Subespaços Vetoriais

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Matema´tica
Para
Economia III -
GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Subespac¸os
Vetoriais
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Exemplo 6
Exemplo 7
Exemplo 8
Matema´tica Para Economia III - GAN 00147
Ricardo Fuentes Apolaya
ricardof16@yahoo.com.br
Departamento de Ana´lise
Nitero´i, 2013
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Vetoriais
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Subespac¸o Vetorial
Dado um e. v. V, podem existir subconjuntos W que eles
proprios sa˜o espac¸os vetoriais.
Pois, se somamos dois vetores de W, a soma e´ outro
vetor de W.
Tambe´m, se multiplicamos um nu´mero por um vetor, o
vetor resultante pertence a W.
Dizemos que o conjunto W e´ “fechado”com relac¸a˜o a`
soma e a` multiplicac¸a˜o por escalar.
Este subconjunto W caracteriza um subespac¸o de um e.
v. V.
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Subespac¸o Vetorial
Dado um e. v. V, podem existir subconjuntos W que eles
proprios sa˜o espac¸os vetoriais.
Pois, se somamos dois vetores de W, a soma e´ outro
vetor de W.
Tambe´m, se multiplicamos um nu´mero por um vetor, o
vetor resultante pertence a W.
Dizemos que o conjunto W e´ “fechado”com relac¸a˜o a`
soma e a` multiplicac¸a˜o por escalar.
Este subconjunto W caracteriza um subespac¸o de um e.
v. V.
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Subespac¸o Vetorial
Dado um e. v. V, podem existir subconjuntos W que eles
proprios sa˜o espac¸os vetoriais.
Pois, se somamos dois vetores de W, a soma e´ outro
vetor de W.
Tambe´m, se multiplicamos um nu´mero por um vetor, o
vetor resultante pertence a W.
Dizemos que o conjunto W e´ “fechado”com relac¸a˜o a`
soma e a` multiplicac¸a˜o por escalar.
Este subconjunto W caracteriza um subespac¸o de um e.
v. V.
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Exemplo 6
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Subespac¸o Vetorial
Dado um e. v. V, podem existir subconjuntos W que eles
proprios sa˜o espac¸os vetoriais.
Pois, se somamos dois vetores de W, a soma e´ outro
vetor de W.
Tambe´m, se multiplicamos um nu´mero por um vetor, o
vetor resultante pertence a W.
Dizemos que o conjunto W e´ “fechado”com relac¸a˜o a`
soma e a` multiplicac¸a˜o por escalar.
Este subconjunto W caracteriza um subespac¸o de um e.
v. V.
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Exemplo 6
Exemplo 7
Exemplo 8
Subespac¸o Vetorial
Dado um e. v. V, podem existir subconjuntos W que eles
proprios sa˜o espac¸os vetoriais.
Pois, se somamos dois vetores de W, a soma e´ outro
vetor de W.
Tambe´m, se multiplicamos um nu´mero por um vetor, o
vetor resultante pertence a W.
Dizemos que o conjunto W e´ “fechado”com relac¸a˜o a`
soma e a` multiplicac¸a˜o por escalar.
Este subconjunto W caracteriza um subespac¸o de um e.
v. V.
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Subespac¸o Vetorial
Dado um e. v. V, podem existir subconjuntos W que eles
proprios sa˜o espac¸os vetoriais.
Pois, se somamos dois vetores de W, a soma e´ outro
vetor de W.
Tambe´m, se multiplicamos um nu´mero por um vetor, o
vetor resultante pertence a W.
Dizemos que o conjunto W e´ “fechado”com relac¸a˜o a`
soma e a` multiplicac¸a˜o por escalar.
Este subconjunto W caracteriza um subespac¸o de um e.
v. V.
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Subespac¸o Vetorial
Dado um e. v. V, podem existir subconjuntos W que eles
proprios sa˜o espac¸os vetoriais.
