2a Lista

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2a Lista de Exerc´ıcios de Ca´lculo 1A
Prof. Dr. Eder Angelo Milani
(1) Uma part´ıcula desloca-se sobre o eixo x com func¸a˜o de posic¸a˜o x = 3 + 2t− t2, t ≥ 0.
a) Qual a velocidade no instante t?
b) Qual a velocidade no instante t = 4?
c) Qual a acelerac¸a˜o no instante t?
d) Qual a acelerac¸a˜o no instante t = 2?
(2) Uma part´ıcula desloca-se sobre o eixo x com func¸a˜o de posic¸a˜o x = 12 t+ 1, t ≥ 0.
a) Determine a velocidade no instante t?
b) Determine a velocidade no instante t = 2?
c) Determine a acelerac¸a˜o no instante t?
d) Qual a acelerac¸a˜o no instante t = 1?
(3) Um ponto P move-se sobre a elipse 4x2 + y2 = 1. Sabe-se que as coordenadas x(t) e y(t)
de P sa˜o func¸o˜es definidas e deriva´veis num intervalo I. Verifique que
dy
dt
= −4x
y
dx
dt
,
em todo t ∈ I, com y(t) 6= 0.
(4) Um ponto move-se ao longo do gra´fico de y = x2 +1 de tal modo que a sua abscissa x varia
a uma velocidade constante de 3cm/s. Qual e´, quando x = 4cm, a velocidade da coordenada y?
(5) Dois carros iniciam o movimento partindo de um mesmo ponto. Um viaja para o sul a
30 km/h e o outro viaja para o oeste a 72km/h. A qual taxa a distaˆncia entre os carros esta´
aumentando duas horas depois?
(6) Uma esteira transportadora esta´ descarregando cascalho a uma taxa de 3 m3/min, consti-
tuindo uma pilha na forma de cone com o diaˆmetro da base e altura sempre igual. Qua˜o ra´pido
a altura da pilha cresce quando esta´ a 3 m de altura?
(7) Esboce o gra´fico das seguintes func¸o˜es:
1. f(x) = 3x3 − 2x− 1;
2. f(x) = x4 − 2x2;
3. f(x) = x
4+1
x2
;
4. f(x) = x3 − x2 − 1;
5. f(x) =
√
x2 − 4.
(8) Estude a func¸a˜o dada com relac¸a˜o a ma´ximos e mı´nimos locais e globais.
1. 4x2 + 3x+ 2;
2. x4 − 4x3 + 4x2 + 2;
3. xex;
4. xe−x;
5. αe−
x
α , sendo α constante e x ≥ 0.
(9) Determine as dimenso˜es do retangulo de a´rea ma´xima e cujo per´ımetro e´ igual a 100.
(10) A Cia. α Ltda. produz determinado produto e vende-o a um prec¸o unita´rio de R$13,00.
Estima-se que o custo total c para produzir e vender q unidades e´ dado por c = q3−3q2 +4q+2.
Supondo que toda a produc¸a˜o seja absorvida pelo mercado consumidor, que quantidade devera´
ser produzida para se ter lucro ma´ximo?
(11) Calcule:
1. lim
x−→−1
4x3 + x2 + 3
x5 + 1
;
2. lim
x−→0+
sex(x) ln(x);
3. lim
x−→0+
xe
1
x ;
4. lim
x−→0+
x ln(2x);
5. lim
x−→∞
ex
x2
;
6. lim
x−→1
lnx
x− 1;
7. lim
x−→∞
lnx
x1/3
;
8. lim
x−→∞
(lnx)2
x
.
(12) Determine o polinoˆmio de Taylor, de ordem 3, de f em volta de x0 dado.
1. f(x) = ln(x+ 1) e x0 = 0;
2. f(x) = ex e x0 = 0;
3. f(x) = 3
√
x e x0 = 1;
4. f(x) =
√
x e x0 = 4;
5. f(x) = cos(x) e x0 = 0.