Base de um Espaço Vetorial

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Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Base de um
Espaço
Vetorial
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Matemática Para Economia III - GAN 00147
Ricardo Fuentes Apolaya
ricardof16@yahoo.com.br
Departamento de Análise
Niterói, 2013
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Base de um Espaço Vetorial
Definição (Base)
Um conjunto de vetores {v1, v2, .., vn} de V, é uma base de V,
se:
(i) {v1, v2, .., vn} é LI.
(ii) Se {v1, v2, .., vn} gera V, isto é, [v1, v2, .., vn] = V
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Definição (Base)
Um conjunto de vetores {v1, v2, .., vn} de V, é uma base de V,
se:
(i) {v1, v2, .., vn} é LI.
(ii) Se {v1, v2, .., vn} gera V, isto é, [v1, v2, .., vn] = V
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Definição (Base)
Um conjunto de vetores {v1, v2, .., vn} de V, é uma base de V,
se:
(i) {v1, v2, .., vn} é LI.
(ii) Se {v1, v2, .., vn} gera V, isto é, [v1, v2, .., vn] = V
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Definição (Base)
Um conjunto de vetores {v1, v2, .., vn} de V, é uma base de V,
se:
(i) {v1, v2, .., vn} é LI.
(ii) Se {v1, v2, .., vn} gera V, isto é, [v1, v2, .., vn] = V
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Definição (Base)
Um conjunto de vetores {v1, v2, .., vn} de V, é uma base de V,
se:
(i) {v1, v2, .., vn} é LI.
(ii) Se {v1, v2, .., vn} gera V, isto é, [v1, v2, .., vn] = V
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Definição (Base)
Um conjunto de vetores {v1, v2, .., vn} de V, é uma base de V,
se:
(i) {v1, v2, .., vn} é LI.
(ii) Se {v1, v2, .., vn} gera V, isto é, [v1, v2, .., vn] = V
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Observações
Exemplo 1
V = R2, e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) ∈ V .{e1, e2} é uma base de V,
conhecida como base canônica de R2.
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V = R2, e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) ∈ V .{e1, e2} é uma base de V,
conhecida como base canônica de R2.
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V = R2, e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) ∈ V .{e1, e2} é uma base de V,
conhecida como base canônica de R2.
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Exemplo 2
O conjunto {(1, 1), (0, 1)} também é uma base de V = R2.
Com efeito, se
a(1, 1) + b(0, 1) = (a, a + b) = (0, 0)⇔ a = 0, b = 0.
Vamos verificar que [(1, 1), (0, 1)] = R2, se (x , y) ∈ R2, temos
que
(x , y) = x(1, 1) + (y − x)(0, 1)
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O conjunto {(1, 1), (0, 1)} também é uma base de V = R2.
Com efeito, se
a(1, 1) + b(0, 1) = (a, a + b) = (0, 0)⇔ a = 0, b = 0.
Vamos verificar que [(1, 1), (0, 1)] = R2, se (x , y) ∈ R2, temos
que
(x , y) = x(1, 1) + (y − x)(0, 1)
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O conjunto {(1, 1), (0, 1)} também é uma base de V = R2.
Com efeito, se
a(1, 1) + b(0, 1) = (a, a + b) = (0, 0)⇔ a = 0, b = 0.
Vamos verificar que [(1, 1), (0, 1)] = R2, se (x , y) ∈ R2, temos
que
(x , y) = x(1, 1) + (y − x)(0, 1)
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O conjunto {(1, 1), (0, 1)} também é uma base de V = R2.
Com efeito, se
a(1, 1) + b(0, 1) = (a, a + b) = (0, 0)⇔ a = 0, b = 0.
Vamos verificar que [(1, 1), (0, 1)] = R2, se (x , y) ∈ R2, temos
que
(x , y) = x(1, 1) + (y − x)(0, 1)
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O conjunto {(1, 1), (0, 1)} também é uma base de V = R2.
Com efeito, se
a(1, 1) + b(0, 1) = (a, a + b) = (0, 0)⇔ a = 0, b = 0.