Pois, se somamos dois vetores de W, a soma e´ outro
vetor de W.
Tambe´m, se multiplicamos um nu´mero por um vetor, o
vetor resultante pertence a W.
Dizemos que o conjunto W e´ “fechado”com relac¸a˜o a`
soma e a` multiplicac¸a˜o por escalar.
Este subconjunto W caracteriza um subespac¸o de um e.
v. V.
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Subespac¸o Vetorial
Definic¸a˜o
Um subconjunto W 6= ∅ de um espac¸o vetorial V, dizemos que
e´ um subespac¸o vetorial de V, se:
(a) Se ∀u, v ∈W , enta˜o u + v ∈W .
(b) Se ∀α ∈ R, u ∈W , enta˜o α.u ∈W .
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Definic¸a˜o
Um subconjunto W 6= ∅ de um espac¸o vetorial V, dizemos que
e´ um subespac¸o vetorial de V, se:
(a) Se ∀u, v ∈W , enta˜o u + v ∈W .
(b) Se ∀α ∈ R, u ∈W , enta˜o α.u ∈W .
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Definic¸a˜o
Um subconjunto W 6= ∅ de um espac¸o vetorial V, dizemos que
e´ um subespac¸o vetorial de V, se:
(a) Se ∀u, v ∈W , enta˜o u + v ∈W .
(b) Se ∀α ∈ R, u ∈W , enta˜o α.u ∈W .
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Subespac¸o Vetorial
Definic¸a˜o
Um subconjunto W 6= ∅ de um espac¸o vetorial V, dizemos que
e´ um subespac¸o vetorial de V, se:
(a) Se ∀u, v ∈W , enta˜o u + v ∈W .
(b) Se ∀α ∈ R, u ∈W , enta˜o α.u ∈W .
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Definic¸a˜o
Um subconjunto W 6= ∅ de um espac¸o vetorial V, dizemos que
e´ um subespac¸o vetorial de V, se:
(a) Se ∀u, v ∈W , enta˜o u + v ∈W .
(b) Se ∀α ∈ R, u ∈W , enta˜o α.u ∈W .
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Definic¸a˜o
Um subconjunto W 6= ∅ de um espac¸o vetorial V, dizemos que
e´ um subespac¸o vetorial de V, se:
(a) Se ∀u, v ∈W , enta˜o u + v ∈W .
(b) Se ∀α ∈ R, u ∈W , enta˜o α.u ∈W .
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Subespac¸o Vetorial
Observac¸a˜o
Qualquer subespac¸o W de V conte´m o vetor nulo, como
consequ¨eˆncia da condic¸a˜o (iii) da definic¸a˜o de espac¸o vetorial.
Observac¸a˜o
Todo espac¸o vetorial admite pelo menos dois subespac¸os
vetoriais (chamados subespac¸os triviais), o conjunto formado
pelo vetor nulo ou zero e o pro´prio espac¸o vetorial V.
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Subespac¸o Vetorial
Observac¸a˜o
Qualquer subespac¸o W de V conte´m o vetor nulo, como
consequ¨eˆncia da condic¸a˜o (iii) da definic¸a˜o de espac¸o vetorial.
Observac¸a˜o
Todo espac¸o vetorial admite pelo menos dois subespac¸os
vetoriais (chamados subespac¸os triviais), o conjunto formado
pelo vetor nulo ou zero e o pro´prio espac¸o vetorial V.
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Subespac¸o Vetorial
Observac¸a˜o
Qualquer subespac¸o W de V conte´m o vetor nulo, como
consequ¨eˆncia da condic¸a˜o (iii) da definic¸a˜o de espac¸o vetorial.
Observac¸a˜o
Todo espac¸o vetorial admite pelo menos dois subespac¸os
vetoriais (chamados subespac¸os triviais), o conjunto formado
pelo vetor nulo ou zero e o pro´prio espac¸o vetorial V.
