Apostila MF 1

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Matemática Financeira – Pág.: 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desenvolvido por: Prof. Ézio Vicário Junior 
Material de Apoio 
 
 Matemática Financeira – Pág.: 2 
 
 
 
 
 
1) CONCEITOS 
 A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de 
investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar 
procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa. 
 
 Capital 
O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido 
como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se Present 
Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras). 
 
 
 Juros 
Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. 
Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das 
pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro 
lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e 
neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve 
ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação 
envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para 
empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de 
juros. 
 
 
 
 
CAPÍTULO I – Juros Simples 
JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo 
sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou 
aplicado. 
 
JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo 
é calculado a partir do saldo no início de correspondente 
intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é 
incorporado ao capital inicial e passa a render juros 
também. 
 
 Matemática Financeira – Pág.: 3 
 
 Quando usamos juros simples e juros compostos? 
 
 A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: 
compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, 
as aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de 
renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das 
operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas. 
 
 Taxa de juros 
 A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um 
determinado período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da 
especificação do período de tempo a que se refere: 
8 % a.a. - (a.a. significa ao ano). 
10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre). 
 
 Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual 
dividida por 100, sem o símbolo %: 
 
0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês). 
0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre) 
 
2) JUROS SIMPLES 
 
 O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o 
valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor 
Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de 
somarmos os juros. Transformando em fórmula temos: 
 
J = C . i . n 
Onde: 
J = juros 
C = Capital (principal) 
i = taxa de juros 
n = número de períodos 
 
 
 
 
 
 Matemática Financeira – Pág.: 4 
 
 Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. 
pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão: 
J = 1000 x 0.08 x 2 = 160 
 Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante. 
 Montante = Capital + Juros 
 Montante = Capital + ( Capital x Taxa de juros x Número de períodos ) 
 
M = C . ( 1 + ( i . n ) ) 
 
Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. 
durante 145 dias. 
 SOLUÇÃO: 
 M = C . ( 1 + (i.n) ) 
 M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$ 72.960,42 
 
 Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, 
anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um 
ano comercial possui 360 dias. 
 
 
 Exercícios sobre juros simples: 
1. Calcular os juros simples de R$ 1200,00 a 13 % a.t. por 4 meses e 15 dias. (R.: 
234,00) 
2. Calcular os juros simples produzidos por R$ 40.000,00, aplicados à taxa de 36% 
a.a., durante 125 dias. (R.: 5.000,00) 
3. Qual o capital que aplicado a juros simples de 1,2% a.m. rende R$ 3.500,00 de juros 
em 75 dias? (R.: 116.666,67) 
4. Se a taxa de uma aplicação é de 150% ao ano, quantos meses serão necessários 
para dobrar um capital aplicado através de capitalização simples? (R.: 8 meses) 
 
5. Calcular o montante, ou valor futuro, correspondente à aplicação de $150.000,00 a 
uma taxa de juros simples de 2% ao mês durante 2 anos. (R.: 222.000,00) 
 
6. Numa aplicação de R$ 10.000,00 a juros simples e a taxa de 2% am. o montante 
recebido foi de R$ 15.000,00. Qual o prazo de aplicação? (R.: 25 meses) 
 
 
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7. Se investirmos $50.000,00 por 10 anos, qual será o montante ou valor futuro, no 
final desse período se a taxa de juros praticada for simples e de 35% ao ano? (R.: 
222.000,00) 
 
8. Um certo capital é aplicado em regime de juros simples, à uma taxa mensal de 5%. 
Depois de quanto tempo este capital estará duplicado? (R.: 20 meses) 
 
9. Um certo capital é aplicado em regime de juros simples, à uma taxa anual de 10%. 
Depois de quanto tempo este capital estará triplicado? (R.: 20 anos) 
 
10. Certa pessoa empregou 1/3 de seu capital a juros simples à taxa de 60% ao ano e o 
resto à taxa de 36% ao ano. a renda em 4 meses da segunda parte é superior a da 
primeira parte em R$ 80,00. Qual é o capital ? (R.: 6.000,00) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3) TAXA PROPORCIONAL E TAXA EQUIVALENTE 
 
Para se compreender mais claramente o significado destas taxas deve-se reconhecer 
que toda operação envolve dois prazos: (1) o prazo a que se refere a taxa de juros; e (2) o 
prazo de capitalização (ocorrência) dos juros. 
 