Vamos verificar que [(1, 1), (0, 1)] = R2, se (x , y) ∈ R2, temos
que
(x , y) = x(1, 1) + (y − x)(0, 1)
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O conjunto {(1, 1), (0, 1)} também é uma base de V = R2.
Com efeito, se
a(1, 1) + b(0, 1) = (a, a + b) = (0, 0)⇔ a = 0, b = 0.
Vamos verificar que [(1, 1), (0, 1)] = R2, se (x , y) ∈ R2, temos
que
(x , y) = x(1, 1) + (y − x)(0, 1)
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O conjunto {(1, 1), (0, 1)} também é uma base de V = R2.
Com efeito, se
a(1, 1) + b(0, 1) = (a, a + b) = (0, 0)⇔ a = 0, b = 0.
Vamos verificar que [(1, 1), (0, 1)] = R2, se (x , y) ∈ R2, temos
que
(x , y) = x(1, 1) + (y − x)(0, 1)
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O conjunto {(1, 1), (0, 1)} também é uma base de V = R2.
Com efeito, se
a(1, 1) + b(0, 1) = (a, a + b) = (0, 0)⇔ a = 0, b = 0.
Vamos verificar que [(1, 1), (0, 1)] = R2, se (x , y) ∈ R2, temos
que
(x , y) = x(1, 1) + (y − x)(0, 1)
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Exemplo 3
O conjunto {(0, 1), (0, 2)} não é base de V = R2.
Se a(0, 1) + b(0, 2) = (0, a + 2b) = (0, 0)⇔ a = −2b.
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O conjunto {(0, 1), (0, 2)} não é base de V = R2.
Se a(0, 1) + b(0, 2) = (0, a + 2b) = (0, 0)⇔ a = −2b.
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O conjunto {(0, 1), (0, 2)} não é base de V = R2.
Se a(0, 1) + b(0, 2) = (0, a + 2b) = (0, 0)⇔ a = −2b.
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O conjunto {(0, 1), (0, 2)} não é base de V = R2.
Se a(0, 1) + b(0, 2) = (0, a + 2b) = (0, 0)⇔ a = −2b.
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O conjunto {(0, 1), (0, 2)} não é base de V = R2.
Se a(0, 1) + b(0, 2) = (0, a + 2b) = (0, 0)⇔ a = −2b.
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O conjunto {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} é uma base de V = R3,
chamada base canônica de R3, denotada por {e1, e2, e3}.
Temos que
(i) {e1, e2, e3} é LI.
(ii) Se (x , y , z) ∈ R3, então (x , y , z) = xe1 + ye2 + ze3.
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O conjunto {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} é uma base de V = R3,
chamada base canônica de R3, denotada por {e1, e2, e3}.
Temos que
(i) {e1, e2, e3} é LI.
(ii) Se (x , y , z) ∈ R3, então (x , y , z) = xe1 + ye2 + ze3.
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O conjunto {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} é uma base de V = R3,
chamada base canônica de R3, denotada por {e1, e2, e3}.
Temos que
(i) {e1, e2, e3} é LI.
(ii) Se (x , y , z) ∈ R3, então (x , y , z) = xe1 + ye2 + ze3.
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O conjunto {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} é uma base de V = R3,
chamada base canônica de R3, denotada por {e1, e2, e3}.
Temos que
(i) {e1, e2, e3} é LI.
(ii) Se (x , y , z) ∈ R3, então (x , y , z) = xe1 + ye2 + ze3.
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O conjunto {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} é uma base de V = R3,
chamada base canônica de R3, denotada por {e1, e2, e3}.
Temos que
(i) {e1, e2, e3} é LI.
(ii) Se (x , y , z) ∈ R3, então (x , y , z) = xe1 + ye2 + ze3.
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O conjunto {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} é uma base de V = R3,
chamada base canônica de R3, denotada por {e1, e2, e3}.
Temos que
(i) {e1, e2, e3} é LI.
(ii) Se (x , y , z) ∈ R3, então (x , y , z) = xe1 + ye2 + ze3.