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Subespac¸o Vetorial
Observac¸a˜o
Qualquer subespac¸o W de V conte´m o vetor nulo, como
consequ¨eˆncia da condic¸a˜o (iii) da definic¸a˜o de espac¸o vetorial.
Observac¸a˜o
Todo espac¸o vetorial admite pelo menos dois subespac¸os
vetoriais (chamados subespac¸os triviais), o conjunto formado
pelo vetor nulo ou zero e o pro´prio espac¸o vetorial V.
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Observac¸a˜o
Qualquer subespac¸o W de V conte´m o vetor nulo, como
consequ¨eˆncia da condic¸a˜o (iii) da definic¸a˜o de espac¸o vetorial.
Observac¸a˜o
Todo espac¸o vetorial admite pelo menos dois subespac¸os
vetoriais (chamados subespac¸os triviais), o conjunto formado
pelo vetor nulo ou zero e o pro´prio espac¸o vetorial V.
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Subespac¸o Vetorial
Observac¸a˜o
Qualquer subespac¸o W de V conte´m o vetor nulo, como
consequ¨eˆncia da condic¸a˜o (iii) da definic¸a˜o de espac¸o vetorial.
Observac¸a˜o
Todo espac¸o vetorial admite pelo menos dois subespac¸os
vetoriais (chamados subespac¸os triviais), o conjunto formado
pelo vetor nulo ou zero e o pro´prio espac¸o vetorial V.
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Exemplo 1
O espac¸o V = R3 = {(x1, x2, x3); xi ∈ R, i = 1, 2, 3} e
W = {(x1, 0, x3); xi ∈ R, i = 1, 2, 3} e´ um subespac¸o vetorial
de V.
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Exemplo 1
O espac¸o V = R3 = {(x1, x2, x3); xi ∈ R, i = 1, 2, 3} e
W = {(x1, 0, x3); xi ∈ R, i = 1, 2, 3} e´ um subespac¸o vetorial
de V.
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Exemplo 1
O espac¸o V = R3 = {(x1, x2, x3); xi ∈ R, i = 1, 2, 3} e
W = {(x1, 0, x3); xi ∈ R, i = 1, 2, 3} e´ um subespac¸o vetorial
de V.
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Exemplo 1
O espac¸o V = R3 = {(x1, x2, x3); xi ∈ R, i = 1, 2, 3} e
W = {(x1, 0, x3); xi ∈ R, i = 1, 2, 3} e´ um subespac¸o vetorial
de V.
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Exemplo 8
Exemplo 2
O espac¸o V = Rn = {(x1, x2, ..., xn); xi ∈ R, ∀i = 1, 2, .., n},
W = {(0, x2, ..., xn); xi ∈ R,∀i = 1, 2, .., n} e´ um subespac¸o
vetorial real.
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Exemplo 3
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Exemplo 7
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Exemplo 2
O espac¸o V = Rn = {(x1, x2, ..., xn); xi ∈ R, ∀i = 1, 2, .., n},
W = {(0, x2, ..., xn); xi ∈ R,∀i = 1, 2, .., n} e´ um subespac¸o
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Exemplo 2
O espac¸o V = Rn = {(x1, x2, ..., xn); xi ∈ R, ∀i = 1, 2, .., n},
W = {(0, x2, ..., xn); xi ∈ R,∀i = 1, 2, .., n} e´ um subespac¸o
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Exemplo 8
Exemplo 2
O espac¸o V = Rn = {(x1, x2, ..., xn); xi ∈ R, ∀i = 1, 2, .., n},
W = {(0, x2, ..., xn); xi ∈ R,∀i = 1, 2, .., n} e´ um subespac¸o
vetorial real.
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Exemplo 3
O espac¸o V = Mn(R) e W o conjunto das matrizes
triangulares superiores.
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O espac¸o V = Mn(R) e W o conjunto das matrizes
triangulares superiores.
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O espac¸o V = Mn(R) e W o conjunto das matrizes
triangulares superiores.