Ilustrativamente, admita um empréstimo bancário a uma taxa (custo) nominal de 
24% ao ano. O prazo a que se refere especificamente a taxa de juros é anual. A seguir, 
deve-se identificar a periodicidade de ocorrência dos juros. Ao se estabelecer que os en-
cargos incidirão sobre o principal somente ao final de cada ano, os dois prazos 
considerados são coincidentes. 
 
O crédito direto do consumidor promovido pelas Financeiras é outro exemplo de 
operação com prazos iguais. Caracteristicamente, a taxa cobrada é definida ao mês e os 
juros capitalizados também mensalmente. 
 
Mas em inúmeras outras operações estes prazos não são coincidentes. O juro pode 
ser capitalizado em prazo inferior ao da taxa, devendo-se nesta situação ser definido como 
o prazo da taxa será rateado ao período de capitalização. 
 
Por exemplo, sabe-se que a Caderneta de Poupança paga aos seus depositantes uma taxa 
de juros de 6% ao ano, a qual é agregada (capitalizada) ao principal todo mês através de 
um percentual proporcional de 0,5%. Tem-se aqui, então, dois prazos: prazo da taxa: ano 
e prazo de capitalização:mês 
 
É necessário para o uso das fórmulas de matemática financeira, conforme foi 
abordado anteriormente, expressar estes prazos diferentes na mesma base de tempo. Ou 
transforma-se o prazo específico da taxa para o de capitalização ou, de maneira inversa, o 
período de capitalização passa a ser expresso na unidade de tempo da taxa de juros. 
 
No regime de juros simples, diante de sua própria natureza linear, esta 
transformação é processada pela denominada taxa proporcional de juros também 
denominada de taxa linear ou nominal. Esta taxa proporcional é obtida da divisão entre a 
taxa de juros considerada na operação e o número de vezes em que ocorrerão os juros 
(quantidade de períodos de capitalização). 
 
Por exemplo, para uma taxa de juros de 18% ao ano, se a capitalização for definida 
mensalmente (ocorrerão 12 vezes juros no período de um ano), o percentual de juros que 
incidirá sobre o capital a cada mês será: 
 
Taxa Proporcional = = 1,5% ao mês 
 
 
A aplicação de taxas proporcionais é muito difundida, principalmente em operações 
de curto e curtíssimo prazo, tais como: cálculo de juros de mora, descontos bancários, 
18% 
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CAPÍTULO II – Taxas Proporcionais e Equivalentes 
 
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créditos de curtíssimo prazo, apuração de encargos sobre saldo devedor de conta corrente 
bancária etc. 
 
As taxas de juros simples se dizem equivalentes quando, aplicadas a um mesmo 
capital e pelo mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo volume linear de juros. 
 
Por exemplo, em juros simples, um capital de $ 500.000,00, se aplicado a 2,5% ao mês ou 
15% ao semestre pelo prazo de um ano, produz o mesmo montante linear de juros. Isto é: 
 
J (2,5% a.m.) = $ 500.000,00 x 0,025 x 12 = $ 150.000,00 
J (15% a.s.) = $ 500.000,00 x 0,15 x 2 = $ 150.000,00 
 
Os juros produzidos pelas duas taxas lineares de juros são iguais, logo são definidas 
como equivalentes. 
 
No regime de juros simples, taxas proporcionais (nominais ou lineares) e taxas 
equivalentes são consideradas a mesma coisa, sendo indiferente a classificação de duas 
taxas de juros como proporcionais ou equivalentes. 
 
Exemplos: 
 
 Calcular a taxa proporcional a: 
 
6% ao mês, proporcional ao ano i = 6% x 12 = 72% ao ano 
10% ao bimestre, proporcional ao ano i = 10% x 6 = 60% ao ano 
60% ao ano, proporcional ao semestre i = (60% / 12) x 6 = 30% a.s. 
9% ao trimestre, proporcional ao semestre i = (9% / 3) x 6 = 18% a.s. 
 
 Demonstre se 36% ao ano é proporcional a 12% ao trimestre. 
 
