Fuentes
Apolaya
Determinantes
de Ordem 2
Determinantes
de Ordem 3
Determinante
de Ordem n
Teorema de
Laplace
Propriedades
Inversa de
uma Matriz
Teorema
Inversa de uma Matriz
Definic¸a˜o
Dada uma matriz quadrada de ordem n, chamamos de inversa
de A a uma matriz B tal que A · B = B · A = In .
Nesta caso, denotamos B = A−1 e dizemos que A e´ uma
matriz invers´ıvel.
Observac¸a˜o
(1) Se existe a inversa, ela e´ u´nica.
(2) Se A e B sa˜o matrizes invers´ıveis, enta˜o A · B e´ invers´ıvel
e (A · B)−1 = B−1 · A−1 .
(3) Nem toda matriz tem inversa.
(4) Se A e´ invers´ıvel, enta˜o Det(A−1) = (Det(A))−1
Matema´tica
Para
Economia III -
GAN 00147
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Dada uma matriz quadrada de ordem n, chamamos de inversa
de A a uma matriz B tal que A · B = B · A = In .
Nesta caso, denotamos B = A−1 e dizemos que A e´ uma
matriz invers´ıvel.
Observac¸a˜o
(1) Se existe a inversa, ela e´ u´nica.
(2) Se A e B sa˜o matrizes invers´ıveis, enta˜o A · B e´ invers´ıvel
e (A · B)−1 = B−1 · A−1 .
(3) Nem toda matriz tem inversa.
(4) Se A e´ invers´ıvel, enta˜o Det(A−1) = (Det(A))−1
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Dada uma matriz quadrada de ordem n, chamamos de inversa
de A a uma matriz B tal que A · B = B · A = In .
Nesta caso, denotamos B = A−1 e dizemos que A e´ uma
matriz invers´ıvel.
Observac¸a˜o
(1) Se existe a inversa, ela e´ u´nica.
(2) Se A e B sa˜o matrizes invers´ıveis, enta˜o A · B e´ invers´ıvel
e (A · B)−1 = B−1 · A−1 .
(3) Nem toda matriz tem inversa.
(4) Se A e´ invers´ıvel, enta˜o Det(A−1) = (Det(A))−1
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Dada uma matriz quadrada de ordem n, chamamos de inversa
de A a uma matriz B tal que A · B = B · A = In .
Nesta caso, denotamos B = A−1 e dizemos que A e´ uma
matriz invers´ıvel.
Observac¸a˜o
(1) Se existe a inversa, ela e´ u´nica.
(2) Se A e B sa˜o matrizes invers´ıveis, enta˜o A · B e´ invers´ıvel
e (A · B)−1 = B−1 · A−1 .
(3) Nem toda matriz tem inversa.
(4) Se A e´ invers´ıvel, enta˜o Det(A−1) = (Det(A))−1
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Dada uma matriz quadrada de ordem n, chamamos de inversa
de A a uma matriz B tal que A · B = B · A = In .
Nesta caso, denotamos B = A−1 e dizemos que A e´ uma
matriz invers´ıvel.
Observac¸a˜o
(1) Se existe a inversa, ela e´ u´nica.
(2) Se A e B sa˜o matrizes invers´ıveis, enta˜o A · B e´ invers´ıvel
e (A · B)−1 = B−1 · A−1 .
(3) Nem toda matriz tem inversa.
(4) Se A e´ invers´ıvel, enta˜o Det(A−1) = (Det(A))−1
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Dada uma matriz quadrada de ordem n, chamamos de inversa
de A a uma matriz B tal que A · B = B · A = In .
Nesta caso, denotamos B = A−1 e dizemos que A e´ uma
matriz invers´ıvel.
Observac¸a˜o
(1) Se existe a inversa, ela e´ u´nica.
(2) Se A e B sa˜o matrizes invers´ıveis, enta˜o A · B e´ invers´ıvel
e (A · B)−1 = B−1 · A−1 .
(3) Nem toda matriz tem inversa.
(4) Se A e´ invers´ıvel, enta˜o Det(A−1) = (Det(A))−1
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Dada uma matriz quadrada de ordem n, chamamos de inversa
de A a uma matriz B tal que A · B = B · A = In .
Nesta caso, denotamos B = A−1 e dizemos que A e´ uma
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Observac¸a˜o
(1) Se existe a inversa, ela e´ u´nica.
(2) Se A e B sa˜o matrizes invers´ıveis, enta˜o A · B e´ invers´ıvel
e (A · B)−1 = B−1 · A−1 .
(3) Nem toda matriz tem inversa.
(4) Se A e´ invers´ıvel, enta˜o Det(A−1) = (Det(A))−1
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Dada uma matriz quadrada de ordem n, chamamos de inversa
de A a uma matriz B tal que A · B = B · A = In .
Nesta caso, denotamos B = A−1 e dizemos que A e´ uma
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Observac¸a˜o
(1) Se existe a inversa, ela e´ u´nica.
(2) Se A e B sa˜o matrizes invers´ıveis, enta˜o A · B e´ invers´ıvel
e (A · B)−1 = B−1 · A−1 .
(3) Nem toda matriz tem inversa.
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