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Exemplo 4
Dado o sistema linear homogeˆneo
2x + 4y + z = 0
x + y + 2z = 0
x + 3y − z = 0
Consideramos W o conjunto dos vetores soluc¸a˜o do sistema.
Resulta que W e´ um subespac¸o vetorial de M3×1(R).
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Dado o sistema linear homogeˆneo
2x + 4y + z = 0
x + y + 2z = 0
x + 3y − z = 0
Consideramos W o conjunto dos vetores soluc¸a˜o do sistema.
Resulta que W e´ um subespac¸o vetorial de M3×1(R).
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Dado o sistema linear homogeˆneo
2x + 4y + z = 0
x + y + 2z = 0
x + 3y − z = 0
Consideramos W o conjunto dos vetores soluc¸a˜o do sistema.
Resulta que W e´ um subespac¸o vetorial de M3×1(R).
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Dado o sistema linear homogeˆneo
2x + 4y + z = 0
x + y + 2z = 0
x + 3y − z = 0
Consideramos W o conjunto dos vetores soluc¸a˜o do sistema.
Resulta que W e´ um subespac¸o vetorial de M3×1(R).
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Exemplo 5
Exemplo 6
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Exemplo 8
Exemplo 5
Dado o sistema linear homogeˆneo de n inco´gnitas. W o
conjunto dos vetores soluc¸a˜o do sistema e´ um subespac¸o
vetorial de Mn×1(R).
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Dado o sistema linear homogeˆneo de n inco´gnitas. W o
conjunto dos vetores soluc¸a˜o do sistema e´ um subespac¸o
vetorial de Mn×1(R).
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Dado o sistema linear homogeˆneo de n inco´gnitas. W o
conjunto dos vetores soluc¸a˜o do sistema e´ um subespac¸o
vetorial de Mn×1(R).
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Exemplo 6
Se V = R2 e W e´ uma reta deste plano que na˜o passa pela
origem. W na˜o e´ subespac¸o de V, pois existem u e v em W tal
que u + v /∈W . Tambe´m, observar que o vetor zero ou nulo
na˜o pertence a W.
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Se V = R2 e W e´ uma reta deste plano que na˜o passa pela
origem.
W na˜o e´ subespac¸o de V, pois existem u e v em W tal
que u + v /∈W . Tambe´m, observar que o vetor zero ou nulo
na˜o pertence a W.
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Exemplo 6
Exemplo 7
Exemplo 8
Exemplo 6
Se V = R2 e W e´ uma reta deste plano que na˜o passa pela
origem. W na˜o e´ subespac¸o de V, pois existem u e v em W tal
que u + v /∈W .
Tambe´m, observar que o vetor zero ou nulo
na˜o pertence a W.
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Exemplo 7
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Exemplo 6
Se V = R2 e W e´ uma reta deste plano que na˜o passa pela
origem. W na˜o e´ subespac¸o de V, pois existem u e v em W tal
que u + v /∈W . Tambe´m, observar que o vetor zero ou nulo
na˜o pertence a W.
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Vetoriais
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Exemplo 6
Exemplo 7
Exemplo 8
Exemplo 6
Se V = R2 e W e´ uma reta deste plano que na˜o passa pela
origem. W na˜o e´ subespac¸o de V, pois existem u e v em W tal
que u + v /∈W . Tambe´m, observar que o vetor zero ou nulo
na˜o pertence a W.
Matema´tica
Para
Economia III -
GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Subespac¸os
Vetoriais
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Exemplo 6
Exemplo 7
Exemplo 8
Exemplo 7
V = R2, W =
{
(x , x2), x ∈ R} na˜o e´ subespac¸o vetorial de V.
Se escolhemos u = (1, 1) e v = (2, 4), temos que
u + v = (3, 5) /∈W . Logo, W na˜o e´ subespac¸o vetorial de V.