 
 
 
4) JUROS EXATOS E JUROS COMERCIAIS 
 
É comum nas operações de curto prazo, onde predominam as aplicações com taxas 
referenciadas em juros simples, ter-se o prazo definido em número de dias. Nestes casos, 
o número de dias pode ser calculado de duas maneiras: 
 
a) Pelo tempo exato, utilizando-se efetivamente o calendário do ano civil (365 dias). 
O juro apurado desta maneira denomina-se juro exato; 
 
b) Pelo ano comercial, o qual admite o mês com 30 dias e o ano com 360 dias. Tern-se, 
por este critério, a apuração do denominado juro comercial ou ordinário. 
 
Por exemplo, 12% ao ano equivalem, pelos critérios enunciados, à taxa diária de: 
 
a) Juro Exato: 
 
36 = 12 
12 3 
12% 
365 dias 
 
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 = 0,032877% ao dia 
 
 
b) Juro Comercial: 
 
 = 0,033333% ao dia 
 
 
 Exercícios sobre juros simples: 
1. Uma pessoa aplicou em uma instituição financeira S 18.000,00 resgatando $ 21.456,00 
quatro meses depois. Calcular a taxa mensal de juros simples auferida nesta aplicação. 
(R.: 4,8% am) 
 
2. Se uma Pessoa necessitar de $ 100.000,00 daqui a 10 meses, quanto deverá ela 
depositar hoje num fundo de poupança que remunera à taxa linear de 12% ao ano? (R.: 
R$ 90.909,09) 
 
3. Determinar a taxa bimestral de juros simples que faz com que um capital triplique de 
valor após 2 anos. (R.: 16,66% a.b.) 
4. Um título com valor nominal de $ 7.200,00 vence em 120 dias. Para uma taxa de juros 
simples de 31,2% ao ano, pede-se calcular o valor deste título: 
a) hoje; (R.: R$ 6.521,74) 
b) dois meses antes de seu vencimento; (R.: R$ 6.844,11) 
c) um mês após o seu vencimento. (R.: R$ 7.387,20) 
5. Uma pessoa deve dois títulos no valor de $ 25.000,00 e $ 56.000,00 cada. O primeiro 
título vence de hoje a 2 meses, e o segundo um mês após. O devedor deseja propor a 
substituição destas duas obrigações por um único pagamento ao final do 5C mês. 
Considerando 3% ao mês a taxa corrente de juros simples, determinar o valor deste 
pagamento único. (R.: R$ 86.610,00) 
 
6. Uma pessoa tem os seguintes compromissos financeiros: $ 35.000,00 vencíveis no 
fim de 3 meses; $ 65.000,00 vencíveis no fim de 5 meses. Para o resgate dessas 
dívidas, o devedor pretende utilizar suas reservas financeiras aplicando-as em uma 
conta de poupança que rende 66% ao ano de juros simples. Pede-se determinar o valor 
do capital que deve ser aplicado nesta poupança de forma que possam ser sacados os 
valores devidos em suas respectivas datas de vencimentos sem deixar saldo final na 
conta. (R.: R$ 81.023,31) 
 
7. Numa aplicação de R$ 10.000,00 a juros simples e a taxa de 1% a.m, o montante 
recebido foi de R$ 12.400,00. Qual o prazo da aplicação? (R.: 24 meses) 
 
 
8. Calcular a taxa mensal proporcional de juros de: 
a. 14,4% ao ano 
b. 6,8% ao quadrimestre 
c. 11,4% ao semestre 
12% 
365 dias 
 
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d. 110,4 % ao ano 
e. 54,72% ao biênio 
 
9. Calcular a taxa trimestral proporcional a juros de: 
a. 120 % ao ano 
b. 3,2% ao quadrimestre 
c. 1,5% ao mês 
 
10. Calcular o montante de $ 85.000,00 aplicado por: 
a. 7 meses a taxa linear de 2,5% ao mês 
b. 9 meses a taxa linear de 11,65 ao semestre 
c. 1 ano e 5 meses a taxa linear de 21% ao ano. 
 
11. Certo capital é aplicado em regime de juros simples, a uma taxa anual de 10%. Depois 
de quanto tempo este capital estará triplicado? (R.: 20 anos) 
 
12. Numa aplicação de R$ 10.000,00 a juros simples e a taxa de 2% a.m., o montante 
recebido foi de R$ 15.000,00. Qual o prazo da aplicação? (R.: 25 meses)