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O conjunto {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} é uma base de V = R3,
chamada base canônica de R3, denotada por {e1, e2, e3}.
Temos que
(i) {e1, e2, e3} é LI.
(ii) Se (x , y , z) ∈ R3, então (x , y , z) = xe1 + ye2 + ze3.
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O conjunto {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} é uma base de V = R3,
chamada base canônica de R3, denotada por {e1, e2, e3}.
Temos que
(i) {e1, e2, e3} é LI.
(ii) Se (x , y , z) ∈ R3, então (x , y , z) = xe1 + ye2 + ze3.
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O conjunto {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} é uma base de V = R3,
chamada base canônica de R3, denotada por {e1, e2, e3}.
Temos que
(i) {e1, e2, e3} é LI.
(ii) Se (x , y , z) ∈ R3, então (x , y , z) = xe1 + ye2 + ze3.
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Exemplo 5
O conjunto {(1, 0, 0), (0, 1, 0)} não é uma base de V = R3.
É LI, mas não gera todo R3. Pois [(1, 0, 0), (0, 1, 0)] 6= R3.
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O conjunto {(1, 0, 0), (0, 1, 0)} não é uma base de V = R3.
É LI, mas não gera todo R3. Pois [(1, 0, 0), (0, 1, 0)] 6= R3.
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O conjunto {(1, 0, 0), (0, 1, 0)} não é uma base de V = R3.
É LI, mas não gera todo R3. Pois [(1, 0, 0), (0, 1, 0)] 6= R3.
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O conjunto {(1, 0, 0), (0, 1, 0)} não é uma base de V = R3.
É LI, mas não gera todo R3. Pois [(1, 0, 0), (0, 1, 0)] 6= R3.
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O conjunto {(1, 0, 0), (0, 1, 0)} não é uma base de V = R3.
É LI, mas não gera todo R3. Pois [(1, 0, 0), (0, 1, 0)] 6= R3.
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O conjunto {(1, 0, 0), (0, 1, 0)} não é uma base de V = R3.
É LI, mas não gera todo R3. Pois [(1, 0, 0), (0, 1, 0)] 6= R3.
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O conjunto
{[
1 0
0 0
]
,
[
0 1
0 0
]
,
[
0 0
1 0
]
,
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0 0
0 1
]}
é
uma base de V = M2×2(R).
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O conjunto
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[
0 0
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é
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O conjunto
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[
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é
uma base de V = M2×2(R).
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Observações
Observação
Se {v1, v2, .., vn} for uma base de um espaço vetorial V, então
todo conjunto com mais de n elementos será linearmente
dependente.
Observação
Duas bases quaisquer de um espaço vetorial têm o mesmo
número de vetores.
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Exemplo 6
Observações
Observações
Observação
Se {v1, v2, .., vn} for uma base de um espaço vetorial V,
então
todo conjunto com mais de n elementos será linearmente
dependente.
Observação
Duas bases quaisquer de um espaço vetorial têm o mesmo
número de vetores.
Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Base de um
Espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Exemplo 6
Observações
Observações
Observação
Se {v1, v2, .., vn} for uma base de um espaço vetorial V, então
todo conjunto com mais de n elementos será linearmente
dependente.
Observação
Duas bases quaisquer de um espaço vetorial têm o mesmo
número de vetores.
Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Base de um
Espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Exemplo 6
Observações
Observações
Observação
Se {v1, v2, .., vn} for uma base de um espaço vetorial V, então
todo conjunto com mais de n elementos será linearmente
dependente.
Observação
Duas bases quaisquer de um espaço vetorial têm o mesmo
número de vetores.
Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Base de um
Espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Exemplo 6
Observações
Observações
Observação
Se {v1, v2, .., vn} for uma base de um espaço vetorial V, então
todo conjunto com mais de n elementos será linearmente
dependente.
Observação
Duas bases quaisquer de um espaço vetorial têm o mesmo
número de vetores.
	Base de um Espaço Vetorial
	Exemplo 1
	Exemplo 2
	Exemplo 3
	Exemplo 4
	Exemplo 5
	Exemplo 6
	Observações