Matema´tica
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Exemplo 1
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Exemplo 6
Exemplo 7
Exemplo 8
Exemplo 7
V = R2, W =
{
(x , x2), x ∈ R} na˜o e´ subespac¸o vetorial de V.
Se escolhemos u = (1, 1) e v = (2, 4), temos que
u + v = (3, 5) /∈W . Logo, W na˜o e´ subespac¸o vetorial de V.
Matema´tica
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Subespac¸os
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Exemplo 1
Exemplo 2
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Exemplo 8
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V = R2, W =
{
(x , x2), x ∈ R} na˜o e´ subespac¸o vetorial de V.
Se escolhemos u = (1, 1) e v = (2, 4), temos que
u + v = (3, 5) /∈W .
Logo, W na˜o e´ subespac¸o vetorial de V.
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V = R2, W =
{
(x , x2), x ∈ R} na˜o e´ subespac¸o vetorial de V.
Se escolhemos u = (1, 1) e v = (2, 4), temos que
u + v = (3, 5) /∈W . Logo, W na˜o e´ subespac¸o vetorial de V.
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Exemplo 6
Exemplo 7
Exemplo 8
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V = R2, W =
{
(x , x2), x ∈ R} na˜o e´ subespac¸o vetorial de V.
Se escolhemos u = (1, 1) e v = (2, 4), temos que
u + v = (3, 5) /∈W . Logo, W na˜o e´ subespac¸o vetorial de V.
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Exemplo 7
Exemplo 8
Exemplo 8
Dado o sistema linear na˜o homogeˆneo
2x + 4y + z = 1
x + y + 2z = 1
x + 3y − z = 0
Consideramos W o conjunto dos vetores-soluc¸a˜o do sistema.
Temos que a soma de dois vetores-soluc¸a˜o nem sempre e´ um
vetor soluc¸a˜o. Portanto, W na˜o e´ um subespac¸o vetorial de
M3×1(R).
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Exemplo 7
Exemplo 8
Exemplo 8
Dado o sistema linear na˜o homogeˆneo
2x + 4y + z = 1
x + y + 2z = 1
x + 3y − z = 0
Consideramos W o conjunto dos vetores-soluc¸a˜o do sistema.
Temos que a soma de dois vetores-soluc¸a˜o nem sempre e´ um
vetor soluc¸a˜o. Portanto, W na˜o e´ um subespac¸o vetorial de
M3×1(R).
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Exemplo 7
Exemplo 8
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Dado o sistema linear na˜o homogeˆneo
2x + 4y + z = 1
x + y + 2z = 1
x + 3y − z = 0
Consideramos W o conjunto dos vetores-soluc¸a˜o do sistema.
Temos que a soma de dois vetores-soluc¸a˜o nem sempre e´ um
vetor soluc¸a˜o.
Portanto, W na˜o e´ um subespac¸o vetorial de
M3×1(R).
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Dado o sistema linear na˜o homogeˆneo
2x + 4y + z = 1
x + y + 2z = 1
x + 3y − z = 0
Consideramos W o conjunto dos vetores-soluc¸a˜o do sistema.
Temos que a soma de dois vetores-soluc¸a˜o nem sempre e´ um
vetor soluc¸a˜o. Portanto, W na˜o e´ um subespac¸o vetorial de
M3×1(R).
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Exemplo 8
Dado o sistema linear na˜o homogeˆneo2x + 4y + z = 1
x + y + 2z = 1
x + 3y − z = 0
Consideramos W o conjunto dos vetores-soluc¸a˜o do sistema.
Temos que a soma de dois vetores-soluc¸a˜o nem sempre e´ um
vetor soluc¸a˜o. Portanto, W na˜o e´ um subespac¸o vetorial de
M3×1(R).
	Subespaços Vetoriais
	Exemplo 1
	Exemplo 2
	Exemplo 3
	Exemplo 4
	Exemplo 5
	Exemplo 6
	Exemplo 7
	Exemplo 8